BSEB 10 Mathematics PYQs 2025

बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) मैट्रिक वार्षिक परीक्षा 2025

विषय: गणित (Mathematics) | प्रश्न पत्र कोड: 110 (Full Solved Paper)

100 Objective Questions + 30 Short Questions + 8 Long Questions (संपूर्ण हल सहित)

खंड – 'अ' : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) 100 × 1 = 100 अंक

Q1. 200 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का अधिकतम घातांक क्या है?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

उत्तर: (B) 3 | हल: 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 2³ × 5², अतः 2 का घातांक = 3.

Q2. यदि a और b दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनका म०स० (HCF) होगा:

(A) a

(B) b

(C) 1

(D) ab

उत्तर: (C) 1 | हल: किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः HCF = 1.

Q3. निम्नलिखित में कौन-सा परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है?

(A) 11/70

(B) 9/60

(C) 15/88

(D) 13/210

उत्तर: (B) 9/60 | हल: 9/60 = 3/20 = 3/(2² × 5), हर 2ⁿ × 5^m के रूप का है, अतः यह सांत है।

Q4. बहुपद 5y² - 14y + 8 के शून्यकों का योगफल होगा:

(A) 5/2

(B) -14/5

(C) 14/5

(D) 8/5

उत्तर: (C) 14/5 | हल: शून्यकों का योग = -b/a = -(-14)/5 = 14/5.

Q5. बहुपद x² - 4x + 1 के शून्यकों का गुणनफल है:

(A) -4

(B) 4

(C) 1

(D) -1

उत्तर: (C) 1 | हल: शून्यकों का गुणनफल = c/a = 1/1 = 1.

Q6. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान होगा:

(A) b/a

(B) -b/a

(C) c/a

(D) -c/a

उत्तर: (B) -b/a | हल: प्रामाणिक सूत्र के अनुसार द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग = -b/a होता है।

Q7. रैखिक समीकरण निकाय 2x + 3y = 7 एवं 6x + 9y = 11 के कितने हल होंगे?

(A) एक अद्वितीय हल

(B) कोई हल नहीं

(C) अनगिनत हल

(D) दो हल

उत्तर: (B) कोई हल नहीं | हल: 2/6 = 3/9 ≠ 7/11 ⇒ 1/3 = 1/3 ≠ 7/11 (रेखाएँ समांतर हैं, अतः कोई हल नहीं)।

Q8. यदि x = 1 दोनों समीकरणों x² + x + a = 0 तथा bx² + bx + 3 = 0 का मूल हो, तो ab का मान होगा:

(A) 3

(B) -3

(C) 4

(D) 6

उत्तर: (A) 3 | हल: 1 + 1 + a = 0 ⇒ a = -2। b(1) + b(1) + 3 = 0 ⇒ 2b = -3 ⇒ b = -3/2। ab = (-2)(-3/2) = 3.

Q9. द्विघात समीकरण 3x² - 2x + 1/3 = 0 का विविक्तकर (D) क्या होगा?

(A) 0

(B) 1/2

(C) 1

(D) 2

उत्तर: (A) 0 | हल: D = b² - 4ac = (-2)² - 4(3)(1/3) = 4 - 4 = 0.

Q10. समांतर श्रेढ़ी 4, 9, 14, 19, ... का कौन-सा पद 109 है?

(A) 20वाँ

(B) 21वाँ

(C) 22वाँ

(D) 23वाँ

उत्तर: (C) 22वाँ | हल: 109 = 4 + (n - 1)5 ⇒ 105 = 5(n - 1) ⇒ n - 1 = 21 ⇒ n = 22.

Q11. प्रथम 20 प्राकृतिक सम संख्याओं का योगफल होगा:

(A) 400

(B) 420

(C) 210

(D) 440

उत्तर: (B) 420 | हल: S_n = n(n + 1) = 20 × 21 = 420.

Q12. यदि बिंदु (k, 2) और (3, 4) के बीच की दूरी √8 हो, तो k का एक मान होगा:

(A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) 4

उत्तर: (A) 1 | हल: (3 - k)² + (4 - 2)² = 8 ⇒ (3 - k)² + 4 = 8 ⇒ (3 - k)² = 4 ⇒ 3 - k = 2 ⇒ k = 1.

Q13. बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु (0, 0) से दूरी होगी:

(A) 8

(B) 10

(C) 6

(D) 14

उत्तर: (B) 10 | हल: d = √[(-6)² + 8²] = √[36 + 64] = √100 = 10 मात्रक।

Q14. बिंदु (-3, -5) किस पाद में स्थित है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (C) तृतीय | हल: (- , -) तृतीय चतुर्थांश (3rd quadrant) को दर्शाता है।

Q15. y-अक्ष से बिंदु P(4, 2) की दूरी है:

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) √20

उत्तर: (B) 4 | हल: y-अक्ष से दूरी बिंदु का भुज (x-निर्देशांक) होती है, जो कि 4 है।

Q16. sin 60° × cos 30° + cos 60° × sin 30° का मान है:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 1/2

उत्तर: (B) 1 | हल: (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.

