BSEB 10 Mathematics PYQs 2023

बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) मैट्रिक वार्षिक परीक्षा 2023

विषय: गणित (Mathematics) | प्रश्न पत्र कोड: 110 (Full Solved Paper)

100 Objective Questions + 30 Short Questions + 8 Long Questions (संपूर्ण हल सहित)

खंड – 'अ' : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) 100 × 1 = 100 अंक

Q1. √((1 - cos θ)/(1 + cos θ)) बराबर है:

(A) cosec θ - cot θ

(B) cosec θ + cot θ

(C) cosec θ cot θ

(D) sin θ / (1 + cos θ)

उत्तर: (A) cosec θ - cot θ | हल: अंश व हर में (1 - cos θ) से गुणा करने पर √((1 - cos θ)²/sin²θ) = (1 - cos θ)/sin θ = cosec θ - cot θ.

Q2. एक ऊर्ध्वाधर दीवार की लंबाई एवं उसकी छाया की लंबाई का अनुपात 1 : √3 है, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (A) 30° | हल: tan θ = लम्ब / आधार = 1 / √3 ⇒ θ = 30°.

Q3. sec 30° / cosec 60° का मान है:

(A) 2/√3

(B) 1

(C) √3

(D) 0

उत्तर: (B) 1 | हल: sec 30° = 2/√3 तथा cosec 60° = 2/√3 ⇒ (2/√3) / (2/√3) = 1.

Q4. 2sin 63° / cos 27° का मान होगा:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) -1

उत्तर: (B) 2 | हल: cos 27° = sin(90° - 27°) = sin 63° ⇒ 2sin 63° / sin 63° = 2.

Q5. यदि θ = 45° हो, तो (cos² θ - sin² θ) का मान होगा:

(A) 1

(B) 1/2

(C) 0

(D) 3/2

उत्तर: (C) 0 | हल: cos 45° = 1/√2, sin 45° = 1/√2 ⇒ (1/√2)² - (1/√2)² = 1/2 - 1/2 = 0.

Q6. निम्नलिखित में किसका मान √2 के बराबर है?

(A) tan 60°

(B) cos 45°

(C) sin 30°

(D) cosec 45°

उत्तर: (D) cosec 45° | हल: sin 45° = 1/√2 ⇒ cosec 45° = √2.

Q7. यदि tan θ = √3 हो, तो sec θ का मान क्या होगा?

(A) 2/√3

(B) 1/2

(C) 2

(D) √2

उत्तर: (C) 2 | हल: tan θ = √3 ⇒ θ = 60° ⇒ sec 60° = 2.

Q8. (sec² 44° - cot² 46°) का मान होगा:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: cot 46° = tan 44° ⇒ sec² 44° - tan² 44° = 1.

Q9. 2(sin² θ + cos² θ) बराबर है:

(A) 2

(B) 0

(C) 1

(D) -2

उत्तर: (A) 2 | हल: सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से, 2(1) = 2.

Q10. (1 + tan² θ) बराबर होता है:

(A) sec² θ

(B) cos² θ

(C) cosec² θ

(D) cot² θ

उत्तर: (A) sec² θ | हल: मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ.

Q11. 0.13̅ को परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए:

(A) 13/100

(B) 13/99

(C) 13/90

(D) 13/9

उत्तर: (B) 13/99 | हल: x = 0.1313... ⇒ 100x = 13.1313... ⇒ 99x = 13 ⇒ x = 13/99.

Q12. 18 तथा 72 का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 18

(B) 2

(C) 9

(D) 72

उत्तर: (A) 18 | हल: 72 = 18 × 4, अतः सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक 18 है।

Q13. √12 का परिमेयकरण गुणांक है:

(A) √3

(B) √2

(C) √6

(D) 2√3

उत्तर: (A) √3 | हल: √12 = 2√3। इसे √3 से गुणा करने पर 2 × 3 = 6 (परिमेय) प्राप्त होता है।

Q14. यदि p एक धनात्मक पूर्णांक है, तो धनात्मक सम पूर्णांक का रूप होगा:

(A) 2p

(B) p + 1

(C) p

(D) 2p + 1

उत्तर: (A) 2p | हल: प्रत्येक सम पूर्णांक 2 का गुणज होता है, अतः इसका रूप 2p होगा।

Q15. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार शांत है?

(A) 17/81

(B) 16/41

(C) 19/80

(D) 13/45

उत्तर: (C) 19/80 | हल: 80 = 2⁴ × 5¹ (2ⁿ × 5^m के रूप का है)।

Q16. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार अशांत है?

(A) 15/400

(B) 17/80

(C) 13/121

(D) 14/35

उत्तर: (C) 13/121 | हल: 121 = 11², जिसके अभाज्य गुणनखंड में 2 या 5 नहीं है।

Q17. बहुपद y³ - 2y² - √3y + 1/2 की घात है:

(A) 1/2

(B) 2

(C) 3

(D) 0

उत्तर: (C) 3 | हल: चर y की उच्चतम घात 3 है, अतः बहुपद की घात 3 है।

Q18. द्विघात बहुपद x² - 11 के शून्यक हैं:

(A) 11, -11

(B) √11, -√11

(C) √11, √11

(D) 121, -121

उत्तर: (B) √11, -√11 | हल: x² - 11 = 0 ⇒ x² = 11 ⇒ x = ±√11.

Q19. यदि द्विघात बहुपद ax² - bx + c के शून्यक α, β हों, तो α + β का मान होगा:

(A) b/a

(B) -b/a

(C) c/a

(D) -c/a

उत्तर: (A) b/a | हल: शून्यकों का योग = -(-b)/a = b/a.

