BSEB 10 Mathematics PYQs 2022

बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) मैट्रिक वार्षिक परीक्षा 2022

विषय: गणित (Mathematics) | प्रश्न पत्र कोड: 110 (Full Solved Paper)

100 Objective Questions + 30 Short Questions + 8 Long Questions (संपूर्ण हल सहित)

खंड – 'अ' : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) 100 × 1 = 100 अंक

Q1. 64 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक क्या है?

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 8

उत्तर: (C) 6 | हल: 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶, अतः घातांक = 6.

Q2. महत्तम समापवर्तक (p, q) × लघुत्तम समापवर्त्य (p, q) किसके बराबर होता है?

(A) (p × q)

(B) (p / q)

(C) p²q²

(D) (q / p)

उत्तर: (A) (p × q) | हल: दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए: HCF(p, q) × LCM(p, q) = p × q.

Q3. किसी बहुपद की घात होती है:

(A) भिन्न संख्या

(B) ऋण पूर्णांक

(C) पूर्ण संख्या

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (C) पूर्ण संख्या | हल: बहुपद में चर राशि के घातांक सदैव ऋणेतर पूर्णांक अर्थात् पूर्ण संख्या (0, 1, 2, ...) होते हैं।

Q4. बहुपद ax² + bx + c, a ≠ 0 का आलेख कैसा होता है?

(A) वृत्त

(B) परवलय

(C) सरल रेखा

(D) दीर्घवृत्त

उत्तर: (B) परवलय | हल: किसी भी द्विघात बहुपद का आलेख परवलयाकार (Parabola) होता है।

Q5. शून्यक 2, 8 वाले बहुपदों की संख्या होगी:

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) अनगिनत

उत्तर: (D) अनगिनत | हल: p(x) = k(x - 2)(x - 8), जहाँ k कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है। अतः अनगिनत बहुपद संभव हैं।

Q6. किसी द्विघात बहुपद के शून्यक यदि 2 एवं 6 हैं, तो द्विघात बहुपद होगा:

(A) x² - 12x + 8

(B) x² - 8x + 12

(C) x² + 8x + 12

(D) x² + 8x - 12

उत्तर: (B) x² - 8x + 12 | हल: शून्यकों का योग = 2 + 6 = 8, गुणनफल = 2 × 6 = 12। सूत्र: x² - 8x + 12.

Q7. द्विघात बहुपद y² + 16y + 55 के शून्यक हैं:

(A) दोनों ऋणात्मक

(B) दोनों धनात्मक

(C) एक धनात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक

(D) समान

उत्तर: (A) दोनों ऋणात्मक | हल: y² + 11y + 5y + 55 = 0 ⇒ (y + 11)(y + 5) = 0 ⇒ y = -11, -5 (दोनों ऋणात्मक)।

Q8. यदि बहुपद 2x² + 5x - k के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो k का मान होगा:

(A) -2

(B) 2

(C) -1/2

(D) 1/2

उत्तर: (A) -2 | हल: माना शून्यक α और 1/α हैं। गुणनफल α × (1/α) = c/a ⇒ 1 = -k/2 ⇒ k = -2.

Q9. यदि p(x) = x² + 5x - 12 तो p(1) का मान है:

(A) -6

(B) 6

(C) 12

(D) -7

उत्तर: (A) -6 | हल: p(1) = 1² + 5(1) - 12 = 1 + 5 - 12 = 6 - 12 = -6.

Q10. युग्म समीकरण 2x + 4y = 3 तथा 12y + 6x = 6 का हल है:

(A) कोई हल नहीं

(B) एक हल

(C) अनगिनत हल

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A) कोई हल नहीं | हल: a₁/a₂ = 2/6 = 1/3; b₁/b₂ = 4/12 = 1/3; c₁/c₂ = 3/6 = 1/2। चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, अतः कोई हल नहीं।

Q11. निम्नलिखित में कौन-सा केंद्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है?

(A) माध्य

(B) माध्यक

(C) बहुलक

(D) मानक विचलन

उत्तर: (D) मानक विचलन | हल: मानक विचलन अपकिरण (Dispersion) का माप है, केंद्रीय प्रवृत्ति का नहीं।

Q12. प्रेक्षण 14, 15, 13, 16, 14, 15, 17, 13, 15 का बहुलक है:

(A) 13

(B) 14

(C) 15

(D) 16

उत्तर: (C) 15 | हल: संख्या 15 सबसे अधिक (3 बार) आई है, अतः बहुलक 15 है।

Q13. प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का माध्य है:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

उत्तर: (B) 3 | हल: (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 15/5 = 3.

Q14. प्रेक्षण 8, 12, 7, 14, 6, 13, 15 का माध्यक है:

(A) 9

(B) 10

(C) 12

(D) 13

उत्तर: (C) 12 | हल: आरोही क्रम: 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15। कुल पद n = 7। माध्यक = 4वाँ पद = 12.

Q15. माध्यक का 3 गुना और माध्य के 2 गुने का अंतर बराबर होता है:

(A) माध्य

(B) माध्यक

(C) बहुलक

(D) प्रसार

उत्तर: (C) बहुलक | हल: आनुभविक सूत्र: बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य)।

Q16. भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

(A) (√3/2) a²

(B) (√3/4) a²

(C) (1/2) a²

(D) (√3/4) a

उत्तर: (B) (√3/4) a² | हल: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × (भुजा)².