Q17. यदि 2cos θ = 1 हो, तो θ का मान होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (C) 60° | हल: cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°.

Q18. (sec² θ - 1) बराबर होता है:

(A) tan² θ

(B) cot² θ

(C) cos² θ

(D) sin² θ

उत्तर: (A) tan² θ | हल: मूलभूत सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से sec²θ - 1 = tan²θ.

Q19. cos(90° - θ) बराबर होता है:

(A) sin θ

(B) -sin θ

(C) cos θ

(D) tan θ

उत्तर: (A) sin θ | हल: पूरक कोण निष्पत्ति: cos(90° - θ) = sin θ.

Q20. tan 26° / cot 64° का मान होगा:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: cot 64° = tan 26° ⇒ tan 26° / tan 26° = 1.

Q21. एक वृत्त की स्पर्श रेखा उसे कितने बिंदुओं पर स्पर्श करती है?

(A) 1

(B) 2

(C) अनंत

(D) 0

उत्तर: (A) 1 | हल: वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है।

Q22. वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ होती हैं:

(A) समान

(B) असमान

(C) आधी

(D) दोगुनी

उत्तर: (A) समान | हल: प्रमेय 10.2 के अनुसार बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान होती हैं।

Q23. यदि एक वृत्त की परिधि 88 सेमी है, तो इसकी त्रिज्या होगी:

(A) 7 सेमी

(B) 14 सेमी

(C) 21 सेमी

(D) 28 सेमी

उत्तर: (B) 14 सेमी | हल: 2πr = 88 ⇒ 2 × (22/7) × r = 88 ⇒ r = 14 सेमी.

Q24. त्रिज्या r वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण θ है, होगा:

(A) (θ/360) × πr²

(B) (θ/180) × πr²

(C) (θ/360) × 2πr

(D) (θ/180) × 2πr

उत्तर: (A) (θ/360) × πr² | हल: त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का प्रामाणिक सूत्र (θ/360°) × πr² है।

Q25. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 सेमी² है, तो इसकी कोर की लंबाई होगी:

(A) 4 सेमी

(B) 6 सेमी

(C) 8 सेमी

(D) 16 सेमी

उत्तर: (A) 4 सेमी | हल: 6a² = 96 ⇒ a² = 16 ⇒ a = 4 सेमी.

Q26. एक बेलन की आधार त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, उसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल होगा:

(A) 220 सेमी²

(B) 440 सेमी²

(C) 880 सेमी²

(D) 1540 सेमी²

उत्तर: (B) 440 सेमी² | हल: 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 सेमी².

Q27. यदि किसी वितरण का माध्य 20 और बहुलक 26 हो, तो उसका माध्यक होगा:

(A) 22

(B) 21

(C) 24

(D) 23

उत्तर: (A) 22 | हल: बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य) ⇒ 26 = 3M - 2(20) ⇒ 3M = 66 ⇒ M = 22.

Q28. आँकड़ों 3, 5, 7, 5, 8, 5, 2, 5 का बहुलक है:

(A) 3

(B) 5

(C) 7

(D) 8

उत्तर: (B) 5 | हल: 5 सबसे अधिक (4 बार) आया है, अतः बहुलक = 5.

Q29. एक पासा फेंकने पर 3 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता होगी:

(A) 1/2

(B) 1/3

(C) 2/3

(D) 1/6

उत्तर: (A) 1/2 | हल: 3 से बड़ी संख्याएँ {4, 5, 6} = 3। कुल = 6। प्रायिकता = 3/6 = 1/2.

Q30. ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकालने पर एक लाल बेगम (Red Queen) आने की प्रायिकता है:

(A) 1/13

(B) 1/26

(C) 2/13

(D) 1/52

उत्तर: (B) 1/26 | हल: लाल बेगम की संख्या = 2 (पान + ईंट)। कुल पत्ते = 52। प्रायिकता = 2/52 = 1/26.

Q31. निम्नलिखित में कौन-सी अभाज्य संख्या है?

(A) 33

(B) 39

(C) 37

(D) 35

उत्तर: (C) 37 | हल: 37 के केवल दो गुणनखंड 1 और 37 हैं, अतः यह अभाज्य संख्या है।

Q32. बहुपद x² - 9 के शून्यक हैं:

(A) 3, -3

(B) 9, -9

(C) √3, -√3

(D) 3, 3

उत्तर: (A) 3, -3 | हल: x² - 9 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3.

Q33. एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 में विविक्तकर D = b² - 4ac > 0 हो, तो मूल होंगे:

(A) वास्तविक और बराबर

(B) वास्तविक और असमान

(C) अवास्तविक

(D) कोई नहीं

उत्तर: (B) वास्तविक और असमान | हल: जब D > 0 होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और भिन्न-भिन्न (असमान) होते हैं।

Q34. A.P. 12, 17, 22, 27, ... का सार्व अंतर है:

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) -5

उत्तर: (B) 5 | हल: d = 17 - 12 = 5.

