BSEB 10 Mathematics PYQs 2026

Priyanshu Thakur

BSEB Class 10th Mathematics 2026 Annual Examination - Model & Solved Paper

बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) मैट्रिक परीक्षा 2026

विषय: गणित (Mathematics) | प्रश्न पत्र कोड: 110 (Full Solved Paper)

100 Objective Questions + 30 Short Questions + 8 Long Questions (संपूर्ण हल सहित)

खंड – 'अ' : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) 100 × 1 = 100 अंक
Q1. 500 के अभाज्य गुणनखंड में 5 का अधिकतम घातांक क्या है?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
उत्तर: (B) 3 | हल: 500 = 22 × 53, अतः 5 का घातांक = 3.
Q2. यदि दो संख्याओं का गुणनफल 15870 है तथा म०स० 23 है, तो उनका ल०स० होगा:
(A) 690
(B) 680
(C) 700
(D) 650
उत्तर: (A) 690 | हल: LCM = गुणनफल / HCF = 15870 / 23 = 690.
Q3. निम्नलिखित में कौन-सा परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है?
(A) 7/75
(B) 13/80
(C) 8/35
(D) 19/210
उत्तर: (B) 13/80 | हल: 80 = 24 × 51, जो 2n × 5m के रूप का है।
Q4. बहुपद 3x2 - 5x + 2 के शून्यकों का योगफल होगा:
(A) -5/3
(B) 5/3
(C) 2/3
(D) -2/3
उत्तर: (B) 5/3 | हल: योग = -b/a = -(-5)/3 = 5/3.
Q5. यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α, β हों, तो αβ का मान होगा:
(A) -b/a
(B) c/a
(C) -c/a
(D) a/c
उत्तर: (B) c/a | हल: शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a.
Q6. शून्यक 3 और -3 वाले द्विघात बहुपदों की संख्या होगी:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) अनगिनत
उत्तर: (D) अनगिनत | हल: k(x2 - 9) में k के भिन्न मानों हेतु अनगिनत बहुपद संभव हैं।
Q7. रैखिक समीकरण निकाय x + 2y = 5 तथा 3x + 6y = 15 के कितने हल होंगे?
(A) एक अद्वितीय हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अनगिनत हल
(D) दो हल
उत्तर: (C) अनगिनत हल | हल: 1/3 = 2/6 = 5/15 ⇒ रेखाएँ संपाती हैं, अतः अनगिनत हल होंगे।
Q8. यदि द्विघात समीकरण 2x2 - kx + 2 = 0 के मूल बराबर हों, तो k = ?
(A) ±2
(B) ±4
(C) ±8
(D) ±1
उत्तर: (B) ±4 | हल: D = (-k)2 - 4(2)(2) = 0 ⇒ k2 = 16 ⇒ k = ±4.
Q9. द्विघात समीकरण 4x2 - 12x + 9 = 0 के मूलों की प्रकृति होगी:
(A) वास्तविक और बराबर
(B) वास्तविक और असमान
(C) अवास्तविक
(D) कोई नहीं
उत्तर: (A) वास्तविक और बराबर | हल: D = (-12)2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0.
Q10. A.P. 3, 8, 13, 18, ... का कौन-सा पद 78 है?
(A) 12वाँ
(B) 14वाँ
(C) 16वाँ
(D) 18वाँ
उत्तर: (C) 16वाँ | हल: 78 = 3 + (n - 1)5 ⇒ 75 = 5(n - 1) ⇒ n - 1 = 15 ⇒ n = 16.
Q11. A.P. -10, -6, -2, 2, ... का 20वाँ पद होगा:
(A) 66
(B) -66
(C) 70
(D) 64
उत्तर: (A) 66 | हल: a = -10, d = 4। a20 = -10 + 19(4) = -10 + 76 = 66.
Q12. बिंदु (0, 0) और (6, 8) के बीच की दूरी होगी:
(A) 10 मात्रक
(B) 14 मात्रक
(C) 12 मात्रक
(D) 8 मात्रक
उत्तर: (A) 10 मात्रक | हल: d = √(62 + 82) = √100 = 10 मात्रक।
Q13. बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:
(A) (3, 2)
(B) (2, 3)
(C) (1, 2)
(D) (3, 1)
उत्तर: (A) (3, 2) | हल: ((2 + 4)/2, (3 + 1)/2) = (6/2, 4/2) = (3, 2).
Q14. बिंदु (-4, 3) किस चतुर्थांश में स्थित है?
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ
उत्तर: (B) द्वितीय | हल: (-, +) द्वितीय चतुर्थांश में आता है।
Q15. x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक का रूप होता है:
(A) (x, 0)
(B) (0, y)
(C) (x, y)
(D) (0, 0)
उत्तर: (A) (x, 0) | हल: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक सदैव शून्य होता है।
Q16. sin 45° का मान होता है:
(A) 1/2
(B) 1/√2
(C) √3/2
(D) 1
उत्तर: (B) 1/√2 | हल: मानक कोण सारणी से sin 45° = 1/√2.
Q17. यदि tan θ = 1 हो, तो θ का मान क्या होगा?
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
उत्तर: (B) 45° | हल: tan 45° = 1 ⇒ θ = 45°.
Q18. 1 + cot2 θ बराबर होता है:
(A) cosec2 θ
(B) sec2 θ
(C) tan2 θ
(D) cos2 θ
उत्तर: (A) cosec2 θ | हल: मूलभूत सर्वसमिका 1 + cot2θ = cosec2θ.