Q17. यदि दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 3 : 4 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

(A) 4 : 3

(B) 3 : 4

(C) 16 : 9

(D) 9 : 16

उत्तर: (D) 9 : 16 | हल: क्षेत्रफलों का अनुपात = (त्रिज्याओं का अनुपात)² = (3/4)² = 9/16 = 9 : 16.

Q18. यदि एक वृत्त की परिधि 33 सेमी है, तो इसकी त्रिज्या क्या होगी?

(A) 14 सेमी

(B) 5.25 सेमी

(C) 7 सेमी

(D) 10.5 सेमी

उत्तर: (B) 5.25 सेमी | हल: 2πr = 33 ⇒ 2 × (22/7) × r = 33 ⇒ r = (33 × 7)/44 = 21/4 = 5.25 सेमी.

Q19. एक पहिए का व्यास 42 सेमी है। 1 चक्कर में यह कितनी दूरी तय करेगा?

(A) 132 सेमी

(B) 84 सेमी

(C) 264 सेमी

(D) 42 सेमी

उत्तर: (A) 132 सेमी | हल: दूरी = परिधि = πd = (22/7) × 42 = 22 × 6 = 132 सेमी.

Q20. यदि एक समलंब चतुर्भुज के समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ a और b हैं तथा ऊँचाई h है, तो इसका क्षेत्रफल होगा:

(A) (1/2)(a + b)h

(B) (a + b)h

(C) 2(a + b)h

(D) (1/2)abh

उत्तर: (A) (1/2)(a + b)h | हल: समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई.

Q21. यदि tan θ = 4/3 हो, तो sin θ + cos θ का मान होगा:

(A) 7/3

(B) 7/4

(C) 7/5

(D) 5/7

उत्तर: (C) 7/5 | हल: लम्ब = 4, आधार = 3 ⇒ कर्ण = 5। sin θ = 4/5, cos θ = 3/5 ⇒ योग = 4/5 + 3/5 = 7/5.

Q22. cosec θ - cot θ = x हो, तो cosec θ + cot θ का मान होगा:

(A) x

(B) 1/x

(C) x²

(D) -x

उत्तर: (B) 1/x | हल: cosec²θ - cot²θ = 1 ⇒ (cosec θ - cot θ)(cosec θ + cot θ) = 1 ⇒ मान = 1/x.

Q23. sec² 60° - tan² 60° + 1 बराबर है:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) -1

उत्तर: (B) 2 | हल: sec² 60° - tan² 60° = 1। अतः 1 + 1 = 2.

Q24. cot 90° का मान होता है:

(A) 1

(B) 0

(C) √3

(D) अपरिभाषित

उत्तर: (B) 0 | हल: cot 90° = cos 90° / sin 90° = 0 / 1 = 0.

Q25. cos(90° - θ) बराबर होता है:

(A) sin θ

(B) -sin θ

(C) cos θ

(D) tan θ

उत्तर: (A) sin θ | हल: पूरक कोण सूत्र: cos(90° - θ) = sin θ.

Q26. यदि एक मीनार के पाद से 50 मीटर दूर स्थित बिंदु पर मीनार का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई होगी:

(A) 50√3 मी०

(B) 50/√3 मी०

(C) 100 मी०

(D) 25√3 मी०

उत्तर: (A) 50√3 मी० | हल: tan 60° = h/50 ⇒ √3 = h/50 ⇒ h = 50√3 मीटर।

Q27. बिंदु (-6, -7) का कोटि (ordinate) है:

(A) -6

(B) -7

(C) 6

(D) 7

उत्तर: (B) -7 | हल: किसी बिंदु (x, y) में x भुज तथा y कोटि होती है। यहाँ कोटि = -7.

Q28. x-अक्ष का समीकरण है:

(A) x = 0

(B) y = 0

(C) x = y

(D) x + y = 0

उत्तर: (B) y = 0 | हल: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है, अतः y = 0.

Q29. बिंदु (-2, -5) किस चतुर्थांश में स्थित है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (C) तृतीय | हल: (-, -) तृतीय चतुर्थांश में स्थित होता है।

Q30. मूल बिंदु से बिंदु P(-a, -b) की दूरी होगी:

(A) √(a² + b²)

(B) a² + b²

(C) √(a + b)

(D) a + b

उत्तर: (A) √(a² + b²) | हल: दूरी = √[(-a)² + (-b)²] = √(a² + b²).

Q31. यदि ΔABC ~ ΔPQR, जिसमें BC/QR = 2/3, तो ar(ΔPQR)/ar(ΔABC) का मान होगा:

(A) 4/9

(B) 9/4

(C) 2/3

(D) 3/2

उत्तर: (B) 9/4 | हल: ar(ΔPQR)/ar(ΔABC) = (QR/BC)² = (3/2)² = 9/4.

Q32. दी गई आकृति में यदि DE || BC हो तथा AD = 3 सेमी, DB = 5 सेमी, AE = 6 सेमी तो EC होगा:

(A) 10 सेमी

(B) 8 सेमी

(C) 9 सेमी

(D) 12 सेमी

उत्तर: (A) 10 सेमी | हल: थेल्स प्रमेय से: AD/DB = AE/EC ⇒ 3/5 = 6/EC ⇒ EC = (6 × 5)/3 = 10 सेमी.