Q20. यदि बहुपद x² - kx + 8 के शून्यकों का योग 6 है, तो k का मान होगा:

(A) -6

(B) 6

(C) 8

(D) -8

उत्तर: (B) 6 | हल: शून्यकों का योग = -(-k)/1 = k ⇒ k = 6.

Q21. समांतर श्रेढ़ी 4, 9, 14, 19, ... का कौन-सा पद 109 है?

(A) 20वाँ

(B) 21वाँ

(C) 22वाँ

(D) 23वाँ

उत्तर: (C) 22वाँ | हल: a = 4, d = 5। 109 = 4 + (n - 1)5 ⇒ 105 = 5(n - 1) ⇒ n - 1 = 21 ⇒ n = 22.

Q22. यदि A.P. का nवाँ पद (9 - 5n) हो, तो a₇ का मान होगा:

(A) 26

(B) -26

(C) 44

(D) -44

उत्तर: (B) -26 | हल: a₇ = 9 - 5(7) = 9 - 35 = -26.

Q23. A.P. -10, -6, -2, 2, ... का सार्व अंतर है:

(A) 4

(B) -4

(C) 2

(D) -2

उत्तर: (A) 4 | हल: d = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4.

Q24. बिंदु (2, 3) की मूल बिंदु से दूरी क्या होगी?

(A) 5

(B) √13

(C) 2√3

(D) √5

उत्तर: (B) √13 | हल: दूरी = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 मात्रक।

Q25. बिंदुओं A(4, 5) और B(6, 5) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:

(A) (5, 4)

(B) (5, 5)

(C) (4, 5)

(D) (10, 10)

उत्तर: (B) (5, 5) | हल: ((4 + 6)/2, (5 + 5)/2) = (10/2, 10/2) = (5, 5).

Q26. बिंदु (-3, 5) किस चतुर्थांश में स्थित है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (B) द्वितीय | हल: (-, +) द्वितीय चतुर्थांश को दर्शाता है।

Q27. यदि ΔABC ~ ΔDEF तथा ar(ΔABC)/ar(ΔDEF) = 49/64, तो AB/DE बराबर है:

(A) 7/8

(B) 8/7

(C) 49/64

(D) 7/64

उत्तर: (A) 7/8 | हल: AB/DE = √(ar(ΔABC)/ar(ΔDEF)) = √(49/64) = 7/8.

Q28. किसी वृत्त की बाह्य बिंदु P से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयों का अनुपात होगा:

(A) 1 : 2

(B) 1 : 1

(C) 2 : 1

(D) 1 : 4

उत्तर: (B) 1 : 1 | हल: बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं (PA = PB), अतः अनुपात 1 : 1 है।

Q29. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल होगा:

(A) 154 सेमी²

(B) 44 सेमी²

(C) 77 सेमी²

(D) 308 सेमी²

उत्तर: (A) 154 सेमी² | हल: क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 सेमी².

Q30. एक लंबवृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या r तथा ऊँचाई h हो, तो उसका आयतन होगा:

(A) πr²h

(B) 2πrh

(C) (1/3)πr²h

(D) 2πr(r + h)

उत्तर: (A) πr²h | हल: बेलन का आयतन = π × त्रिज्या² × ऊँचाई = πr²h.

Q31. वर्ग अंतराल 10 - 20 का वर्ग चिह्न है:

(A) 10

(B) 15

(C) 20

(D) 30

उत्तर: (B) 15 | हल: वर्ग चिह्न = (10 + 20)/2 = 30/2 = 15.

Q32. आँकड़े 2, 4, 6, 5, 4, 6, 4, 7, 4 का बहुलक है:

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 2

उत्तर: (A) 4 | हल: 4 की बारंबारता सर्वाधिक (4 बार) है, अतः बहुलक 4 है।

Q33. एक सिक्के को उछालने पर चित (Head) आने की प्रायिकता है:

(A) 1

(B) 1/2

(C) 2/3

(D) 0

उत्तर: (B) 1/2 | हल: कुल परिणाम = 2 {H, T}, चित का परिणाम = 1 ⇒ प्रायिकता = 1/2.

Q34. यदि P(E) = 0.07 हो, तो P(E नहीं) का मान होगा:

(A) 0.93

(B) 0.03

(C) 0.97

(D) 0.70

उत्तर: (A) 0.93 | हल: P(E नहीं) = 1 - 0.07 = 0.93.

Q35. एक पासे को एक बार फेंकने पर 7 आने की प्रायिकता होगी:

(A) 1

(B) 0

(C) 1/6

(D) 7/6

उत्तर: (B) 0 | हल: पासे पर 7 आना एक असंभव घटना है, अतः प्रायिकता 0 है।

Q36. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर (Discriminant) होता है:

(A) b² - 4ac

(B) b² + 4ac

(C) 4ac - b²

(D) b - 4ac

उत्तर: (A) b² - 4ac | हल: मानक द्विघात समीकरण के लिए D = b² - 4ac.

Q37. यदि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक एवं समान हों, तो विविक्तकर D का मान होगा:

(A) D > 0

(B) D < 0

(C) D = 0

(D) कोई नहीं

उत्तर: (C) D = 0 | हल: वास्तविक और समान मूलों के लिए प्रतिबंध D = 0 होता है।

Q38. निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी में है?

(A) 1, 2, 4, 8, ...

(B) -10, -6, -2, 2, ...

(C) 0.2, 0.22, 0.222, ...

(D) 1², 3², 5², ...