Q35. बिंदु (0, -6) किस अक्ष पर स्थित है?

(A) x-अक्ष पर

(B) y-अक्ष पर

(C) मूल बिंदु पर

(D) चतुर्थ पाद में

उत्तर: (B) y-अक्ष पर | हल: भुज (x) = 0 होने पर बिंदु y-अक्ष पर स्थित होता है।

Q36. tan 45° : cot 45° का मान होगा:

(A) 1 : 1

(B) 1 : 2

(C) 2 : 1

(D) 1 : √3

उत्तर: (A) 1 : 1 | हल: 1 / 1 = 1 : 1.

Q37. यदि एक अर्धवृत्त का व्यास 14 सेमी हो, तो उसकी परिमिति होगी:

(A) 36 सेमी

(B) 44 सेमी

(C) 72 सेमी

(D) 22 सेमी

उत्तर: (A) 36 सेमी | हल: r = 7 सेमी। परिमिति = r(π + 2) = 7 × (22/7 + 2) = 36 सेमी.

Q38. प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं का माध्य होगा:

(A) 5

(B) 5.6

(C) 6.2

(D) 7

उत्तर: (B) 5.6 | हल: (2 + 3 + 5 + 7 + 11)/5 = 28/5 = 5.6.

Q39. दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर दो शीर्ष (HH) आने की प्रायिकता है:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 3/4

(D) 1

उत्तर: (B) 1/4 | हल: कुल = {HH, HT, TH, TT} = 4। अनुकूल {HH} = 1। प्रायिकता = 1/4.

Q40. 3 + √2 एक ________ संख्या है:

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) प्राकृत

उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग सदैव अपरिमेय होता है।

Q41. त्रिघात बहुपद की अधिकतम घात होती है:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (C) 3 | हल: त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) की घात 3 होती है।

Q42. समांतर श्रेढ़ी 10, 7, 4, ... का 20वाँ पद होगा:

(A) -47

(B) 47

(C) -50

(D) 50

उत्तर: (A) -47 | हल: a = 10, d = -3। a₂₀ = 10 + 19(-3) = 10 - 57 = -47.

Q43. बिंदु A(3, 4) और B(7, 8) के मध्य बिंदु के निर्देशांक होंगे:

(A) (5, 6)

(B) (4, 5)

(C) (6, 5)

(D) (10, 12)

उत्तर: (A) (5, 6) | हल: ((3 + 7)/2, (4 + 8)/2) = (10/2, 12/2) = (5, 6).

Q44. sin 30° / cos 30° बराबर होता है:

(A) 1

(B) 1/√3

(C) √3

(D) 0

उत्तर: (B) 1/√3 | हल: sin 30°/cos 30° = tan 30° = 1/√3.

Q45. एक वृत्त के किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण 90° है, तो वह भाग कहलाएगा:

(A) अर्धवृत्त

(B) चतुर्थांश

(C) त्रिज्यखंड

(D) वृत्तखंड

उत्तर: (B) चतुर्थांश | हल: 90°/360° = 1/4 (चतुर्थांश)।

Q46. वर्ग अंतराल 25 - 35 का वर्ग चिह्न क्या है?

(A) 25

(B) 30

(C) 35

(D) 10

उत्तर: (B) 30 | हल: (25 + 35)/2 = 60/2 = 30.

Q47. यदि किसी घटना के घटने की प्रायिकता 0.45 है, तो न घटने की प्रायिकता होगी:

(A) 0.55

(B) 0.65

(C) 0.45

(D) 1.45

उत्तर: (A) 0.55 | हल: 1 - 0.45 = 0.55.

Q48. 156 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक है:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (B) 2 | हल: 156 = 2² × 3 × 13, अतः 2 का घातांक = 2.

Q49. यदि 3 cot θ = 4 हो, तो tan θ का मान होगा:

(A) 3/4

(B) 4/3

(C) 5/4

(D) 4/5

उत्तर: (A) 3/4 | हल: cot θ = 4/3 ⇒ tan θ = 1/cot θ = 3/4.

Q50. असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) 1/2

उत्तर: (B) 0 | हल: असंभव घटना कभी घटित नहीं हो सकती, अतः P = 0.

Q51. √50 / √2 का मान होगा:

(A) 5

(B) √5

(C) 25

(D) 2

उत्तर: (A) 5 | हल: √(50/2) = √25 = 5 (परिमेय संख्या)।

Q52. बहुपद 2x + 3 का शून्यक है:

(A) 3/2

(B) -3/2

(C) 2/3

(D) -2/3

उत्तर: (B) -3/2 | हल: 2x + 3 = 0 ⇒ 2x = -3 ⇒ x = -3/2.

Q53. A.P. 3, 3, 3, 3, ... का सार्व अंतर है:

(A) 3

(B) 0

(C) 1

(D) -3

उत्तर: (B) 0 | हल: d = 3 - 3 = 0.

Q54. बिंदु (-4, -6) की x-अक्ष से दूरी क्या होगी?