Q33. किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ होती हैं:

(A) समांतर

(B) लंबवत

(C) प्रतिच्छेदी

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A) समांतर | हल: दोनों स्पर्श रेखाएँ व्यास पर लंब होती हैं, अतः वे परस्पर समांतर होती हैं।

Q34. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो पुराने और नए वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

(A) 1 : 2

(B) 1 : 4

(C) 4 : 1

(D) 2 : 1

उत्तर: (B) 1 : 4 | हल: πr² / π(2r)² = πr² / 4πr² = 1/4 = 1 : 4.

Q35. एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई 5 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो इसकी ऊँचाई होगी:

(A) 4 सेमी

(B) 2 सेमी

(C) √34 सेमी

(D) 8 सेमी

उत्तर: (A) 4 सेमी | हल: h = √(l² - r²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 सेमी.

Q36. त्रिज्या R वाले गोले का आयतन होगा:

(A) (4/3)πR³

(B) (2/3)πR³

(C) 4πR²

(D) (1/3)πR³

उत्तर: (A) (4/3)πR³ | हल: गोले के आयतन का सूत्र (4/3)πR³ होता है।

Q37. एक पासे को एक बार फेंकने पर 3 पाने की प्रायिकता होगी:

(A) 1/2

(B) 1/3

(C) 1/6

(D) 5/6

उत्तर: (C) 1/6 | हल: कुल परिणाम = 6, अंक '3' आने का परिणाम = 1। अतः प्रायिकता = 1/6.

Q38. निम्नलिखित में कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

(A) 0.5

(B) 1.5

(C) 18%

(D) 3/4

उत्तर: (B) 1.5 | हल: प्रायिकता का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकता (0 ≤ P(E) ≤ 1)।

Q39. ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। एक हुकुम (Spade) का पत्ता होने की प्रायिकता है:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 1/13

(D) 1/52

उत्तर: (B) 1/4 | हल: हुकुम के कुल पत्ते = 13। प्रायिकता = 13/52 = 1/4.

Q40. एक थैले में 4 सफेद, 6 लाल और 7 काली गेंदें हैं। एक गेंद निकालने पर इसके सफेद होने की प्रायिकता होगी:

(A) 4/17

(B) 6/17

(C) 7/17

(D) 13/17

उत्तर: (A) 4/17 | हल: कुल गेंदें = 4 + 6 + 7 = 17। सफेद गेंदें = 4। प्रायिकता = 4/17.

Q41. √(125) का परिमेयकरण गुणांक है:

(A) √2

(B) √3

(C) √5

(D) 5

उत्तर: (C) √5 | हल: √125 = 5√5। इसे परिमेय संख्या बनाने के लिए √5 से गुणा करना होगा।

Q42. निम्नलिखित में कौन-सा युग्म सह-अभाज्य (co-prime) है?

(A) (9, 16)

(B) (15, 20)

(C) (21, 84)

(D) (13, 65)

उत्तर: (A) (9, 16) | हल: HCF(9, 16) = 1, अतः 9 और 16 सह-अभाज्य हैं।

Q43. रैखिक बहुपद के शून्यकों की संख्या होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

उत्तर: (B) 1 | हल: रैखिक बहुपद (ax + b) की घात 1 होती है, अतः इसका ठीक 1 शून्यक होता है।

Q44. बहुपद x - 1 का शून्यक है:

(A) 1

(B) -1

(C) 0

(D) 2

उत्तर: (A) 1 | हल: x - 1 = 0 ⇒ x = 1.

Q45. किसी द्विघात बहुपद के शून्यक यदि -4 एवं 7 हैं, तो द्विघात बहुपद होगा:

(A) x² + 3x - 28

(B) x² - 3x - 28

(C) x² + 3x + 28

(D) x² - 3x + 28

उत्तर: (B) x² - 3x - 28 | हल: योग = -4 + 7 = 3, गुणनफल = -28। सूत्र: x² - 3x - 28.

Q46. एक द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 5 तथा 6 है, बहुपद होगा:

(A) x² - 5x + 6

(B) x² + 5x + 6

(C) x² - 5x - 6

(D) x² + 5x - 6

उत्तर: (A) x² - 5x + 6 | हल: x² - (योग)x + (गुणनफल) = x² - 5x + 6.

Q47. यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो समीकरण निकाय का हल होगा:

(A) अद्वितीय हल

(B) कोई हल नहीं

(C) अनगिनत हल

(D) दो हल

उत्तर: (C) अनगिनत हल | हल: यह संपाती रेखाओं (coincident lines) का प्रतिबंध है, जिसके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

Q48. समांतर श्रेढ़ी 0, -4, -8, -12, ... का सार्व अंतर है:

(A) 0

(B) 4

(C) -4

(D) 2

उत्तर: (C) -4 | हल: d = -4 - 0 = -4.

Q49. समांतर श्रेढ़ी 14, 9, 4, -1, -6, ... का 12वाँ पद होगा:

(A) 41

(B) -41

(C) 40

(D) -36

उत्तर: (B) -41 | हल: a = 14, d = -5। a₁₂ = 14 + 11(-5) = 14 - 55 = -41.

Q50. यदि समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 2 तथा सार्व अंतर 3 हो, तो प्रथम 3 पद होंगे:

(A) 2, 5, 8

(B) 2, 6, 18

(C) 2, 4, 6

(D) 3, 5, 7

उत्तर: (A) 2, 5, 8 | हल: a = 2, a + d = 5, a + 2d = 8.