उत्तर: (B) -10, -6, -2, 2, ... | हल: यहाँ सार्व अंतर d = -6 - (-10) = 4, जो कि अचर है।

Q39. मूल बिंदु के निर्देशांक होते हैं:

(A) (1, 1)

(B) (0, 0)

(C) (-1, -1)

(D) (0, 1)

उत्तर: (B) (0, 0) | हल: दोनों अक्षों का प्रतिच्छेद बिंदु मूल बिंदु कहलाता है जिसका मान (0, 0) होता है।

Q40. tan 45° का मान होता है:

(A) 0

(B) 1

(C) 1/√3

(D) √3

उत्तर: (B) 1 | हल: मानक त्रिकोणमितीय सारणी के अनुसार tan 45° = 1.

Q41. sin² 37° + sin² 53° का मान है:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: sin 53° = cos 37° ⇒ sin² 37° + cos² 37° = 1.

Q42. अर्धवृत्त का कोण कितने अंश का होता है?

(A) 60°

(B) 90°

(C) 180°

(D) 45°

उत्तर: (B) 90° | हल: अर्धवृत्त में बना कोण सदैव समकोण (90°) होता है।

Q43. एक शंकु की ऊँचाई 12 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 5 सेमी है, तो इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी:

(A) 13 सेमी

(B) 17 सेमी

(C) 11 सेमी

(D) 10 सेमी

उत्तर: (A) 13 सेमी | हल: l = √(r² + h²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 सेमी.

Q44. यदि दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 25 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:

(A) 2 : 5

(B) 5 : 2

(C) 4 : 25

(D) 16 : 625

उत्तर: (A) 2 : 5 | हल: त्रिज्याओं का अनुपात = √(4/25) = 2/5 = 2 : 5.

Q45. बहुलक = 3(माध्यक) - 2(_______) होता है:

(A) माध्य

(B) परिसर

(C) बहुलक

(D) विचलन

उत्तर: (A) माध्य | हल: आनुभविक संबंध: Mode = 3 Median - 2 Mean.

Q46. एक असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) 0.5

उत्तर: (B) 0 | हल: जो घटना घटित ही नहीं हो सकती, उसकी प्रायिकता 0 होती है।

Q47. ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता निकालने पर एक बादशाह (King) आने की प्रायिकता है:

(A) 1/13

(B) 1/52

(C) 4/13

(D) 1/4

उत्तर: (A) 1/13 | हल: कुल बादशाह = 4, कुल पत्ते = 52 ⇒ प्रायिकता = 4/52 = 1/13.

Q48. प्रथम 5 विषम संख्याओं का माध्य होगा:

(A) 5

(B) 4

(C) 6

(D) 3

उत्तर: (A) 5 | हल: (1 + 3 + 5 + 7 + 9)/5 = 25/5 = 5.

Q49. यदि वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो इसकी परिधि होगी:

(A) 44 सेमी

(B) 88 सेमी

(C) 22 सेमी

(D) 154 सेमी

उत्तर: (A) 44 सेमी | हल: परिधि = πd = (22/7) × 14 = 44 सेमी.

Q50. √5 कैसी संख्या है?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) प्राकृत

उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: 5 एक अभाज्य संख्या है, अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Q51. 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक क्या है?

(A) 2

(B) 4

(C) 3

(D) 5

उत्तर: (B) 4 | हल: 144 = 2⁴ × 3², अतः 2 का घातांक = 4.

Q52. यदि द्विघात बहुपद के शून्यक 2 तथा -6 हैं, तो द्विघात बहुपद होगा:

(A) x² - 4x - 12

(B) x² + 4x - 12

(C) x² + 4x + 12

(D) x² - 4x + 12

उत्तर: (B) x² + 4x - 12 | हल: योग = 2 + (-6) = -4, गुणनफल = -12। बहुपद: x² - (-4)x - 12 = x² + 4x - 12.

Q53. समीकरण निकाय 2x + 3y = 5 एवं 4x + 6y = 9 का हल होगा:

(A) अद्वितीय हल

(B) कोई हल नहीं

(C) अनंत हल

(D) दो हल

उत्तर: (B) कोई हल नहीं | हल: 2/4 = 3/6 ≠ 5/9 ⇒ 1/2 = 1/2 ≠ 5/9 (समांतर रेखाएँ)।

Q54. द्विघात समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति कैसी है?

(A) वास्तविक और समान

(B) वास्तविक और असमान

(C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक)

(D) इनमें कोई नहीं

उत्तर: (C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक) | हल: D = (-4)² - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 < 0.

Q55. बिंदु P(-4, 2) और Q(8, 6) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

(A) (2, 4)

(B) (4, 2)

(C) (2, 2)

(D) (4, 4)

उत्तर: (A) (2, 4) | हल: ((-4 + 8)/2, (2 + 6)/2) = (4/2, 8/2) = (2, 4).

Q56. बिंदु (0, -4) किस अक्ष पर स्थित है?

(A) x-अक्ष पर

(B) y-अक्ष पर

(C) मूल बिंदु पर

(D) चतुर्थ चतुर्थांश में

उत्तर: (B) y-अक्ष पर | हल: भुज (x-निर्देशांक) शून्य होने पर बिंदु y-अक्ष पर स्थित होता है।

Q57. sin(90° - θ) बराबर होता है:

(A) sin θ

(B) cos θ

(C) tan θ

(D) sec θ

उत्तर: (B) cos θ | हल: पूरक कोण सूत्र: sin(90° - θ) = cos θ.