Q19. sin(90° - θ) बराबर है:
(A) cos θ
(B) -cos θ
(C) tan θ
(D) cot θ
उत्तर: (A) cos θ | हल: पूरक कोण निष्पत्ति: sin(90° - θ) = cos θ.
Q20. tan 65° / cot 25° का मान होगा:
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2
उत्तर: (B) 1 | हल: cot 25° = tan 65° ⇒ tan 65° / tan 65° = 1.
Q21. वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा और उस बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच का कोण होता है:
(A) 45°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 180°
उत्तर: (C) 90° | हल: स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत (90°) होती है।
Q22. बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं PA तथा PB में यदि PA = 7 सेमी, तो PB = ?
(A) 7 सेमी
(B) 14 सेमी
(C) 3.5 सेमी
(D) 49 सेमी
उत्तर: (A) 7 सेमी | हल: बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं (PB = PA = 7 सेमी)।
Q23. एक वृत्त का व्यास 28 सेमी है, तो इसकी परिधि होगी:
(A) 44 सेमी
(B) 88 सेमी
(C) 176 सेमी
(D) 616 सेमी
उत्तर: (B) 88 सेमी | हल: परिधि = πd = (22/7) × 28 = 88 सेमी.
Q24. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, होगा:
(A) (p/180) × 2πR
(B) (p/180) × πR2
(C) (p/360) × 2πR
(D) (p/720) × 2πR2
उत्तर: (D) (p/720) × 2πR2 | हल: (p/720) × 2πR2 = (p/360) × πR2.
Q25. एक घन का किनारा 6 सेमी है, इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:
(A) 36 सेमी2
(B) 216 सेमी2
(C) 144 सेमी2
(D) 108 सेमी2
उत्तर: (B) 216 सेमी2 | हल: कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 6a2 = 6(6)2 = 216 सेमी2.
Q26. दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:
(A) 16 : 9
(B) 4 : 3
(C) 9 : 16
(D) 64 : 27
उत्तर: (A) 16 : 9 | हल: त्रिज्या अनुपात = ∛(64/27) = 4/3 ⇒ क्षेत्रफल अनुपात = (4/3)2 = 16/9.
Q27. यदि आँकड़ों का माध्य 9 और माध्यक 10 हो, तो बहुलक होगा:
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 8
उत्तर: (B) 12 | हल: बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य) = 3(10) - 2(9) = 30 - 18 = 12.
Q28. आँकड़ों 4, 7, 5, 3, 7, 8, 7, 2 का बहुलक है:
(A) 4
(B) 7
(C) 5
(D) 8
उत्तर: (B) 7 | हल: 7 सर्वाधिक (3 बार) आया है।
Q29. एक पासा फेंकने पर एक अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है:
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 2/3
(D) 1/6
उत्तर: (A) 1/2 | हल: अभाज्य संख्याएँ {2, 3, 5} = 3। कुल परिणाम = 6। P = 3/6 = 1/2.
Q30. ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर एक हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता है:
(A) 1/13
(B) 1/52
(C) 4/52
(D) 1/4
उत्तर: (B) 1/52 | हल: हुकुम का इक्का केवल 1 होता है, अतः प्रायिकता = 1/52.
Q31. निम्नलिखित में कौन अभाज्य संख्या है?
(A) 27
(B) 35
(C) 13
(D) 56
उत्तर: (C) 13 | हल: 13 केवल 1 और 13 से विभाज्य है, अतः यह अभाज्य है।
Q32. बहुपद x2 - 16 के शून्यक हैं:
(A) 4, -4
(B) 16, -16
(C) √4, -√4
(D) 4, 4
उत्तर: (A) 4, -4 | हल: x2 = 16 ⇒ x = ±4.
Q33. यदि D < 0 हो, तो द्विघात समीकरण के मूल होंगे:
(A) वास्तविक और समान
(B) वास्तविक और भिन्न
(C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक) | हल: जब विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो कोई वास्तविक मूल अस्तित्व में नहीं होता।
Q34. A.P. 5, 9, 13, 17, ... का सार्व अंतर है:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) -4
उत्तर: (B) 4 | हल: d = 9 - 5 = 4.
Q35. बिंदु (-5, 0) स्थित है:
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) मूल बिंदु पर
(D) द्वितीय पाद में
उत्तर: (A) x-अक्ष पर | हल: y = 0 होने पर बिंदु x-अक्ष पर स्थित होता है।
Q36. tan 60° का मान होता है:
(A) 1/√3
(B) √3
(C) 1
(D) 2
उत्तर: (B) √3 | हल: tan 60° = √3.
Q37. अर्धवृत्त का परिमाप क्या होगा यदि त्रिज्या r हो?
(A) πr
(B) πr + 2r
(C) 2πr
(D) πr + r
उत्तर: (B) πr + 2r | हल: परिमाप = चाप + व्यास = πr + 2r.
Q38. प्रथम 5 सम संख्याओं का माध्य होगा:
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
उत्तर: (B) 6 | हल: (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 = 30/5 = 6.
Q39. एक सिक्के को एक बार उछालने पर टेल (T) आने की प्रायिकता है:
(A) 1
(B) 1/2
(C) 1/4
(D) 0
उत्तर: (B) 1/2 | हल: अनुकूल = 1, कुल = 2 ⇒ 1/2.
Q40. √7 एक ________ संख्या है:
(A) परिमेय
(B) अपरिमेय
(C) पूर्णांक
(D) प्राकृत
उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: 7 अभाज्य संख्या है, अतः √7 अपरिमेय है।
Q41. एक रैखिक बहुपद की घात होती है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (B) 1 | हल: रैखिक बहुपद की घात 1 होती है।
Q42. समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, ... का 12वाँ पद होगा:
(A) 55
(B) 57
(C) 59
(D) 62
उत्तर: (B) 57 | हल: a12 = 2 + 11(5) = 2 + 55 = 57.
Q43. बिंदु P(-3, -4) की मूल बिंदु से दूरी क्या होगी?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 7
उत्तर: (C) 5 | हल: √[(-3)2 + (-4)2] = √[9 + 16] = 5.
Q44. cos2 30° + sin2 30° बराबर होता है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 1/2
उत्तर: (B) 1 | हल: मूलभूत सर्वसमिका cos2θ + sin2θ = 1.
Q45. एक ठोस गोले की त्रिज्या r है, उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:
(A) 2πr2
(B) 3πr2
(C) 4πr2
(D) (4/3)πr2
उत्तर: (C) 4πr2 | हल: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr2 होता है।
Q46. 23/250 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
(A) सांत
(B) अशांत आवर्ती
(C) अशांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A) सांत | हल: 250 = 21 × 53 (2n × 5m रूप), अतः सांत है।
Q47. यदि बहुपद x2 - 8x + k के शून्यकों का गुणनफल 12 हो, तो k = ?
(A) 12
(B) -12
(C) 8
(D) -8
उत्तर: (A) 12 | हल: c/a = k/1 = 12 ⇒ k = 12.
Q48. बिंदु (1, 2) और (3, 4) का मध्य बिंदु होगा:
(A) (2, 3)
(B) (4, 6)
(C) (1, 3)
(D) (2, 2)
उत्तर: (A) (2, 3) | हल: ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).
Q49. sec2 45° - tan2 45° का मान है:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
उत्तर: (B) 1 | हल: सर्वसमिका sec2θ - tan2θ = 1.
Q50. किसी घटना E की प्रायिकता P(E) और P(E नहीं) का योगफल होता है:
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2
उत्तर: (B) 1 | हल: P(E) + P(E नहीं) = 1.
Q51. 0.47̅ (47 पर बार) को परिमेय रूप में लिखेंगे:
(A) 47/90
(B) 47/99
(C) 47/100
(D) 47/9
उत्तर: (B) 47/99 | हल: दो अंकों की पुनरावृत्ति हेतु 47/99.
Q52. यदि बहुपद f(x) = x2 - 3x + 2 हो, तो f(0) का मान होगा:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -2
उत्तर: (C) 2 | हल: f(0) = 0 - 0 + 2 = 2.
Q53. समीकरण x + 2y = 8 में यदि y = 2 हो, तो x का मान क्या होगा?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
उत्तर: (B) 4 | हल: x + 2(2) = 8 ⇒ x = 8 - 4 = 4.
Q54. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग सूत्र है:
(A) n(n + 1)/2
(B) n(n - 1)/2
(C) n2
(D) n(n + 1)
उत्तर: (A) n(n + 1)/2 | हल: Sn = n(n + 1)/2.
Q55. y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का x-निर्देशांक होता है:
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) y
उत्तर: (A) 0 | हल: y-अक्ष पर x = 0.
Q56. यदि cos θ = 4/5 हो, तो tan θ का मान होगा:
(A) 3/4
(B) 4/3
(C) 3/5
(D) 5/3
उत्तर: (A) 3/4 | हल: लम्ब = √(52 - 42) = 3 ⇒ tan θ = 3/4.
Q57. दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25 : 36 है, तो त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
(A) 5 : 6
(B) 6 : 5
(C) 25 : 36
(D) 125 : 216
उत्तर: (A) 5 : 6 | हल: √(25/36) = 5/6 = 5 : 6.
Q58. वर्ग अंतराल 30 - 40 का वर्ग चिह्न है:
(A) 30
(B) 35
(C) 40
(D) 10
उत्तर: (B) 35 | हल: (30 + 40)/2 = 35.
Q59. यदि P(E) = 0.08 हो, तो P(E नहीं) होगा:
(A) 0.92
(B) 0.02
(C) 0.82
(D) 0.98
उत्तर: (A) 0.92 | हल: 1 - 0.08 = 0.92.
Q60. बहुपद 3x2 - 12x + 9 के शून्यकों का गुणनफल है:
(A) 3
(B) 4
(C) -3
(D) -4