Q51. बिंदु (2, -2) और (-2, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

(A) (1, 1)

(B) (0, 0)

(C) (-1, -1)

(D) (2, 2)

उत्तर: (B) (0, 0) | हल: ((2 + (-2))/2, (-2 + 2)/2) = (0/2, 0/2) = (0, 0).

Q52. बिंदु P(0, 6) और Q(8, 0) के बीच की दूरी होगी:

(A) 14

(B) 10

(C) 8

(D) 6

उत्तर: (B) 10 | हल: d = √[(8 - 0)² + (0 - 6)²] = √[64 + 36] = √100 = 10 मात्रक।

Q53. sin² 75° + sin² 15° का मान होगा:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: sin 15° = cos(90° - 15°) = cos 75° ⇒ sin² 75° + cos² 75° = 1.

Q54. 1 + cot² θ बराबर होता है:

(A) tan² θ

(B) sec² θ

(C) cosec² θ

(D) sin² θ

उत्तर: (C) cosec² θ | हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: 1 + cot²θ = cosec²θ.

Q55. यदि 2sin θ = √3 हो, तो θ का मान होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (C) 60° | हल: sin θ = √3/2 ⇒ θ = 60°.

Q56. यदि tan θ = 1 हो, तो θ का मान होगा:

(A) 30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

उत्तर: (B) 45° | हल: tan 45° = 1 ⇒ θ = 45°.

Q57. sec 45° का मान होता है:

(A) 1

(B) √2

(C) 2

(D) 1/√2

उत्तर: (B) √2 | हल: cos 45° = 1/√2 ⇒ sec 45° = √2.

Q58. किसी वृत्त की परिधि 22 सेमी है, तो उसके चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा:

(A) 77/8 सेमी²

(B) 77/2 सेमी²

(C) 77/4 सेमी²

(D) 154 सेमी²

उत्तर: (A) 77/8 सेमी² | हल: 2πr = 22 ⇒ r = 7/2 सेमी। चतुर्थांश = (1/4)πr² = (1/4)(22/7)(7/2)(7/2) = 77/8 सेमी².

Q59. वर्ग अंतराल 15 - 25 का वर्ग चिह्न क्या है?

(A) 10

(B) 20

(C) 15

(D) 25

उत्तर: (B) 20 | हल: वर्ग चिह्न = (15 + 25)/2 = 40/2 = 20.

Q60. दो न्यायसंगत सिक्कों को उछाला जाता है। कम से कम एक शीर्ष (Head) आने की प्रायिकता होगी:

(A) 1/4

(B) 1/2

(C) 3/4

(D) 1

उत्तर: (C) 3/4 | हल: कुल = {HH, HT, TH, TT} = 4। अनुकूल = {HH, HT, TH} = 3। प्रायिकता = 3/4.

Q61. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार a = bq + r में:

(A) 0 ≤ r ≤ b

(B) 0 < r < b

(C) 0 ≤ r < b

(D) r > b

उत्तर: (C) 0 ≤ r < b | हल: शेषफल r शून्य या शून्य से बड़ा तथा भाजक b से सदैव छोटा होता है।

Q62. निम्नलिखित में कौन परिमेय संख्या है?

(A) √7

(B) √(100)

(C) √3 / 2

(D) 2 + √5

उत्तर: (B) √(100) | हल: √100 = 10, जो कि एक परिमेय संख्या है।

Q63. द्विघात समीकरण x² - 4x + 4 = 0 के मूलों का योगफल होगा:

(A) 4

(B) -4

(C) 2

(D) -2

उत्तर: (A) 4 | हल: मूलों का योग = -b/a = -(-4)/1 = 4.

Q64. यदि द्विघात समीकरण px² + 4x + 3 = 0 के मूल बराबर हों, तो p का मान होगा:

(A) 4/3

(B) 3/4

(C) 1/3

(D) -4/3

उत्तर: (A) 4/3 | हल: D = 0 ⇒ 4² - 4(p)(3) = 0 ⇒ 16 - 12p = 0 ⇒ p = 16/12 = 4/3.

Q65. समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ..., 205 में कुल कितने पद हैं?

(A) 33

(B) 34

(C) 35

(D) 36

उत्तर: (B) 34 | हल: a = 7, d = 6। 205 = 7 + (n - 1)6 ⇒ 198 = 6(n - 1) ⇒ n - 1 = 33 ⇒ n = 34.

Q66. अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु को कहते हैं:

(A) भुज

(B) कोटि

(C) मूल बिंदु

(D) चतुर्थांश

उत्तर: (C) मूल बिंदु | हल: x-अक्ष और y-अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु मूल बिंदु (0, 0) कहलाता है।

Q67. बिंदु (3, -4) किस पाद में है?

(A) प्रथम

(B) द्वितीय

(C) तृतीय

(D) चतुर्थ

उत्तर: (D) चतुर्थ | हल: (+, -) चतुर्थ चतुर्थांश को निरूपित करता है।

Q68. sin 30° + cos 60° का मान होगा:

(A) 1/2

(B) 1

(C) √3

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: 1/2 + 1/2 = 1.

Q69. (1 - tan² 45°) / (1 + tan² 45°) बराबर है:

(A) cos 90°

(B) sin 90°

(C) tan 90°

(D) sin 45°

उत्तर: (A) cos 90° | हल: (1 - 1²)/(1 + 1²) = 0/2 = 0 = cos 90°.