Q58. यदि sec θ = 13/12 हो, तो cot θ का मान होगा:

(A) 5/12

(B) 12/5

(C) 13/5

(D) 5/13

उत्तर: (B) 12/5 | हल: कर्ण = 13, आधार = 12 ⇒ लम्ब = √(169 - 144) = 5। cot θ = आधार/लम्ब = 12/5.

Q59. 1 + cot² θ बराबर है:

(A) cosec² θ

(B) sec² θ

(C) tan² θ

(D) cos² θ

उत्तर: (A) cosec² θ | हल: मूलभूत सर्वसमिका 1 + cot²θ = cosec²θ.

Q60. एक वृत्त की कितनी समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) अनंत

उत्तर: (B) 2 | हल: किसी दिए गए व्यास के सिरों पर अधिकतम 2 समांतर स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

Q61. दो घनों के आयतनों का अनुपात 1 : 27 है, तो उनकी कोरों का अनुपात होगा:

(A) 1 : 3

(B) 1 : 9

(C) 1 : 27

(D) 3 : 1

उत्तर: (A) 1 : 3 | हल: कोरों का अनुपात = ∛(1/27) = 1/3 = 1 : 3.

Q62. संचयी बारंबारता वक्र कहलाती है:

(A) तोरण

(B) आयतचित्र

(C) दंडालेख

(D) बारंबारता बहुभुज

उत्तर: (A) तोरण | हल: संचयी बारंबारता के आलेख को तोरण (Ogive) कहते हैं।

Q63. निश्चित घटना की प्रायिकता होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) 1/2

(D) अनिश्चित

उत्तर: (B) 1 | हल: निश्चित घटना का घटित होना 100% तय होता है, अतः प्रायिकता = 1.

Q64. 1 + 2 + 3 + ... + n पदों का योगफल होता है:

(A) n(n + 1)/2

(B) n(n - 1)/2

(C) n²

(D) n(n + 1)

उत्तर: (A) n(n + 1)/2 | हल: प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग का सूत्र n(n + 1)/2 होता है।

Q65. बिंदु (4, -3) किस चतुर्थांश में स्थित है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (D) चतुर्थ | हल: (+, -) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होता है।

Q66. cos 48° - sin 42° का मान होगा:

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) 1/2

उत्तर: (B) 0 | हल: cos 48° = sin(90° - 48°) = sin 42° ⇒ sin 42° - sin 42° = 0.

Q67. यदि एक अर्धगोले की त्रिज्या r है, तो इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:

(A) 2πr²

(B) 3πr²

(C) 4πr²

(D) πr²

उत्तर: (B) 3πr² | हल: वक्र पृष्ठ 2πr² + आधार का क्षेत्रफल πr² = 3πr².

Q68. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4 : 9 के अनुपात में हैं, तो इनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

(A) 2 : 3

(B) 4 : 9

(C) 16 : 81

(D) 81 : 16

उत्तर: (C) 16 : 81 | हल: क्षेत्रफलों का अनुपात = (4/9)² = 16/81 = 16 : 81.

Q69. A.P. 21, 18, 15, ... का कौन-सा पद शून्य है?

(A) 7वाँ

(B) 8वाँ

(C) 9वाँ

(D) 10वाँ

उत्तर: (B) 8वाँ | हल: a = 21, d = -3। 0 = 21 + (n - 1)(-3) ⇒ 3(n - 1) = 21 ⇒ n - 1 = 7 ⇒ n = 8.

Q70. प्रथम 10 सम प्राकृत संख्याओं का माध्य है:

(A) 10

(B) 11

(C) 12

(D) 9

उत्तर: (B) 11 | हल: प्रथम n सम संख्याओं का माध्य = n + 1 = 10 + 1 = 11.

Q71. π (पाई) एक ________ संख्या है:

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) कोई नहीं

उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: π का दशमलव प्रसार अशांत-अनावर्ती होता है, अतः यह अपरिमेय है।

Q72. दो लगातार विषम संख्याओं का HCF क्या होता है?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

उत्तर: (B) 1 | हल: किन्हीं दो क्रमिक विषम संख्याओं का सार्व गुणनखंड केवल 1 होता है।

Q73. यदि द्विघात समीकरण 2x² - 4x + k = 0 के मूल समान हों, तो k = ?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) -2

उत्तर: (B) 2 | हल: (-4)² - 4(2)(k) = 0 ⇒ 16 - 8k = 0 ⇒ k = 2.

Q74. tan 30° × cot 30° का मान होगा:

(A) 1

(B) 0

(C) √3

(D) 1/√3

उत्तर: (A) 1 | हल: tan θ × cot θ = 1.

Q75. दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात होगा:

(A) 4 : 9

(B) 2 : 3

(C) 3 : 2

(D) 1 : 2

उत्तर: (B) 2 : 3 | हल: परिधियों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के समान होता है (2 : 3)।

Q76. एक घनाभ के कोरों की संख्या कितनी होती है?

(A) 6

(B) 8

(C) 12

(D) 16

उत्तर: (C) 12 | हल: घनाभ में 6 फलक, 8 शीर्ष और 12 किनारे (कोरें) होते हैं।

Q77. किसी घटना की प्रायिकता का अधिकतम मान होता है:

(A) 0

(B) 1

(C) 100

(D) अनंत

उत्तर: (B) 1 | हल: 0 ≤ P(E) ≤ 1, अतः अधिकतम मान 1 होता है।

Q78. 3 - √3 एक ________ संख्या है:

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) कोई नहीं

उत्तर: (B) अपरिमेय | हल: एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का अंतर सदैव अपरिमेय होता है।

Q79. एक रैखिक समीकरण का घात होगा:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) अनिश्चित

उत्तर: (B) 1 | हल: रैखिक समीकरण की अधिकतम घात 1 होती है।

Q80. द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (B) 2 | हल: n-घात वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं, अतः यहाँ 2 होंगे।

Q81. यदि sin θ = cos θ हो, तो θ का मान है (0° ≤ θ ≤ 90°):

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (B) 45° | हल: sin 45° = cos 45° = 1/√2.