(A) 4

(B) 6

(C) -6

(D) -4

उत्तर: (B) 6 | हल: x-अक्ष से दूरी = |y-निर्देशांक| = |-6| = 6 मात्रक।

Q55. sin 60° का मान होता है:

(A) 1/2

(B) √3/2

(C) 1/√2

(D) 1

उत्तर: (B) √3/2 | हल: मानक कोण तालिका से sin 60° = √3/2.

Q56. एक वृत्त के किसी बिंदु पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) केवल 1

(B) 2

(C) अनंत

(D) 0

उत्तर: (A) केवल 1 | हल: वृत्त पर स्थित किसी एक निश्चित बिंदु पर केवल 1 स्पर्श रेखा होती है।

Q57. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 49 : 81 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात होगा:

(A) 7 : 9

(B) 9 : 7

(C) 49 : 81

(D) √7 : √9

उत्तर: (A) 7 : 9 | हल: भुजाओं का अनुपात = √(49/81) = 7/9 = 7 : 9.

Q58. एक अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है, उसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल होगा:

(A) 154 सेमी²

(B) 308 सेमी²

(C) 462 सेमी²

(D) 616 सेमी²

उत्तर: (B) 308 सेमी² | हल: 2πr² = 2 × (22/7) × 49 = 308 सेमी².

Q59. वर्ग अंतराल 0 - 10, 10 - 20 की वर्ग माप (h) क्या है?

(A) 5

(B) 10

(C) 15

(D) 20

उत्तर: (B) 10 | हल: वर्ग माप = उच्च सीमा - निम्न सीमा = 10 - 0 = 10.

Q60. किसी निश्चित घटना की प्रायिकता P(E) होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) 0.5

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

Q61. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r में r का मान संतुष्ट करता है:

(A) 0 ≤ r ≤ b

(B) 0 < r < b

(C) 0 ≤ r < b

(D) r > b

उत्तर: (C) 0 ≤ r < b | हल: शेषफल r सदैव 0 या उससे बड़ा तथा भाजक b से छोटा होता है।

Q62. द्विघात समीकरण 2x² - 5x + 3 = 0 के मूलों का योगफल होगा:

(A) 5/2

(B) -5/2

(C) 3/2

(D) -3/2

उत्तर: (A) 5/2 | हल: योग = -b/a = -(-5)/2 = 5/2.

Q63. समीकरण निकाय x + y = 10 और x - y = 4 में x का मान होगा:

(A) 7

(B) 3

(C) 6

(D) 4

उत्तर: (A) 7 | हल: 2x = 14 ⇒ x = 7.

Q64. A.P. 1, 4, 7, 10, ... का 15वाँ पद क्या होगा?

(A) 40

(B) 43

(C) 46

(D) 42

उत्तर: (B) 43 | हल: a₁₅ = 1 + 14(3) = 1 + 42 = 43.

Q65. बिंदु (3, -2) किस पाद में स्थित है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (D) चतुर्थ | हल: (+, -) चतुर्थ पाद में आता है।

Q66. 1 + cot² 30° का मान होगा:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 1

उत्तर: (C) 4 | हल: 1 + (√3)² = 1 + 3 = 4.

Q67. एक वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी है, उसकी परिधि होगी:

(A) 66 सेमी

(B) 132 सेमी

(C) 154 सेमी

(D) 44 सेमी

उत्तर: (B) 132 सेमी | हल: 2πr = 2 × (22/7) × 21 = 132 सेमी.

Q68. गोले का आयतन होता है:

(A) 4πr²

(B) (4/3)πr³

(C) (2/3)πr³

(D) πr³

उत्तर: (B) (4/3)πr³ | हल: गोले के आयतन का सूत्र (4/3)πr³ है।

Q69. प्रथम 6 प्राकृत संख्याओं का माध्यक क्या होगा?

(A) 3

(B) 3.5

(C) 4

(D) 2.5

उत्तर: (B) 3.5 | हल: संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5, 6। माध्यक = (3 + 4)/2 = 3.5.

Q70. एक पासा फेंकने पर 4 आने की प्रायिकता है:

(A) 1/6

(B) 1/3

(C) 1/2

(D) 4/6

उत्तर: (A) 1/6 | हल: अनुकूल = 1, कुल = 6 ⇒ 1/6.

Q71. π/3 का मान त्रिकोणमिति में किसके तुल्य कोण है?

(A) 30°

(B) 60°

(C) 45°

(D) 90°

उत्तर: (B) 60° | हल: 180° / 3 = 60°.

Q72. बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यक हैं:

(A) 2, 3

(B) -2, -3

(C) 1, 6

(D) -1, -6

उत्तर: (A) 2, 3 | हल: (x - 2)(x - 3) = 0 ⇒ x = 2, 3.

Q73. यदि A.P. का प्रथम पद a तथा सार्व अंतर d हो, तो nवाँ पद होगा:

(A) a + nd

(B) a + (n - 1)d

(C) a + (n + 1)d

(D) n + ad

उत्तर: (B) a + (n - 1)d | हल: मानक व्यापक पद सूत्र a_n = a + (n - 1)d.