Q70. एक बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA तथा PB खींची गई हैं। यदि PA = 5 सेमी, तो PB बराबर होगा:

(A) 5 सेमी

(B) 10 सेमी

(C) 2.5 सेमी

(D) 20 सेमी

उत्तर: (A) 5 सेमी | हल: बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं (PB = PA = 5 सेमी)।

Q71. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 81 : 49 है, तो उनकी संगत माध्यिकाओं का अनुपात होगा:

(A) 9 : 7

(B) 7 : 9

(C) 81 : 49

(D) 3 : √7

उत्तर: (A) 9 : 7 | हल: माध्यिकाओं का अनुपात = √(81/49) = 9/7 = 9 : 7.

Q72. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है:

(A) चाप

(B) व्यास

(C) त्रिज्या

(D) स्पर्श रेखा

उत्तर: (B) व्यास | हल: केंद्र से गुजरने वाली जीवा वृत्त का व्यास होती है तथा यह सबसे लंबी जीवा होती है।

Q73. 12 सेमी व्यास वाले गोले का आयतन होगा:

(A) 288π सेमी³

(B) 144π सेमी³

(C) 576π सेमी³

(D) 864π सेमी³

उत्तर: (A) 288π सेमी³ | हल: r = 6 सेमी। आयतन = (4/3)π(6)³ = (4/3)π(216) = 288π सेमी³.

Q74. आँकड़ों 5, 3, 7, 6, 4, 2, 1 का परिसर (Range) है:

(A) 6

(B) 7

(C) 5

(D) 4

उत्तर: (A) 6 | हल: परिसर = अधिकतम मान - न्यूनतम मान = 7 - 1 = 6.

Q75. यदि एक घटना के घटित होने की प्रायिकता p है, तो उसके न घटित होने की प्रायिकता होगी:

(A) p - 1

(B) p

(C) 1 - p

(D) 1 - 1/p

उत्तर: (C) 1 - p | हल: P(E') = 1 - P(E) = 1 - p.

Q76. (tan 10° × tan 80°) का मान है:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: tan 80° = cot 10° ⇒ tan 10° × cot 10° = 1.

Q77. एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 12 सेमी, 10 सेमी तथा 5 सेमी हैं। इसका आयतन होगा:

(A) 600 सेमी³

(B) 300 सेमी³

(C) 1200 सेमी³

(D) 240 सेमी³

उत्तर: (A) 600 सेमी³ | हल: V = l × b × h = 12 × 10 × 5 = 600 सेमी³.

Q78. 0.49̅ को p/q के रूप में लिखा जा सकता है:

(A) 49/99

(B) 49/90

(C) 49/100

(D) 49/9

उत्तर: (A) 49/99 | हल: 0.4949... = 49/99.

Q79. बहुपद 2 - x(x - 1) में x² का गुणांक है:

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) 0

उत्तर: (B) -1 | हल: 2 - x² + x ⇒ x² का गुणांक = -1.

Q80. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (0, 0), (6, 0) और (0, 8) हों, तो त्रिभुज का परिमाप होगा:

(A) 14 मात्रक

(B) 24 मात्रक

(C) 48 मात्रक

(D) 12 मात्रक

उत्तर: (B) 24 मात्रक | हल: भुजाएँ 6, 8 और कर्ण = √(6²+8²) = 10। परिमाप = 6 + 8 + 10 = 24 मात्रक।

Q81. अर्धवृत्त में बना कोण होता है:

(A) 60°

(B) 45°

(C) 90°

(D) 180°

उत्तर: (C) 90° | हल: अर्धवृत्त का अंतर्निहित कोण समकोण (90°) होता है।

Q82. यदि cos θ = 3/5 हो, तो cosec θ का मान होगा:

(A) 5/4

(B) 4/5

(C) 5/3

(D) 3/4

उत्तर: (A) 5/4 | हल: लम्ब = √(5² - 3²) = 4। cosec θ = कर्ण/लम्ब = 5/4.

Q83. tan 30° / cot 60° का मान होगा:

(A) 1

(B) 1/√3

(C) √3

(D) 0

उत्तर: (A) 1 | हल: (1/√3) / (1/√3) = 1.

Q84. 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 3 के घातांकों का योगफल है:

(A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

उत्तर: (B) 6 | हल: 144 = 2⁴ × 3²। घातांकों का योग = 4 + 2 = 6.

Q85. समांतर श्रेढ़ी 54, 51, 48, ... का कौन-सा पद शून्य (0) है?

(A) 18वाँ

(B) 19वाँ

(C) 20वाँ

(D) 21वाँ

उत्तर: (B) 19वाँ | हल: 0 = 54 + (n - 1)(-3) ⇒ 3(n - 1) = 54 ⇒ n - 1 = 18 ⇒ n = 19.

Q86. बिंदु (a, 0) तथा (0, b) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

(A) (a/2, b/2)

(B) (b/2, a/2)

(C) (a, b)

(D) (a/3, b/3)

उत्तर: (A) (a/2, b/2) | हल: ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).

Q87. 2 cos² 60° का मान होगा:

(A) 1

(B) 1/2

(C) 1/4

(D) 2

उत्तर: (B) 1/2 | हल: 2 × (1/2)² = 2 × (1/4) = 1/2.

Q88. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी हो, तो उसका अर्धपरिमाप (अर्धवृत्त का परिमाप) होगा:

(A) 36 सेमी

(B) 44 सेमी

(C) 22 सेमी

(D) 18 सेमी

उत्तर: (A) 36 सेमी | हल: r(π + 2) = 7 × (22/7 + 2) = 7 × (36/7) = 36 सेमी.