उत्तर: (A) 3 | हल: c/a = 9/3 = 3.
Q61. 5 sec2 A - 5 tan2 A बराबर है:
(A) 1
(B) 5
(C) 0
(D) -5
उत्तर: (B) 5 | हल: 5(sec2A - tan2A) = 5(1) = 5.
Q62. एक बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है:
(A) 2πrh
(B) 2πr(r + h)
(C) πr2h
(D) πrl
उत्तर: (B) 2πr(r + h) | हल: 2πrh + 2πr2 = 2πr(r + h).
Q63. दो घनों के आयतनों का अनुपात 27 : 64 है, उनकी कोरों का अनुपात होगा:
(A) 3 : 4
(B) 9 : 16
(C) 4 : 3
(D) 27 : 64
उत्तर: (A) 3 : 4 | हल: ∛(27/64) = 3/4 = 3 : 4.
Q64. तोरण खींचने के लिए वर्ग अंतरालों की क्या आवश्यकता होती है?
(A) समावेशिक होना
(B) अपवर्जी होना
(C) अनियमित होना
(D) कोई नहीं
उत्तर: (B) अपवर्जी होना | हल: सतत/अपवर्जी (continuous) वर्ग अंतराल आवश्यक होते हैं।
Q65. ताश के 52 पत्तों में काले रंग के पत्तों की कुल संख्या होती है:
(A) 13
(B) 26
(C) 39
(D) 52
उत्तर: (B) 26 | हल: हुकुम (13) + चिड़ी (13) = 26 काले पत्ते।
Q66. दो लगातार अभाज्य संख्याओं का HCF होगा:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) गुणनफल
उत्तर: (B) 1 | हल: अभाज्य संख्याओं का सार्व गुणनखंड 1 होता है।
Q67. वृत्त के केंद्र से परिधि तक की दूरी कहलाती है:
(A) व्यास
(B) जीवा
(C) त्रिज्या
(D) स्पर्श रेखा
उत्तर: (C) त्रिज्या | हल: केंद्र से परिधि की दूरी त्रिज्या कहलाती है।
Q68. cot 45° का मान होता है:
(A) 0
(B) 1
(C) √3
(D) 1/√3
उत्तर: (B) 1 | हल: cot 45° = 1.
Q69. बिंदु (7, -5) का भुज है:
(A) -5
(B) 7
(C) 2
(D) -2
उत्तर: (B) 7 | हल: भुज (x-मान) = 7.
Q70. sin 90° का मान होता है:
(A) 0
(B) 1
(C) 1/2
(D) ∞
उत्तर: (B) 1 | हल: sin 90° = 1.
Q71. 2 + √3 एक कैसी संख्या है?
(A) परिमेय
(B) अपरिमेय
(C) पूर्णांक
(D) कोई नहीं
उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है।
Q72. दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 30 सेमी और 20 सेमी हैं, क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:
(A) 3 : 2
(B) 9 : 4
(C) 4 : 9
(D) 27 : 8
उत्तर: (B) 9 : 4 | हल: क्षेत्रफलों का अनुपात = (30/20)2 = (3/2)2 = 9/4.
Q73. यदि सूर्य का उन्नयन कोण 45° हो, तो एक खंभे की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात होगा:
(A) 1 : 1
(B) 1 : √3
(C) √3 : 1
(D) 2 : 1
उत्तर: (A) 1 : 1 | हल: tan 45° = 1 ⇒ ऊँचाई / छाया = 1/1 = 1 : 1.
Q74. एक पहिया एक चक्कर में 88 सेमी दूरी तय करता है, पहिए का व्यास क्या होगा?
(A) 14 सेमी
(B) 28 सेमी
(C) 7 सेमी
(D) 21 सेमी
उत्तर: (B) 28 सेमी | हल: परिधि = πd = 88 ⇒ (22/7)d = 88 ⇒ d = 28 सेमी.
Q75. प्रथम 9 विषम संख्याओं का समांतर माध्य होगा:
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 81
उत्तर: (B) 9 | हल: प्रथम n विषम संख्याओं का माध्य n होता है, अतः 9.
Q76. cos 60° × cos 30° - sin 60° × sin 30° का मान होगा:
(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) 1/2
उत्तर: (B) 0 | हल: cos(60° + 30°) = cos 90° = 0.
Q77. एक पासे को फेंकने पर 6 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता है:
(A) 1
(B) 0
(C) 1/6
(D) 6
उत्तर: (B) 0 | हल: पासे पर 6 से बड़ी संख्या आना असंभव है, अतः P = 0.
Q78. बिंदु (2, 0) किस अक्ष पर स्थित है?
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) मूल बिंदु पर
(D) प्रथम पाद में
उत्तर: (A) x-अक्ष पर | हल: y = 0 होने पर बिंदु x-अक्ष पर होता है।
Q79. 1 + cot2 45° बराबर है:
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) 3
उत्तर: (B) 2 | हल: 1 + 12 = 2.
Q80. द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल वास्तविक और असमान होंगे यदि:
(A) b2 - 4ac > 0
(B) b2 - 4ac = 0
(C) b2 - 4ac < 0
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (A) b2 - 4ac > 0 | हल: वास्तविक और भिन्न मूलों हेतु D > 0.
Q81. A.P. 3, 6, 9, 12, ... का सार्व अंतर है:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6
उत्तर: (B) 3 | हल: d = 6 - 3 = 3.
Q82. बिंदु (-2, -5) किस चतुर्थांश में है?
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ
उत्तर: (C) तृतीय | हल: (- , -) तृतीय चतुर्थांश में आता है।
Q83. tan θ / cot θ बराबर होता है:
(A) 1
(B) tan2 θ
(C) cot2 θ
(D) sec2 θ
उत्तर: (B) tan2 θ | हल: tan θ / (1/tan θ) = tan2θ.
Q84. 14 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल होगा:
(A) 308 सेमी2
(B) 154 सेमी2
(C) 616 सेमी2
(D) 77 सेमी2
उत्तर: (A) 308 सेमी2 | हल: (1/2)πr2 = (1/2) × (22/7) × 196 = 308 सेमी2.
Q85. एक अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है:
(A) 2πr2
(B) 3πr2
(C) 4πr2
(D) πr2
उत्तर: (B) 3πr2 | हल: वक्र पृष्ठ (2πr2) + आधार (πr2) = 3πr2.
Q86. आँकड़ों 10, 15, 20, 25, 30 का परिसर होगा:
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 5
उत्तर: (B) 20 | हल: परिसर = 30 - 10 = 20.
Q87. दो सिक्कों को उछालने पर कम से कम एक हेड आने की प्रायिकता है:
(A) 1/4
(B) 1/2
(C) 3/4
(D) 1
उत्तर: (C) 3/4 | हल: अनुकूल {HH, HT, TH} = 3। कुल = 4 ⇒ 3/4.
Q88. 3/8 का दशमलव प्रसार होगा:
(A) सांत
(B) अशांत आवर्ती
(C) अशांत अनावर्ती
(D) कोई नहीं
उत्तर: (A) सांत | हल: हर 8 = 23, अतः सांत है (0.375).
Q89. त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d के शून्यकों का योग (α+β+γ) होता है:
(A) -b/a
(B) b/a
(C) c/a
(D) -d/a
उत्तर: (A) -b/a | हल: त्रिघात शून्यकों का योग = -b/a.
Q90. यदि 2x + y = 7 और x - y = 2 हो, तो x का मान होगा:
(A) 3
(B) 1
(C) 4
(D) 2
उत्तर: (A) 3 | हल: जोड़ने पर 3x = 9 ⇒ x = 3.
Q91. A.P. 2, 7, 12, ... का 15वाँ पद होगा:
(A) 70
(B) 72
(C) 75
(D) 77
उत्तर: (B) 72 | हल: a15 = 2 + 14(5) = 2 + 70 = 72.
Q92. बिंदुओं (0, 4) और (4, 0) के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:
(A) (2, 2)
(B) (4, 4)
(C) (0, 0)
(D) (2, 0)
उत्तर: (A) (2, 2) | हल: ((0 + 4)/2, (4 + 0)/2) = (2, 2).
Q93. cosec(90° - θ) बराबर होता है:
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) cos θ
(D) tan θ
उत्तर: (A) sec θ | हल: पूरक कोण सूत्र: cosec(90° - θ) = sec θ.
Q94. एक वृत्त के अर्धवृत्त का कोण कितने अंश का होता है?
(A) 90°
(B) 180°
(C) 60°
(D) 360°
उत्तर: (A) 90° | हल: अर्धवृत्त में बना कोण सदैव समकोण (90°) होता है।
Q95. एक घनाभ में कितने शीर्ष (vertices) होते हैं?
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 4
उत्तर: (B) 8 | हल: घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं।
Q96. वर्ग अंतराल 40 - 50 की निम्न सीमा है:
(A) 40
(B) 50
(C) 45
(D) 10
उत्तर: (A) 40 | हल: निम्न सीमा 40 है।
Q97. एक निश्चित घटना की प्रायिकता होती है:
(A) 0
(B) 1
(C) 0.5
(D) अनंत
उत्तर: (B) 1 | हल: निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
Q98. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
उत्तर: (C) 2 | हल: 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
Q99. sin 60° / cos 30° का मान होगा:
(A) 1
(B) √3
(C) 1/√3
(D) 0
उत्तर: (A) 1 | हल: (√3/2) / (√3/2) = 1.
Q100. माध्य, माध्यक और बहुलक में आनुभविक संबंध है:
(A) बहुलक = 3 माध्यक - 2 माध्य
(B) माध्यक = 3 बहुलक - 2 माध्य
(C) बहुलक = 2 माध्यक - 3 माध्य
(D) माध्य = 3 माध्यक - 2 बहुलक
उत्तर: (A) बहुलक = 3 माध्यक - 2 माध्य | हल: Mode = 3 Median - 2 Mean.
खंड – 'ब' : लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions) 30 × 2 = 60 अंक
प्र० 1. यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग कर 196 और 38220 का म०स० (HCF) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ 38220 > 196 है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r से:
चरण 1: 38220 = 196 × 195 + 0
चूँकि प्रथम चरण में ही शेषफल = 0 प्राप्त हो जाता है, अतः भाजक 196 ही म०स० है।
अतः HCF(196, 38220) = 196.
प्र० 2. सिद्ध कीजिए कि 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
माना कि 1/√2 एक परिमेय संख्या a/b है (जहाँ a, b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, a, b ≠ 0)।
व्युत्क्रम लेने पर: √2 = b/a.