Q74. मूल बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

(A) (1, 1)

(B) (0, 0)

(C) (-1, -1)

(D) (0, 1)

उत्तर: (B) (0, 0) | हल: मूल बिंदु = (0, 0).

Q75. sin² 63° + sin² 27° का मान है:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) -1

उत्तर: (B) 1 | हल: sin 27° = cos 63° ⇒ sin² 63° + cos² 63° = 1.

Q76. वृत्त का क्षेत्रफल होता है:

(A) 2πr

(B) πr²

(C) 2πr²

(D) 4πr²

उत्तर: (B) πr² | हल: वृत्त का क्षेत्रफल = πr².

Q77. शंकु का आयतन होता है:

(A) πr²h

(B) (1/3)πr²h

(C) (2/3)πr²h

(D) 2πrh

उत्तर: (B) (1/3)πr²h | हल: शंकु का आयतन बेलन के आयतन का 1/3 भाग होता है।

Q78. संचयी बारंबारता वक्र को कहा जाता है:

(A) तोरण

(B) आयतचित्र

(C) दंडालेख

(D) कोई नहीं

उत्तर: (A) तोरण | हल: संचयी बारंबारता वक्र = तोरण (Ogive).

Q79. एक सिक्के को उछालने पर हेड (H) आने की प्रायिकता है:

(A) 1

(B) 1/2

(C) 1/4

(D) 0

उत्तर: (B) 1/2 | हल: 1 / 2.

Q80. 0.333... को परिमेय रूप में लिखेंगे:

(A) 1/3

(B) 3/10

(C) 33/100

(D) 3/1

उत्तर: (A) 1/3 | हल: 3/9 = 1/3.

Q81. यदि α और β बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक हों, तो αβ का मान होगा:

(A) -2

(B) 2

(C) -8

(D) 8

उत्तर: (C) -8 | हल: αβ = c/a = -8/1 = -8.

Q82. द्विघात समीकरण x² - 4 = 0 के मूल हैं:

(A) 2, -2

(B) 4, -4

(C) 2, 2

(D) 0, 4

उत्तर: (A) 2, -2 | हल: x² = 4 ⇒ x = ±2.

Q83. A.P. 2, 4, 6, 8, ... का 10वाँ पद होगा:

(A) 18

(B) 20

(C) 22

(D) 24

उत्तर: (B) 20 | हल: a₁₀ = 2 + 9(2) = 20.

Q84. बिंदु P(2, 3) की y-अक्ष से लंबवत दूरी है:

(A) 2

(B) 3

(C) 5

(D) √13

उत्तर: (A) 2 | हल: y-अक्ष से दूरी = x-निर्देशांक = 2.

Q85. cos 0° का मान होता है:

(A) 0

(B) 1

(C) 1/2

(D) अपरिभाषित

उत्तर: (B) 1 | हल: cos 0° = 1.

Q86. वृत्त की परिधि का सूत्र है:

(A) πr²

(B) 2πr

(C) 2πr²

(D) πd²

उत्तर: (B) 2πr | हल: परिधि = 2πr.

Q87. एक घन में कितने फलक (faces) होते हैं?

(A) 6

(B) 8

(C) 12

(D) 4

उत्तर: (A) 6 | हल: घन में कुल 6 समतल फलक होते हैं।

Q88. आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 6 का समांतर माध्य होगा:

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 4.5

उत्तर: (B) 4 | हल: (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/5 = 20/5 = 4.

Q89. एक थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। लाल गेंद निकलने की प्रायिकता है:

(A) 3/8

(B) 5/8

(C) 1/2

(D) 5/3

उत्तर: (B) 5/8 | हल: 5 / (5 + 3) = 5/8.

Q90. 7 × 11 × 13 + 13 कैसी संख्या है?

(A) भाज्य संख्या

(B) अभाज्य संख्या

(C) अपरिमेय संख्या

(D) कोई नहीं

उत्तर: (A) भाज्य संख्या | हल: 13(7 × 11 + 1) = 13 × 78, अतः यह भाज्य (संयुक्त) संख्या है।

Q91. यदि tan θ = cot θ हो, तो θ का मान होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (B) 45° | हल: tan 45° = cot 45° = 1.

Q92. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

(A) 3 : 4

(B) 9 : 16

(C) 16 : 9

(D) √3 : 2

उत्तर: (B) 9 : 16 | हल: (3/4)² = 9/16.

Q93. संचयी बारंबारता का वक्र कहलाता है:

(A) तोरण

(B) आयतचित्र

(C) बहुभुज

(D) वृत्तचित्र

उत्तर: (A) तोरण | हल: Ogive को तोरण कहते हैं।

Q94. प्रायिकता का न्यूनतम मान होता है:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 0.1

उत्तर: (A) 0 | हल: प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती, न्यूनतम मान 0 है।

Q95. यदि 2sin 2θ = √3 हो, तो θ का मान होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (A) 30° | हल: sin 2θ = √3/2 ⇒ 2θ = 60° ⇒ θ = 30°.