Q89. एक घन का आयतन 125 सेमी³ है, उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा:

(A) 150 सेमी²

(B) 100 सेमी²

(C) 125 सेमी²

(D) 250 सेमी²

उत्तर: (A) 150 सेमी² | हल: भुजा a = ∛125 = 5 सेमी। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6(25) = 150 सेमी².

Q90. वर्ग 10 - 20 की लंबाई (वर्ग माप) है:

(A) 10

(B) 15

(C) 20

(D) 5

उत्तर: (A) 10 | हल: वर्ग माप h = उच्च सीमा - निम्न सीमा = 20 - 10 = 10.

Q91. किसी असंभव घटना E की प्रायिकता P(E) होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 0.5

उत्तर: (A) 0 | हल: असंभव घटना की संभावना शून्य (0) होती है।

Q92. दो लगातार सम संख्याओं का म०स० (HCF) होगा:

(A) 1

(B) 2

(C) 0

(D) 4

उत्तर: (B) 2 | हल: किन्हीं दो क्रमिक सम संख्याओं (उदा. 2, 4 या 12, 14) का HCF सदैव 2 होता है।

Q93. बहुपद x² - 3 के शून्यक हैं:

(A) 3, -3

(B) √3, -√3

(C) √3, √3

(D) 9, -9

उत्तर: (B) √3, -√3 | हल: x² - 3 = 0 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3.

Q94. समीकरण निकाय 2x + 3y = 7 और 6x + 5y = 11 का हल प्रकार है:

(A) अद्वितीय हल

(B) कोई हल नहीं

(C) अनंत हल

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A) अद्वितीय हल | हल: a₁/a₂ = 2/6 = 1/3; b₁/b₂ = 3/5। चूँकि 1/3 ≠ 3/5, अतः अद्वितीय हल है।

Q95. यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D < 0 हो, तो मूल होंगे:

(A) वास्तविक और समान

(B) वास्तविक और असमान

(C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक)

(D) इनमें कोई नहीं

उत्तर: (C) वास्तविक नहीं (काल्पनिक) | हल: जब विविक्तकर ऋणात्मक होता है, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते।

Q96. यदि 4, a, b, 28 एक A.P. में हों, तो a + b का मान होगा:

(A) 32

(B) 16

(C) 24

(D) 36

उत्तर: (A) 32 | हल: A.P. में समदूरस्थ पदों का योग बराबर होता है: a + b = 4 + 28 = 32.

Q97. sec² θ - tan² θ का मान है:

(A) 1

(B) 0

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (A) 1 | हल: यह मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।

Q98. वृत्त के केंद्र पर बना कोण कितने अंश का होता है?

(A) 90°

(B) 180°

(C) 360°

(D) 270°

उत्तर: (C) 360° | हल: संपूर्ण वृत्त के केंद्र पर कुल कोण 360° अंतरित होता है।

Q99. एक बेलन का आयतन होता है:

(A) πr²h

(B) 2πrh

(C) (1/3)πr²h

(D) 2πr(r + h)

उत्तर: (A) πr²h | हल: आधार का क्षेत्रफल (πr²) × ऊँचाई (h) = πr²h.

Q100. निश्चित घटना (Sure Event) की प्रायिकता होती है:

(A) 0

(B) 1

(C) 0.5

(D) 2

उत्तर: (B) 1 | हल: जिस घटना का घटित होना निश्चित हो, उसका मान ठीक 1 होता है।

खंड – 'ब' : लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions) 30 × 2 = 60 अंक

प्र० 1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग करके 867 और 255 का म०स० (HCF) ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ 867 > 255 है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (a = bq + r) का प्रयोग करने पर:
चरण 1: 867 = 255 × 3 + 102 (शेषफल 102 ≠ 0)
चरण 2: 255 = 102 × 2 + 51 (शेषफल 51 ≠ 0)
चरण 3: 102 = 51 × 2 + 0 (शेषफल = 0)
अंतिम भाजक 51 है, अतः HCF(867, 255) = 51.

प्र० 2. सिद्ध कीजिए कि 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना कि 5 - √3 एक परिमेय संख्या है।
अतः 5 - √3 = a/b (जहाँ a, b पूर्णांक हैं, b ≠ 0 तथा a, b सह-अभाज्य हैं)।
⇒ √3 = 5 - a/b = (5b - a)/b.
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, अतः (5b - a)/b एक परिमेय संख्या है।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि √3 भी एक परिमेय संख्या है, जो कि इस ज्ञात तथ्य का विरोध करता है कि √3 अपरिमेय है।
अतः हमारी कल्पना गलत है, इसलिए 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

प्र० 3. द्विघात समीकरण 2x² - 7x + 3 = 0 के मूल द्विघाती सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।

हल:
a = 2, b = -7, c = 3.
विविक्तकर D = b² - 4ac = (-7)² - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0.
द्विघाती सूत्र: x = [-b ± √D] / 2a = [-(-7) ± √25] / (2 × 2) = [7 ± 5] / 4.
• x = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3.
• x = (7 - 5)/4 = 2/4 = 1/2.
अतः मूल 3 और 1/2 हैं।

प्र० 4. द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
x² - 4x + 2x - 8 = 0
⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 2) = 0
⇒ x = 4 या x = -2.
अतः बहुपद के अभीष्ट शून्यक 4 और -2 हैं।

प्र० 5. विलोपन विधि से हल कीजिए: x + y = 5 और 2x - 3y = 4.