Q82. बिंदु (-6, 8) की मूल बिंदु से दूरी है:

(A) 8

(B) 10

(C) 6

(D) 14

उत्तर: (B) 10 | हल: √[(-6)² + 8²] = √[36 + 64] = √100 = 10.

Q83. दो पासों को एक साथ फेंकने पर दोनों पर समान संख्या आने की प्रायिकता है:

(A) 1/6

(B) 1/12

(C) 1/36

(D) 1/2

उत्तर: (A) 1/6 | हल: अनुकूल युग्म {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} = 6। प्रायिकता = 6/36 = 1/6.

Q84. प्रेक्षणों 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है:

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 7

उत्तर: (B) 4 | हल: 4 सर्वाधिक बार आया है, अतः बहुलक 4 है।

Q85. वृत्त के केंद्र पर बना कुल कोण होता है:

(A) 90°

(B) 180°

(C) 360°

(D) 270°

उत्तर: (C) 360° | हल: केंद्र के चारों ओर का संपूर्ण कोण 360° होता है।

Q86. यदि एक गोले का व्यास 6 सेमी है, तो इसका आयतन होगा:

(A) 36π सेमी³

(B) 288π सेमी³

(C) 18π सेमी³

(D) 72π सेमी³

उत्तर: (A) 36π सेमी³ | हल: r = 3 सेमी। V = (4/3)π(3)³ = (4/3)π(27) = 36π सेमी³.

Q87. समांतर श्रेढ़ी 10, 7, 4, ... का सार्व अंतर है:

(A) 3

(B) -3

(C) 4

(D) -4

उत्तर: (B) -3 | हल: d = 7 - 10 = -3.

Q88. 23/200 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) कोई नहीं

उत्तर: (A) शांत | हल: 200 = 2³ × 5² (2ⁿ × 5^m रूप), अतः शांत है।

Q89. cosec² θ - cot² θ बराबर होता है:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: यह मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।

Q90. बिंदु (0, 0) और (3, 4) के बीच की दूरी होगी:

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 7

उत्तर: (C) 5 | हल: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 मात्रक।

Q91. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

उत्तर: (C) 2 | हल: 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या (तथा एकमात्र सम अभाज्य) है।

Q92. दो लगातार सम संख्याओं का HCF होगा:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) 4

उत्तर: (B) 2 | हल: दो क्रमिक सम संख्याओं का महत्तम समापवर्तक सदैव 2 होता है।

Q93. बहुपद p(x) = x² - 3x - 4 का एक शून्यक है:

(A) 2

(B) 4

(C) 0

(D) 3

उत्तर: (B) 4 | हल: p(4) = 4² - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0.

Q94. समीकरण निकाय x + 2y = 3 तथा 5x + ky = 15 के अनगिनत हल होने पर k = ?

(A) 5

(B) 10

(C) 2

(D) 6

उत्तर: (B) 10 | हल: 1/5 = 2/k ⇒ k = 10.

Q95. यदि किसी त्रिभुज के तीनों शीर्ष (0, 0), (4, 0) और (0, 3) हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:

(A) 6 वर्ग मात्रक

(B) 12 वर्ग मात्रक

(C) 7 वर्ग मात्रक

(D) 24 वर्ग मात्रक

उत्तर: (A) 6 वर्ग मात्रक | हल: क्षेत्रफल = (1/2) × 4 × 3 = 6 वर्ग मात्रक।

Q96. sec θ × cos θ बराबर होता है:

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (A) 1 | हल: sec θ = 1/cos θ ⇒ (1/cos θ) × cos θ = 1.

Q97. वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या होती है:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) अनंत

उत्तर: (B) 2 | हल: बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर ठीक 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

Q98. एक शंकु के आधार की त्रिज्या r तथा तिर्यक ऊँचाई l हो, तो इसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल होगा:

(A) πrl

(B) 2πrl

(C) πr(l + r)

(D) (1/3)πr²h

उत्तर: (A) πrl | हल: लंबवृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl होता है।

Q99. केंद्रीय प्रवृत्ति की वह माप जो चरम मानों से सबसे अधिक प्रभावित होती है:

(A) माध्य

(B) माध्यक

(C) बहुलक

(D) इनमें कोई नहीं

उत्तर: (A) माध्य | हल: समांतर माध्य प्रत्येक मान पर निर्भर करता है, अतः चरम मानों से अत्यधिक प्रभावित होता है।

Q100. एक पासा फेंकने पर विषम संख्या आने की प्रायिकता होगी:

(A) 1/2

(B) 1/3

(C) 1/6

(D) 2/3

उत्तर: (A) 1/2 | हल: विषम संख्याएँ {1, 3, 5} = 3। प्रायिकता = 3/6 = 1/2.

खंड – 'ब' : लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions) 30 × 2 = 60 अंक

प्र० 1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग कर 960 तथा 432 का म०स० (HCF) ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ 960 > 432 है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम a = bq + r से:
चरण 1: 960 = 432 × 2 + 96 (शेषफल 96 ≠ 0)
चरण 2: 432 = 96 × 4 + 48 (शेषफल 48 ≠ 0)
चरण 3: 96 = 48 × 2 + 0 (शेषफल = 0)
अंतिम भाजक 48 है। अतः HCF(960, 432) = 48.