Q96. रैखिक समीकरण 3x - 2y = 6 में y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु होगा:

(A) (2, 0)

(B) (0, -3)

(C) (0, 3)

(D) (-2, 0)

उत्तर: (B) (0, -3) | हल: x = 0 रखने पर: -2y = 6 ⇒ y = -3 ⇒ बिंदु (0, -3).

Q97. A.P. का 11वाँ पद होगा यदि a = 10, d = 3:

(A) 30

(B) 40

(C) 43

(D) 33

उत्तर: (B) 40 | हल: a₁₁ = 10 + 10(3) = 40.

Q98. tan 30° का मान होता है:

(A) 1/√3

(B) √3

(C) 1

(D) 0

उत्तर: (A) 1/√3 | हल: tan 30° = 1/√3.

Q99. अर्धवृत्त का कोण होता है:

(A) 60°

(B) 90°

(C) 180°

(D) 45°

उत्तर: (B) 90° | हल: अर्धवृत्त में बना कोण सदैव 90° होता है।

Q100. निश्चित घटना की प्रायिकता होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) 1/2

(D) -1

उत्तर: (B) 1 | हल: निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

खंड – 'ब' : लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions) 30 × 2 = 60 अंक

प्र० 1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर 255 तथा 867 का म०स० (HCF) ज्ञात करें।

हल:
यहाँ 867 > 255 है।
चरण 1: 867 = 255 × 3 + 102 (शेषफल 102 ≠ 0)
चरण 2: 255 = 102 × 2 + 51 (शेषफल 51 ≠ 0)
चरण 3: 102 = 51 × 2 + 0 (शेषफल = 0)
अंतिम भाजक 51 है, अतः HCF(255, 867) = 51.

प्र० 2. सिद्ध कीजिए कि 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना कि 5 - √3 एक परिमेय संख्या a/b है (b ≠ 0 तथा a, b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं)।
√3 = 5 - a/b = (5b - a)/b.
चूँकि a, b पूर्णांक हैं, अतः (5b - a)/b एक परिमेय संख्या है।
इससे √3 भी परिमेय सिद्ध होती है, जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि √3 अपरिमेय है।
अतः 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्र० 3. द्विघात बहुपद 6x² - 3 - 7x के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
6x² - 7x - 3 = 0 ⇒ 6x² - 9x + 2x - 3 = 0
⇒ 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = 0 ⇒ (2x - 3)(3x + 1) = 0.
अतः x = 3/2 और x = -1/3.

प्र० 4. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

हल:
α + β = -3 तथा αβ = 2.
बहुपद = x² - (α + β)x + αβ = x² - (-3)x + 2 = x² + 3x + 2.

प्र० 5. विलोपन विधि से हल कीजिए: 2x + 3y = 8 तथा 4x + 6y = 7.

हल:
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर: 4x + 6y = 16 ...(3)
समीकरण (2): 4x + 6y = 7
घटाने पर: 0 = 9 (जो असंभव है)।
अतः इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

प्र० 6. द्विघात समीकरण 3x² - 5x + 2 = 0 के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

हल:
a = 3, b = -5, c = 2. D = (-5)² - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1.
x = [-(-5) ± √1] / (2 × 3) = (5 ± 1)/6.
x = 6/6 = 1 तथा x = 4/6 = 2/3.
अतः मूल 1 और 2/3 हैं।

प्र० 7. समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ..., 205 में पदों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:
a = 7, d = 6, a_n = 205.
205 = 7 + (n - 1)6 ⇒ 198 = 6(n - 1) ⇒ n - 1 = 33 ⇒ n = 34.

प्र० 8. A.P. 8, 3, -2, ... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:
a = 8, d = -5, n = 22.
S₂₂ = (22/2)[2(8) + (22 - 1)(-5)] = 11[16 - 105] = 11(-89) = -979.

प्र० 9. बिंदुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
d = √[(-1 - (-5))² + (3 - 7)²] = √[4² + (-4)²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2 मात्रक.

प्र० 10. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:
x = (3×8 + 1×4)/(3 + 1) = 28/4 = 7.
y = (3×5 + 1×(-3))/(3 + 1) = 12/4 = 3.
अतः अभीष्ट बिंदु (7, 3) है।

प्र० 11. k का मान ज्ञात कीजिए यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, -3) संरेखी हों।

हल:
(1/2)[2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)] = 0
⇒ 2(k + 3) - 24 + 18 - 6k = 0 ⇒ 2k + 6 - 24 + 18 - 6k = 0 ⇒ -4k = 0 ⇒ k = 0.

प्र० 12. यदि sin A = 3/4 हो, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।

हल:
लम्ब = 3, कर्ण = 4 ⇒ आधार = √(4² - 3²) = √7.
• cos A = √7 / 4
• tan A = 3 / √7.

प्र० 13. मान ज्ञात कीजिए: 2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°.

हल:
2(1)² + (√3/2)² - (√3/2)² = 2 + 3/4 - 3/4 = 2.