हल:
समीकरण (1): x + y = 5 को 3 से गुणा करने पर: 3x + 3y = 15 ...(3)
समीकरण (2): 2x - 3y = 4
(2) और (3) को जोड़ने पर: 5x = 19 ⇒ x = 19/5.
x का मान समीकरण (1) में रखने पर: 19/5 + y = 5 ⇒ y = 5 - 19/5 = (25 - 19)/5 = 6/5.
अतः x = 19/5, y = 6/5.

प्र० 6. k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दोनों मूल बराबर होंगे?

हल:
a = 2, b = k, c = 3.
समान मूलों के लिए: D = b² - 4ac = 0
⇒ k² - 4(2)(3) = 0 ⇒ k² - 24 = 0 ⇒ k² = 24
⇒ k = ±√24 = ±2√6.

प्र० 7. समांतर श्रेढ़ी 10, 7, 4, ... का 30वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:
प्रथम पद a = 10, सार्व अंतर d = 7 - 10 = -3, n = 30.
a_n = a + (n - 1)d
a₃₀ = 10 + (30 - 1)(-3) = 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77.

प्र० 8. A.P. 2, 7, 12, ... के प्रथम 10 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

हल:
a = 2, d = 5, n = 10.
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
S₁₀ = (10/2)[2(2) + (10 - 1)5] = 5[4 + 45] = 5 × 49 = 245.

प्र० 9. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं?

हल:
माना बिंदु A(5, -2), B(6, 4) और C(7, -2) हैं।
AB² = (6 - 5)² + (4 - (-2))² = 1² + 6² = 1 + 36 = 37.
BC² = (7 - 6)² + (-2 - 4)² = 1² + (-6)² = 1 + 36 = 37.
CA² = (5 - 7)² + (-2 - (-2))² = (-2)² + 0 = 4.
यहाँ AB = BC = √37 ≠ CA. दो भुजाएँ समान हैं, अतः यह समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्र० 10. बिंदुओं (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल:
मध्य बिंदु के निर्देशांक = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
= ((4 + (-2))/2, (-1 + (-3))/2) = (2/2, -4/2) = (1, -2).

प्र० 11. y-अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ है।

हल:
माना y-अक्ष पर बिंदु P(0, y) है।
PA² = PB²
⇒ (0 - 6)² + (y - 5)² = (0 - (-4))² + (y - 3)²
⇒ 36 + y² - 10y + 25 = 16 + y² - 6y + 9
⇒ y² - 10y + 61 = y² - 6y + 25
⇒ -10y + 6y = 25 - 61 ⇒ -4y = -36 ⇒ y = 9.
अतः अभीष्ट बिंदु (0, 9) है।

प्र० 12. यदि tan A = 3/4 हो, तो sin A और cos A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
tan A = लम्ब / आधार = 3/4 ⇒ लम्ब = 3, आधार = 4.
कर्ण = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
• sin A = लम्ब / कर्ण = 3/5.
• cos A = आधार / कर्ण = 4/5.

प्र० 13. मान ज्ञात कीजिए: 2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°.

हल:
tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2.
व्यंजक = 2(1)² + (√3/2)² - (√3/2)²
= 2(1) + 3/4 - 3/4 = 2.

प्र० 14. सिद्ध कीजिए कि: (sec θ - tan θ)² = (1 - sin θ) / (1 + sin θ).

हल:
L.H.S. = (1/cos θ - sin θ/cos θ)² = ((1 - sin θ)/cos θ)²
= (1 - sin θ)² / cos² θ = (1 - sin θ)² / (1 - sin² θ)
= [(1 - sin θ)(1 - sin θ)] / [(1 - sin θ)(1 + sin θ)] = (1 - sin θ) / (1 + sin θ) = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 15. यदि sin 3A = cos(A - 26°), जहाँ 3A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
sin 3A = cos(90° - 3A)
अतः cos(90° - 3A) = cos(A - 26°)
⇒ 90° - 3A = A - 26° ⇒ 4A = 116° ⇒ A = 29°.

प्र० 16. ΔABC में भुजा AB और AC पर बिंदु D और E इस प्रकार हैं कि DE || BC। यदि AD = 2.4 सेमी, AE = 3.2 सेमी और EC = 4.8 सेमी हो, तो AB ज्ञात कीजिए।

हल:
थेल्स प्रमेय से: AD / DB = AE / EC
⇒ 2.4 / DB = 3.2 / 4.8 = 2/3 ⇒ DB = (2.4 × 3)/2 = 3.6 सेमी.
AB = AD + DB = 2.4 + 3.6 = 6.0 सेमी.

प्र० 17. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

हल:
माना वृत्त का केंद्र O है और AB स्पर्श रेखा है जो बिंदु P पर स्पर्श करती है।
हम जानते हैं कि त्रिज्या OP स्पर्श रेखा AB पर लंब होती है (OP ⊥ AB), अतः ∠OPB = 90°।
यदि संभव हो, तो माना P पर कोई अन्य लंब रेखा PQ ⊥ AB है जहाँ Q ≠ O। तब ∠QPB = 90°।
यह तभी संभव है जब ∠OPB = ∠QPB, अर्थात् रेखा PQ और OP संपाती हों।
अतः स्पर्श बिंदु पर खींचा गया लंब केंद्र O से ही होकर गुजरता है।

प्र० 18. एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है।

हल:
त्रिज्या r = 14 सेमी.
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4)πr² = (1/4) × (22/7) × 14 × 14
= (1/4) × 22 × 2 × 14 = (44 × 14)/4 = 11 × 14 = 154 सेमी².