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए b/a एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ यह हुआ कि √2 भी एक परिमेय संख्या होगी, जो कि एक विरोधाभास है क्योंकि √2 अपरिमेय है।
अतः हमारी मान्यता असत्य है। 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।
प्र० 3. द्विघात बहुपद 4u2 + 8u के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा संबंधों की सत्यता जाँचिए।
हल:
4u2 + 8u = 0 ⇒ 4u(u + 2) = 0 ⇒ u = 0 अथवा u = -2.
अतः शून्यक α = 0 तथा β = -2 हैं।
जाँच:
1. α + β = 0 + (-2) = -2 = -b/a = -8/4 = -2 (सत्य)
2. αβ = 0 × (-2) = 0 = c/a = 0/4 = 0 (सत्य)।
अतः शून्यक 0 और -2 हैं।
प्र० 4. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमशः 0 और √5 हैं।
हल:
α + β = 0 तथा αβ = √5.
द्विघात बहुपद = x2 - (α + β)x + αβ = x2 - (0)x + √5 = x2 + √5.
प्र० 5. विलोपन विधि से हल करें: 3x - 5y - 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7.
हल:
समीकरण (1): 3x - 5y = 4
समीकरण (2): 9x - 2y = 7
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर: 9x - 15y = 12 ...(3)
(3) में से (2) घटाने पर: -13y = 5 ⇒ y = -5/13.
समीकरण (1) में मान रखने पर: 3x - 5(-5/13) = 4 ⇒ 3x + 25/13 = 4 ⇒ 3x = 27/13 ⇒ x = 9/13.
अतः x = 9/13, y = -5/13.
प्र० 6. k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण kx(x - 2) + 6 = 0 के दोनों मूल बराबर होंगे?
हल:
समीकरण: kx2 - 2kx + 6 = 0.
यहाँ a = k, b = -2k, c = 6.
समान मूलों हेतु D = b2 - 4ac = 0
(-2k)2 - 4(k)(6) = 0 ⇒ 4k2 - 24k = 0 ⇒ 4k(k - 6) = 0.
चूँकि k ≠ 0 (द्विघात पद हेतु), अतः k = 6.
प्र० 7. A.P. 10, 7, 4, ... का कौन-सा पद -77 है?
हल:
a = 10, d = -3, an = -77.
-77 = 10 + (n - 1)(-3) ⇒ -87 = -3(n - 1) ⇒ n - 1 = 29 ⇒ n = 30.
अतः श्रेढ़ी का 30वाँ पद -77 है।
प्र० 8. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल:
श्रेणी: 12, 16, 20, ..., 248.
a = 12, d = 4, an = 248.
248 = 12 + (n - 1)4 ⇒ 236 = 4(n - 1) ⇒ n - 1 = 59 ⇒ n = 60 गुणज।
प्र० 9. बिंदुओं A(a, b) और B(-a, -b) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
d = √[(-a - a)2 + (-b - b)2] = √[(-2a)2 + (-2b)2]
= √[4a2 + 4b2] = 2√(a2 + b2) मात्रक.
प्र० 10. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल:
x = (2×4 + 3×(-1))/(2 + 3) = (8 - 3)/5 = 1.
y = (2×(-3) + 3×7)/(2 + 3) = (-6 + 21)/5 = 3.
अतः अभीष्ट बिंदु (1, 3) है।
प्र० 11. k का मान ज्ञात कीजिए यदि बिंदु A(8, 1), B(k, -4) और C(2, -5) संरेखी हों।
हल:
संरेखी बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है:
(1/2)[8(-4 - (-5)) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4))] = 0
⇒ 8(1) + k(-6) + 2(5) = 0 ⇒ 8 - 6k + 10 = 0 ⇒ 6k = 18 ⇒ k = 3.
प्र० 12. यदि ΔABC में ∠B = 90°, AB = 24 सेमी, BC = 7 सेमी हो, तो sin A और cos A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
कर्ण AC = √(242 + 72) = √(576 + 49) = √625 = 25 सेमी.
कोण A के लिए सम्मुख भुजा (लम्ब) = BC = 7, संलग्न भुजा (आधार) = AB = 24.
• sin A = 7/25
• cos A = 24/25.
प्र० 13. मान ज्ञात कीजिए: (5 cos2 60° + 4 sec2 30° - tan2 45°) / (sin2 30° + cos2 30°).
हल:
हर = sin2 30° + cos2 30° = 1.
अंश = 5(1/2)2 + 4(2/√3)2 - 12 = 5(1/4) + 4(4/3) - 1 = 5/4 + 16/3 - 1
= (15 + 64 - 12)/12 = 67/12.
प्र० 14. सिद्ध कीजिए कि: √[(1 + cos θ)/(1 - cos θ)] = cosec θ + cot θ.
हल:
L.H.S. = √[((1 + cos θ)(1 + cos θ)) / ((1 - cos θ)(1 + cos θ))]
= √[(1 + cos θ)2 / sin2 θ] = (1 + cos θ)/sin θ
= (1/sin θ) + (cos θ/sin θ) = cosec θ + cot θ = R.H.S. (इति सिद्धम्)।
प्र० 15. यदि sin 3A = cos(A - 26°), जहाँ 3A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
cos(90° - 3A) = cos(A - 26°)
⇒ 90° - 3A = A - 26° ⇒ 4A = 116° ⇒ A = 29°.
प्र० 16. ΔABC में DE || BC है। यदि AD = 4 सेमी, DB = (x - 4) सेमी, AE = 8 सेमी तथा EC = (3x - 19) सेमी हो, तो x ज्ञात कीजिए।
हल:
थेल्स प्रमेय से: AD/DB = AE/EC ⇒ 4/(x - 4) = 8/(3x - 19)
⇒ 1/(x - 4) = 2/(3x - 19) ⇒ 3x - 19 = 2x - 8 ⇒ x = 11 सेमी.