प्र० 14. सिद्ध कीजिए कि: (sec θ - tan θ)² = (1 - sin θ)/(1 + sin θ).

हल:
L.H.S. = [(1 - sin θ)/cos θ]² = (1 - sin θ)²/cos² θ = (1 - sin θ)²/(1 - sin² θ)
= [(1 - sin θ)(1 - sin θ)] / [(1 - sin θ)(1 + sin θ)] = (1 - sin θ)/(1 + sin θ) = R.H.S.

प्र० 15. यदि tan 2A = cot(A - 18°) हो, तो A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
cot(90° - 2A) = cot(A - 18°) ⇒ 90° - 2A = A - 18° ⇒ 3A = 108° ⇒ A = 36°.

प्र० 16. ΔABC में DE || BC है। यदि AD = 1.5 सेमी, DB = 3 सेमी तथा AE = 1 सेमी हो, तो EC ज्ञात कीजिए।

हल:
थेल्स प्रमेय से: AD/DB = AE/EC ⇒ 1.5/3 = 1/EC ⇒ 1/2 = 1/EC ⇒ EC = 2 सेमी.

प्र० 17. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
चूँकि त्रिज्या सदैव केंद्र से स्पर्श बिंदु तक की रेखा होती है, अतः स्पर्श बिंदु पर डाला गया लंब निश्चित रूप से केंद्र से होकर ही गुजरेगा।

प्र० 18. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है।

हल:
2πr = 22 ⇒ r = 7/2 सेमी।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4)πr² = (1/4) × (22/7) × (7/2) × (7/2) = 77/8 सेमी² (9.625 सेमी²).

प्र० 19. त्रिज्या 6 सेमी वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है।

हल:
क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 36 = (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7 सेमी² (18.86 सेमी²).

प्र० 20. दो घनों, जिनमें प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³ है, के फलकों को जोड़कर घनाभ बनाया गया है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
कोर a = ∛64 = 4 सेमी। घनाभ: l = 8, b = 4, h = 4 सेमी।
क्षेत्रफल = 2(8×4 + 4×4 + 4×8) = 2(32 + 16 + 32) = 2(80) = 160 सेमी².

प्र० 21. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

हल:
विषम संख्याएँ {1, 3, 5} = 3। कुल परिणाम = 6। प्रायिकता = 3/6 = 1/2.

प्र० 22. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या होगी?

हल:
P(लाल गेंद) = 3 / (3 + 5) = 3/8.

प्र० 23. निम्नलिखित वितरण का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

x	2	4	6	8	10
f	3	2	5	4	6

हल:
Σf = 3 + 2 + 5 + 4 + 6 = 20.
Σfx = (2×3) + (4×2) + (6×5) + (8×4) + (10×6) = 6 + 8 + 30 + 32 + 60 = 136.
माध्य = 136 / 20 = 6.8.

प्र० 24. आँकड़ों 5, 3, 7, 6, 4, 2, 8 का माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
आरोही क्रम: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (n = 7)।
माध्यक = ((7 + 1)/2)वाँ पद = 4वाँ पद = 5.

प्र० 25. अभाज्य गुणनखंड विधि से 6, 72 और 120 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल:
6 = 2 × 3
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड = 2¹ × 3¹ = 6.

प्र० 26. द्विघात समीकरण 2x² + x - 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।

हल:
2x² + 4x - 3x - 6 = 0 ⇒ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 ⇒ (x + 2)(2x - 3) = 0.
अतः x = -2 और x = 3/2.

प्र० 27. शीर्षों (0, 0), (3, 0) और (0, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
क्षेत्रफल = (1/2) |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
= (1/2) |0 + 3(4 - 0) + 0| = (1/2) |12| = 6 वर्ग मात्रक.

प्र० 28. सिद्ध कीजिए कि: tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1.

हल:
tan 48° = cot 42° तथा tan 23° = cot 67°.
L.H.S. = (cot 42° × tan 42°) × (cot 67° × tan 67°) = 1 × 1 = 1 = R.H.S.

प्र० 29. एक वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अंतर 37 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:
2πr - r = 37 ⇒ r(2π - 1) = 37 ⇒ r[2(22/7) - 1] = 37
⇒ r(44/7 - 1) = 37 ⇒ r(37/7) = 37 ⇒ r = 7 सेमी.

प्र० 30. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि 29/343 शांत है या अशांत आवर्ती।

हल:
हर 343 = 7³.
चूँकि हर 2ⁿ × 5^m के रूप का नहीं है (इसमें 7 उपस्थित है), अतः इसका दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।

खंड – 'स' : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions) 8 × 5 = 40 अंक

प्र० 31. ग्राफ़ीय विधि से हल कीजिए: x - y + 1 = 0 तथा 3x + 2y - 12 = 0.