प्र० 2. सिद्ध कीजिए कि 2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना कि 2 + √3 एक परिमेय संख्या है।
अतः 2 + √3 = a/b, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0.
⇒ √3 = a/b - 2 = (a - 2b)/b.
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, अतः (a - 2b)/b एक परिमेय संख्या है।
इससे √3 भी परिमेय संख्या सिद्ध होती है, जो इस सर्वविदित तथ्य का विरोधाभास है कि √3 अपरिमेय है।
अतः हमारी मान्यता असत्य है। 2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्र० 3. द्विघात बहुपद 4x² - 4x + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा संबंधों की सत्यता जाँचिए।

हल:
4x² - 2x - 2x + 1 = 0 ⇒ 2x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0 ⇒ (2x - 1)² = 0
⇒ x = 1/2, 1/2.
जाँच:
शून्यकों का योग = 1/2 + 1/2 = 1 = -(-4)/4 = -b/a (सत्य)
शून्यकों का गुणनफल = (1/2)(1/2) = 1/4 = c/a (सत्य)।
अतः शून्यक 1/2 और 1/2 हैं।

प्र० 4. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः √2 और 1/3 हैं।

हल:
α + β = √2, αβ = 1/3.
द्विघात बहुपद = k[x² - (α + β)x + αβ] = k[x² - √2x + 1/3].
k = 3 लेने पर: 3x² - 3√2x + 1.

प्र० 5. विलोपन विधि से हल करें: 8x + 5y = 9 तथा 3x + 2y = 4.

हल:
समीकरण (1) को 2 से तथा समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर:
16x + 10y = 18
15x + 10y = 20
घटाने पर: x = -2.
x = -2 समीकरण (2) में रखने पर: 3(-2) + 2y = 4 ⇒ -6 + 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5.
अतः हल x = -2, y = 5 है।

प्र० 6. k के किस मान के लिए समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दोनों मूल वास्तविक और बराबर होंगे?

हल:
a = 2, b = k, c = 3.
समान मूलों के लिए D = b² - 4ac = 0
k² - 4(2)(3) = 0 ⇒ k² - 24 = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±2√6.

प्र० 7. समांतर श्रेढ़ी 3, 8, 13, 18, ... का कौन-सा पद 78 है?

हल:
a = 3, d = 5, a_n = 78.
a + (n - 1)d = 78 ⇒ 3 + (n - 1)5 = 78 ⇒ 5(n - 1) = 75
n - 1 = 15 ⇒ n = 16.
अतः श्रेढ़ी का 16वाँ पद 78 है।

प्र० 8. प्रथम 100 धन पूर्णांकों का योगफल ज्ञात कीजिए।

हल:
n = 100.
सूत्र: S_n = n(n + 1)/2
S₁₀₀ = [100 × (100 + 1)] / 2 = 50 × 101 = 5050.

प्र० 9. बिंदुओं A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
= √[(4 - 2)² + (1 - 3)²] = √[2² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2 मात्रक.

प्र० 10. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल:
विभाजन सूत्र से:
x = (2×4 + 3×(-1))/(2 + 3) = (8 - 3)/5 = 5/5 = 1.
y = (2×(-3) + 3×7)/(2 + 3) = (-6 + 21)/5 = 15/5 = 3.
अतः अभीष्ट बिंदु (1, 3) है।

प्र० 11. k का मान ज्ञात करें यदि बिंदु (7, -2), (5, 1) और (3, k) संरेखी हों।

हल:
संरेखी बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है:
(1/2)[7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1)] = 0
⇒ 7 - 7k + 5k + 10 + 3(-3) = 0
⇒ -2k + 17 - 9 = 0 ⇒ -2k + 8 = 0 ⇒ 2k = 8 ⇒ k = 4.

प्र० 12. यदि 15 cot A = 8 हो, तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।

हल:
cot A = 8/15 (आधार/लम्ब) ⇒ आधार = 8, लम्ब = 15.
कर्ण = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17.
• sin A = लम्ब/कर्ण = 15/17
• sec A = कर्ण/आधार = 17/8.

प्र० 13. सिद्ध कीजिए कि: √[(1 + sin A)/(1 - sin A)] = sec A + tan A.

हल:
L.H.S. = √[(1 + sin A)(1 + sin A) / (1 - sin A)(1 + sin A)]
= √[(1 + sin A)² / cos² A] = (1 + sin A)/cos A
= (1/cos A) + (sin A/cos A) = sec A + tan A = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 14. मान ज्ञात कीजिए: (sin 30° + tan 45° - cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°).

हल:
अंश = 1/2 + 1 - 2/√3 = 3/2 - 2/√3 = (3√3 - 4)/(2√3).
हर = 2/√3 + 1/2 + 1 = 3/2 + 2/√3 = (3√3 + 4)/(2√3).
व्यंजक = (3√3 - 4)/(3√3 + 4)।
परिमेयकरण करने पर: (3√3 - 4)² / (27 - 16) = (43 - 24√3)/11.

प्र० 15. यदि tan 2A = cot(A - 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
cot(90° - 2A) = cot(A - 18°)
⇒ 90° - 2A = A - 18° ⇒ 3A = 108° ⇒ A = 36°.