प्र० 17. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
हल:
माना AB वृत्त का व्यास है तथा सिरों A और B पर क्रमशः स्पर्श रेखाएं PQ और RS हैं।
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः ∠PAB = 90° और ∠ABS = 90°।
यहाँ ∠PAB = ∠ABS = 90° एकांतर अंतःकोण हैं।
चूँकि एकांतर कोण समान हैं, अतः रेखाएँ PQ || RS (इति सिद्धम्)।
प्र० 18. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 44 सेमी है।
हल:
2πr = 44 ⇒ r = 7 सेमी.
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4)πr2 = (1/4) × (22/7) × 49 = 154/4 = 77/2 सेमी2 (38.5 सेमी2).
प्र० 19. त्रिज्या 4 सेमी वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 30° है। (π = 3.14)
हल:
क्षेत्रफल = (30/360) × 3.14 × 4 × 4 = (1/12) × 3.14 × 16 = (4 × 3.14)/3 = 4.19 सेमी2.
प्र० 20. 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्या वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है। बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
(4/3)πR3 = (4/3)π(63 + 83 + 103)
⇒ R3 = 216 + 512 + 1000 = 1728 ⇒ R = ∛1728 = 12 सेमी.
प्र० 21. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
हल:
सम अभाज्य संख्या केवल 2 होती है (अनुकूल परिणाम = 1)। कुल परिणाम = 6।
प्रायिकता = 1/6.
प्र० 22. अच्छी प्रकार फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। तस्वीर वाला पत्ता (Face card) आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
तस्वीर वाले पत्ते (गुलाम, बेगम, बादशाह) = 4 × 3 = 12.
प्रायिकता = 12/52 = 3/13.
प्र० 23. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतराल0-1010-2020-3030-4040-50
बारंबारता (f)34562
हल:
मध्यमान x = 5, 15, 25, 35, 45.
Σf = 20, Σfx = (3×5) + (4×15) + (5×25) + (6×35) + (2×45) = 15 + 60 + 125 + 210 + 90 = 500.
माध्य = 500 / 20 = 25.
प्र० 24. प्रथम 10 विषम संख्याओं का माध्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम 10 विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 (n = 10, सम)।
माध्यक = (5वाँ पद + 6वाँ पद)/2 = (9 + 11)/2 = 10.
प्र० 25. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 144 और 198 का म०स० (HCF) ज्ञात कीजिए।
हल:
144 = 24 × 32
198 = 2 × 32 × 11
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड = 21 × 32 = 2 × 9 = 18.
प्र० 26. द्विघात समीकरण 2x2 - x - 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।
हल:
2x2 - 4x + 3x - 6 = 0 ⇒ 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 ⇒ (x - 2)(2x + 3) = 0.
अतः x = 2 और x = -3/2.
प्र० 27. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = (1/2)|1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|
= (1/2)|1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)| = (1/2)|11 + 16 + 21| = (1/2)|48| = 24 वर्ग मात्रक.
प्र० 28. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ + cosec θ)2 + (cos θ + sec θ)2 = 7 + tan2 θ + cot2 θ.
हल:
L.H.S. = (sin2θ + 2 + cosec2θ) + (cos2θ + 2 + sec2θ)
= (sin2θ + cos2θ) + 4 + (1 + cot2θ) + (1 + tan2θ)
= 1 + 4 + 1 + cot2θ + 1 + tan2θ = 7 + tan2θ + cot2θ = R.H.S. (इति सिद्धम्)।
प्र० 29. एक पहिया जिसका व्यास 70 सेमी है, 100 चक्कर लगाने में कितनी दूरी तय करेगा?
हल:
परिधि = πd = (22/7) × 70 = 220 सेमी = 2.2 मीटर.
100 चक्कर में तय दूरी = 100 × 2.2 = 220 मीटर.
प्र० 30. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि 13/3125 सांत है या अशांत आवर्ती।
हल:
हर 3125 = 55 = 20 × 55.
चूँकि हर 2n × 5m के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार सांत है।
खंड – 'स' : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions) 8 × 5 = 40 अंक
प्र० 31. ग्राफ़ीय विधि से हल कीजिए: 2x + 3y = 12 तथा x - y = 1.
हल:
समीकरण (1): 2x + 3y = 12 ⇒ y = (12 - 2x)/3
• x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ (0, 4)
• x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ (3, 2)
• x = 6 ⇒ y = 0 ⇒ (6, 0)