हल:
समीकरण (1): x - y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1
• x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ (0, 1)
• x = 2 ⇒ y = 3 ⇒ (2, 3)
• x = -1 ⇒ y = 0 ⇒ (-1, 0)

समीकरण (2): 3x + 2y - 12 = 0 ⇒ y = (12 - 3x)/2
• x = 0 ⇒ y = 6 ⇒ (0, 6)
• x = 2 ⇒ y = 3 ⇒ (2, 3)
• x = 4 ⇒ y = 0 ⇒ (4, 0)

निष्कर्ष:
दोनों आलेख रेखाएँ बिंदु (2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः अभीष्ट हल x = 2, y = 3 है।

प्र० 32. थेल्स प्रमेय (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय) को लिखकर सिद्ध कीजिए।

हल:
कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

दिया है: ΔABC में DE || BC, जहाँ DE भुजा AB को D पर तथा AC को E पर काटती है।
सिद्ध करना है: AD / DB = AE / EC.
रचना: BE और CD को मिलाया। EN ⊥ AB और DM ⊥ AC खींचा।

उपपत्ति:
ar(ΔADE) / ar(ΔBDE) = [(1/2) × AD × EN] / [(1/2) × DB × EN] = AD / DB ...(1)
ar(ΔADE) / ar(ΔCDE) = [(1/2) × AE × DM] / [(1/2) × EC × DM] = AE / EC ...(2)
चूँकि ΔBDE और ΔCDE एक ही आधार DE और समांतर रेखाओं BC || DE के बीच स्थित हैं:
ar(ΔBDE) = ar(ΔCDE) ...(3)
अतः (1), (2) और (3) से: AD / DB = AE / EC (इति सिद्धम्)।

प्र० 33. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ / (1 + cos θ)) + ((1 + cos θ) / sin θ) = 2 cosec θ.

हल:
L.H.S. = [sin² θ + (1 + cos θ)²] / [sin θ(1 + cos θ)]
= [sin² θ + 1 + 2cos θ + cos² θ] / [sin θ(1 + cos θ)]
= [(sin² θ + cos² θ) + 1 + 2cos θ] / [sin θ(1 + cos θ)]
= [1 + 1 + 2cos θ] / [sin θ(1 + cos θ)] = 2(1 + cos θ) / [sin θ(1 + cos θ)]
= 2 / sin θ = 2 cosec θ = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 34. 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना भवन AB = 7 मीटर और केबल टॉवर CD = H मीटर। बिंदु A से क्षैतिज रेखा AE खींची, जिससे ED = AB = 7 मीटर। अतः CE = H - 7.
दूरी BD = AE = x मीटर।

समकोण ΔABD में:
tan 45° = AB / BD ⇒ 1 = 7 / x ⇒ x = 7 मीटर.

समकोण ΔAEC में:
tan 60° = CE / AE ⇒ √3 = (H - 7) / 7 ⇒ H - 7 = 7√3
⇒ H = 7√3 + 7 = 7(√3 + 1) मीटर.
(√3 = 1.732 रखने पर: H = 7 × 2.732 = 19.124 मीटर).
अतः केबल टॉवर की ऊँचाई 7(√3 + 1) मीटर है।

प्र० 35. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 किमी की दूरी तय करती है। यदि चाल 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:
माना सामान्य चाल = x किमी/घंटा।
प्रश्नानुसार: 360/x - 360/(x + 5) = 1
⇒ 360 [ (x + 5 - x) / (x(x + 5)) ] = 1
⇒ 360 × 5 = x² + 5x ⇒ x² + 5x - 1800 = 0
⇒ (x + 45)(x - 40) = 0.
चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 40.
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल 40 किमी/घंटा है।

प्र० 36. एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है, जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।

हल:
r = 1 सेमी, h = 1 सेमी.
ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन
= (1/3)πr²h + (2/3)πr³
= (1/3)π(1)²(1) + (2/3)π(1)³
= (1/3)π + (2/3)π = π सेमी³.
अतः अभीष्ट आयतन π सेमी³ है।

प्र० 37. 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए। (रचना के चरण लिखें)

रचना के चरण:
1. बिंदु O को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. केंद्र O से 10 सेमी की दूरी पर एक बाह्य बिंदु P लिया (OP = 10 सेमी)।
3. OP का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु M प्राप्त किया।
4. M को केंद्र तथा MO त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा, जो दिए गए वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PQ और PR को मिलाया। PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
गणना: PQ = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 सेमी.

प्र० 38. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल	बारंबारता (f)	संचयी बारंबारता (cf)
0 - 10	5	5
10 - 20	8	13
20 - 30	20	33
30 - 40	15	48
40 - 50	7	55
50 - 60	5	60

हल:
कुल बारंबारता N = 60 ⇒ N/2 = 30.
30 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 33 है, जिसका वर्ग अंतराल 20 - 30 है।
अतः माध्यक वर्ग = 20 - 30.

l = 20, cf = 13, f = 20, h = 10.
माध्यक = l + [ ((N/2) - cf) / f ] × h
= 20 + [ (30 - 13) / 20 ] × 10 = 20 + (17 / 20) × 10 = 20 + 8.5 = 28.5.
अतः दिए गए आँकड़ों का अभीष्ट माध्यक 28.5 है।