प्र० 16. ΔABC में भुजा BC के समांतर रेखा DE खींची गई है। यदि AD = 1.5 सेमी, DB = 3 सेमी और AE = 1 सेमी हो, तो EC की माप ज्ञात कीजिए।

हल:
थेल्स प्रमेय द्वारा: AD/DB = AE/EC
1.5 / 3 = 1 / EC ⇒ 1/2 = 1 / EC ⇒ EC = 2 सेमी.

प्र० 17. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:
केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB हैं।
समकोण त्रिभुज ΔOAP और ΔOBP में:
∠OAP = ∠OBP = 90° (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या लंबवत होती है)
OP = OP (उभयनिष्ठ कर्ण)
OA = OB (समान त्रिज्याएँ)
RHS सर्वांगसमता से ΔOAP ≅ ΔOBP ⇒ PA = PB (इति सिद्धम्)।

प्र० 18. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 सेमी है।

हल:
2πr = 22 ⇒ 2 × (22/7) × r = 22 ⇒ r = 7/2 सेमी = 3.5 सेमी.
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4)πr² = (1/4) × (22/7) × (7/2) × (7/2) = 77/8 सेमी² (9.625 सेमी²).

प्र० 19. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
r = 21 सेमी, θ = 60°.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (60/360) × (22/7) × 21 × 21 = (1/6) × 22 × 3 × 21 = 11 × 21 = 231 सेमी².

प्र० 20. धातु के तीन गोलों की त्रिज्याएँ 6 सेमी, 8 सेमी तथा 10 सेमी हैं। इन्हें पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया गया है। इस बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:
(4/3)πR³ = (4/3)π(6³ + 8³ + 10³)
R³ = 216 + 512 + 1000 = 1728
R = ∛1728 = 12 सेमी.

प्र० 21. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?

हल:
कुल संभावित परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6.
अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5} ⇒ n(E) = 3.
P(अभाज्य संख्या) = 3/6 = 1/2.

प्र० 22. एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल न हो?

हल:
कुल गेंदें = 3 + 5 = 8.
(i) P(लाल गेंद) = 3/8
(ii) P(लाल नहीं) = 1 - 3/8 = 5/8.

प्र० 23. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
बारंबारता (f)	5	8	12	10	5

हल:
वर्ग चिह्न (x): 5, 15, 25, 35, 45.
fx: 25, 120, 300, 350, 225.
Σf = 40, Σfx = 1020.
माध्य x̄ = Σfx / Σf = 1020 / 40 = 25.5.

प्र० 24. आँकड़ों 1, 3, 2, 5, 4 का माध्य और माध्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
माध्य = (1 + 3 + 2 + 5 + 4)/5 = 15/5 = 3.
आरोही क्रम: 1, 2, 3, 4, 5 (n = 5)।
माध्यक = ((5 + 1)/2)वाँ पद = 3रा पद = 3.

प्र० 25. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का म०स० (HCF) एवं ल०स० (LCM) ज्ञात कीजिए।

हल:
96 = 2⁵ × 3
404 = 2² × 101
HCF = 2² = 4.
LCM = (96 × 404)/4 = 96 × 101 = 9696.

प्र० 26. गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण x² - 3x - 10 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:
x² - 5x + 2x - 10 = 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0 ⇒ (x - 5)(x + 2) = 0
⇒ x = 5 और x = -2.

प्र० 27. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, -1), B(-4, 6) और C(-3, -5) हैं।

हल:
क्षेत्रफल = (1/2)|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
= (1/2)|1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|
= (1/2)|1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)| = (1/2)|11 + 16 + 21| = (1/2)|48| = 24 वर्ग मात्रक.

प्र० 28. सिद्ध कीजिए कि: (1 + tan² A) / (1 + cot² A) = tan² A.

हल:
L.H.S. = sec² A / cosec² A = (1/cos² A) / (1/sin² A)
= sin² A / cos² A = tan² A = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 29. 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसका केंद्रीय कोण 60° है।

हल:
चाप की लंबाई l = (60/360) × 2 × (22/7) × 6 = (1/6) × 2 × (22/7) × 6 = 44/7 सेमी = 6.28 सेमी.
त्रिज्यखंड का परिमाप = l + 2r = 44/7 + 2(6) = 44/7 + 12 = (44 + 84)/7 = 128/7 सेमी (18.28 सेमी).

प्र० 30. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि परिमेय संख्या 35/50 का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत।

हल:
35/50 = 7/10.
हर 10 = 2¹ × 5¹ (2ⁿ × 5^m के रूप का है)।
अतः इसका दशमलव प्रसार शांत (0.7) है।

खंड – 'स' : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions) 8 × 5 = 40 अंक

प्र० 31. ग्राफ़ीय विधि से हल कीजिए: 2x + y - 6 = 0 तथा 4x - 2y - 4 = 0.