समीकरण (2): x - y = 1 ⇒ y = x - 1
• x = 0 ⇒ y = -1 ⇒ (0, -1)
• x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ (1, 0)
• x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ (3, 2)

निष्कर्ष:
दोनों आलेखीय रेखाएँ बिंदु (3, 2) पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः अभीष्ट हल x = 3, y = 2 है।
प्र० 32. सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
हल:
दिया है: समकोण ΔABC जिसमें ∠B = 90° है।
सिद्ध करना है: AC2 = AB2 + BC2.
रचना: BD ⊥ AC खींचा।

उपपत्ति:
ΔADB और ΔABC में:
∠ADB = ∠ABC = 90° तथा ∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
अतः AA समरूपता से: ΔADB ~ ΔABC ⇒ AD/AB = AB/AC ⇒ AB2 = AD × AC ...(1)

पुनः ΔBDC और ΔABC में:
∠BDC = ∠ABC = 90° तथा ∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
अतः AA समरूपता से: ΔBDC ~ ΔABC ⇒ CD/BC = BC/AC ⇒ BC2 = CD × AC ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
AB2 + BC2 = (AD × AC) + (CD × AC) = AC(AD + CD)
चूँकि AD + CD = AC है, अतः:
AB2 + BC2 = AC × AC = AC2 (इति सिद्धम्)।
प्र० 33. सिद्ध कीजिए कि: (cos A / (1 + sin A)) + ((1 + sin A) / cos A) = 2 sec A.
हल:
L.H.S. = [cos2 A + (1 + sin A)2] / [cos A (1 + sin A)]
= [cos2 A + 1 + 2sin A + sin2 A] / [cos A (1 + sin A)]
चूँकि cos2 A + sin2 A = 1:
= [1 + 1 + 2sin A] / [cos A (1 + sin A)] = [2 + 2sin A] / [cos A (1 + sin A)]
= 2(1 + sin A) / [cos A (1 + sin A)] = 2 / cos A = 2 sec A = R.H.S. (इति सिद्धम्)।
प्र० 34. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना खंभों की ऊँचाई AB = CD = h मीटर है तथा सड़क BD = 80 मीटर। बिंदु P पर BP = x, तो PD = 80 - x.

समकोण ΔABP में:
tan 60° = h / x ⇒ √3 = h / x ⇒ h = x√3 ...(1)

समकोण ΔCDP में:
tan 30° = h / (80 - x) ⇒ 1/√3 = h / (80 - x) ⇒ 80 - x = h√3
समीकरण (1) से h का मान रखने पर: 80 - x = (x√3)√3 = 3x ⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 मीटर.

अतः h = 20√3 मीटर। तथा PD = 80 - 20 = 60 मीटर।
अतः खंभों की ऊँचाई = 20√3 मीटर तथा दूरियाँ 20 मीटर और 60 मीटर हैं।
प्र० 35. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ी संख्या = x. छोटी संख्या का वर्ग = 8x.
प्रश्नानुसार: x2 - 8x = 180 ⇒ x2 - 8x - 180 = 0
⇒ (x - 18)(x + 10) = 0 ⇒ x = 18 अथवा x = -10.
यदि x = -10, तो छोटी संख्या का वर्ग = -80 (असंभव)।
अतः बड़ी संख्या x = 18. छोटी संख्या का वर्ग = 8(18) = 144 ⇒ छोटी संख्या = ±12.
अतः संख्याएँ (18, 12) अथवा (18, -12) हैं।
प्र० 36. व्यास 7 मीटर वाला 20 मीटर गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और मिट्टी फैलाकर 22 मी × 14 मी का चबूतरा बनाया गया है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
कुएँ (बेलन) की त्रिज्या r = 7/2 मी, गहराई h = 20 मी.
खोदी गई मिट्टी का आयतन = πr2h = (22/7) × (7/2) × (7/2) × 20 = 770 मी3.
चबूतरे का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 22 × 14 × H.
22 × 14 × H = 770 ⇒ 308 H = 770 ⇒ H = 770 / 308 = 2.5 मीटर.
अतः चबूतरे की ऊँचाई 2.5 मीटर है।
प्र० 37. 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। (रचना के चरण लिखें)
रचना के चरण:
1. केंद्र O और त्रिज्या 5 सेमी वाला एक वृत्त खींचा।
2. कोई त्रिज्या OA खींची।
3. चूँकि स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 60° है, अतः केंद्र पर अंतरित कोण = 180° - 60° = 120° होगा।
4. केंद्र O पर OA के साथ 120° का कोण बनाती हुई त्रिज्या OB खींची।
5. बिंदु A पर OA के लंबवत रेखा PA तथा बिंदु B पर OB के लंबवत रेखा PB खींची।
6. ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं, जिनके बीच का कोण ∠APB = 60° है।
प्र० 38. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:
वर्ग अंतरालबारंबारता (f)संचयी बारंबारता (cf)
0 - 1055
10 - 201015
20 - 301833
30 - 403063
40 - 502083
50 - 601295
60 - 705100
हल:
N = 100 ⇒ N/2 = 50.
50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 63 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 30 - 40 है।
अतः माध्यक वर्ग = 30 - 40.

यहाँ l = 30, cf = 33, f = 30, h = 10.
माध्यक = l + [ ((N/2) - cf) / f ] × h
= 30 + [ (50 - 33) / 30 ] × 10 = 30 + [ 17 / 30 ] × 10
= 30 + 17/3 = 30 + 5.67 = 35.67.
अतः दिए गए आँकड़ों का माध्यक 35.67 है।

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