हल:
समीकरण (1): 2x + y = 6 ⇒ y = 6 - 2x
• x = 0 ⇒ y = 6 ⇒ (0, 6)
• x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ (2, 2)
• x = 3 ⇒ y = 0 ⇒ (3, 0)

समीकरण (2): 4x - 2y = 4 ⇒ 2x - y = 2 ⇒ y = 2x - 2
• x = 0 ⇒ y = -2 ⇒ (0, -2)
• x = 1 ⇒ y = 0 ⇒ (1, 0)
• x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ (2, 2)

निष्कर्ष:
दोनों समीकरणों की रेखाएँ आलेख पत्र पर बिंदु (2, 2) पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः अभीष्ट हल x = 2, y = 2 है।

प्र० 32. सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।

हल:
दिया है: समकोण ΔABC जिसमें ∠B = 90° है।
सिद्ध करना है: AC² = AB² + BC².
रचना: BD ⊥ AC खींचा।

उपपत्ति:
ΔADB और ΔABC में:
∠ADB = ∠ABC = 90°
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
AA समरूपता से: ΔADB ~ ΔABC
⇒ AD/AB = AB/AC ⇒ AB² = AD × AC ...(1)

अब ΔBDC और ΔABC में:
∠BDC = ∠ABC = 90°
∠C = ∠C (उभयनिष्ठ)
AA समरूपता से: ΔBDC ~ ΔABC
⇒ CD/BC = BC/AC ⇒ BC² = CD × AC ...(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
AB² + BC² = (AD × AC) + (CD × AC) = AC(AD + CD)
चूँकि AD + CD = AC है, अतः:
AB² + BC² = AC × AC = AC² (इति सिद्धम्)।

प्र० 33. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ - 2sin³ θ) / (2cos³ θ - cos θ) = tan θ.

हल:
L.H.S. = (sin θ - 2sin³ θ) / (2cos³ θ - cos θ)
अंश से sin θ और हर से cos θ उभयनिष्ठ लेने पर:
= [sin θ (1 - 2sin² θ)] / [cos θ (2cos² θ - 1)]

चूँकि 1 = sin² θ + cos² θ:
अंश: 1 - 2sin² θ = sin² θ + cos² θ - 2sin² θ = cos² θ - sin² θ.
हर: 2cos² θ - (sin² θ + cos² θ) = cos² θ - sin² θ.

अतः व्यंजक = [sin θ (cos² θ - sin² θ)] / [cos θ (cos² θ - sin² θ)]
= sin θ / cos θ = tan θ = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 34. एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 मीटर ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना मीनार AB = 50 मीटर और भवन CD = h मीटर है। दोनों के बीच की दूरी BD = x मीटर है।
समकोण ΔABD में:
tan 60° = AB / BD ⇒ √3 = 50 / x ⇒ x = 50/√3 मीटर.

समकोण ΔCDB में:
tan 30° = CD / BD ⇒ 1/√3 = h / x ⇒ h = x / √3.
x का मान रखने पर:
h = (50/√3) / √3 = 50 / 3 = 16 23 मीटर (16.67 मीटर).
अतः भवन की ऊँचाई 16 23 मीटर है।

प्र० 35. दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:
माना बड़ी संख्या = x.
प्रश्नानुसार: (छोटी संख्या)² = 8x.
तथा x² - (छोटी संख्या)² = 180
⇒ x² - 8x - 180 = 0

गुणनखंड करने पर: 18 × 10 = 180 और 18 - 10 = 8:
x² - 18x + 10x - 180 = 0
⇒ x(x - 18) + 10(x - 18) = 0 ⇒ (x - 18)(x + 10) = 0
⇒ x = 18 या x = -10.
यदि x = -10, तो (छोटी संख्या)² = 8(-10) = -80 (जो संभव नहीं है)।
अतः बड़ी संख्या x = 18.
छोटी संख्या का वर्ग = 8 × 18 = 144 ⇒ छोटी संख्या = ±√144 = ±12.
अतः संख्याएँ (18, 12) अथवा (18, -12) हैं।

प्र० 36. एक खिलौना त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 सेमी है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
उभयनिष्ठ त्रिज्या r = 3.5 सेमी = 7/2 सेमी.
शंकु की ऊँचाई h = संपूर्ण ऊँचाई - अर्धगोले की त्रिज्या = 15.5 - 3.5 = 12 सेमी.
तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 सेमी.

खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ
= πrl + 2πr² = πr(l + 2r)
= (22/7) × (7/2) × [12.5 + 2(3.5)]
= 11 × [12.5 + 7] = 11 × 19.5 = 214.5 सेमी².

प्र० 37. 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और इसके केंद्र से 7 सेमी दूर स्थित बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए। (रचना के चरण लिखें)

रचना के चरण:
1. परकार से बिंदु O को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. केंद्र O से 7 सेमी की दूरी पर एक बाह्य बिंदु P अंकित किया (OP = 7 सेमी)।
3. रेखाखंड OP का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु M ज्ञात किया।
4. M को केंद्र तथा MO (या MP) त्रिज्या लेकर एक सहायक वृत्त खींचा।
5. यह वृत्त मूल वृत्त को दो बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करता है।
6. PA और PB को मिलाया। PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
लंबाई की गणना: PA = √(OP² - OA²) = √(7² - 4²) = √(49 - 16) = √33 ≈ 5.74 सेमी.

प्र० 38. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल	बारंबारता (f)	संचयी बारंबारता (cf)
0 - 10	5	5
10 - 20	8	13
20 - 30	20	33
30 - 40	15	48
40 - 50	7	55
50 - 60	5	60

हल:
कुल बारंबारता N = 60 ⇒ N/2 = 60/2 = 30.
30 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 33 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 20 - 30 है।
अतः माध्यक वर्ग = 20 - 30.

यहाँ:
• l (निम्न सीमा) = 20
• cf (माध्यक वर्ग से पूर्व cf) = 13
• f (माध्यक वर्ग की बारंबारता) = 20
• h (वर्ग माप) = 10

माध्यक सूत्र: Median = l + [ ((N/2) - cf) / f ] × h
= 20 + [ (30 - 13) / 20 ] × 10
= 20 + [ 17 / 20 ] × 10 = 20 + 17/2 = 20 + 8.5 = 28.5.
अतः आँकड़ों का माध्यक 28.5 है।