प्र० 19. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 12 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:
r = 3.5 सेमी = 7/2 सेमी, h = 12 सेमी.
शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × (7/2) × (7/2) × 12
= (1/3) × 22 × (7/4) × 12 = 22 × 7 = 154 सेमी³.

प्र० 20. दो घनों, जिनमें प्रत्येक का आयतन 27 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
घन की कोर a = ∛27 = 3 सेमी.
घनाभ की विमाएँ: l = 3 + 3 = 6 सेमी, b = 3 सेमी, h = 3 सेमी.
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 2(6×3 + 3×3 + 3×6) = 2(18 + 9 + 18) = 2(45) = 90 सेमी².

प्र० 21. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:
कुल संभावित परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6.
2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = {3, 4, 5} = 3.
प्रायिकता P = 3/6 = 1/2.

प्र० 22. एक थैले में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है (सभी समान आकार की)। बिना थैले के अंदर देखे निकाली गई गेंद के पीली होने की प्रायिकता क्या है?

हल:
कुल गेंदें n(S) = 1 + 1 + 1 = 3.
पीली गेंद n(E) = 1.
P(पीली गेंद) = n(E) / n(S) = 1/3.

प्र० 23. निम्नलिखित आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए:

चर (x)	4	6	9	10	15
बारंबारता (f)	5	10	10	7	8

हल:
Σf = 5 + 10 + 10 + 7 + 8 = 40.
Σfx = (4×5) + (6×10) + (9×10) + (10×7) + (15×8) = 20 + 60 + 90 + 70 + 120 = 360.
माध्य x̄ = Σfx / Σf = 360 / 40 = 9.

प्र० 24. k का मान ज्ञात कीजिए यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, -3) संरेखी हों।

हल:
संरेखी होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0.
(1/2)[x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)] = 0
⇒ 2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k) = 0
⇒ 2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 - k) = 0
⇒ 2k + 6 - 24 + 18 - 6k = 0 ⇒ -4k + 0 = 0 ⇒ k = 0.

प्र० 25. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ / (1 + cos θ)) = ((1 - cos θ) / sin θ).

हल:
L.H.S. = sin θ / (1 + cos θ)
अंश और हर में (1 - cos θ) से गुणा करने पर:
= [sin θ (1 - cos θ)] / [(1 + cos θ)(1 - cos θ)]
= [sin θ (1 - cos θ)] / (1 - cos² θ) = [sin θ (1 - cos θ)] / sin² θ
= (1 - cos θ) / sin θ = R.H.S. (इति सिद्धम्)।

प्र० 26. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केंद्रीय कोण 30° है।

हल:
r = 6 सेमी, θ = 30°.
क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (30/360) × (22/7) × 6 × 6 = (1/12) × (22/7) × 36
= 3 × 22/7 = 66/7 सेमी² (या 9.43 सेमी²).

प्र० 27. दो अंकों की कितनी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं?

हल:
श्रेणी: 10, 15, 20, ..., 95.
a = 10, d = 5, a_n = 95.
95 = 10 + (n - 1)5 ⇒ 85 = 5(n - 1) ⇒ n - 1 = 17 ⇒ n = 18 संख्याएँ.

प्र० 28. बिंदु P(-3, 4) की मूल बिंदु (0, 0) से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
दूरी OP = √[(-3 - 0)² + (4 - 0)²] = √[9 + 16] = √25 = 5 मात्रक.

प्र० 29. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 12, 15 और 21 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
• HCF = उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 3.
• LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420.

प्र० 30. हल कीजिए: √(2x + 9) = 13 - x.

हल:
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 2x + 9 = (13 - x)²
⇒ 2x + 9 = 169 - 26x + x²
⇒ x² - 28x + 160 = 0
⇒ (x - 20)(x - 8) = 0 ⇒ x = 20 या x = 8.
सत्यापन: यदि x = 20, तो दायाँ पक्ष = 13 - 20 = -7 (ऋणात्मक नहीं हो सकता)।
यदि x = 8, तो √(16 + 9) = 5 तथा 13 - 8 = 5 (सत्य)।
अतः अभीष्ट हल x = 8 है।

खंड – 'स' : दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions) 8 × 5 = 40 अंक

प्र० 31. ग्राफ़ीय विधि से हल कीजिए: x - y + 1 = 0 तथा 3x + 2y - 12 = 0.

हल:
समीकरण (1): x - y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1
• x = 0 रखने पर, y = 1 ⇒ बिंदु A(0, 1)
• x = 2 रखने पर, y = 3 ⇒ बिंदु B(2, 3)
• x = -1 रखने पर, y = 0 ⇒ बिंदु C(-1, 0)

समीकरण (2): 3x + 2y - 12 = 0 ⇒ 2y = 12 - 3x ⇒ y = (12 - 3x)/2
• x = 0 रखने पर, y = 6 ⇒ बिंदु D(0, 6)
• x = 2 रखने पर, y = (12 - 6)/2 = 3 ⇒ बिंदु E(2, 3)
• x = 4 रखने पर, y = (12 - 12)/2 = 0 ⇒ बिंदु F(4, 0)

निष्कर्ष:
दोनों रेखाओं का आलेख खींचने पर वे बिंदु (2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः दिए गए समीकरण निकाय का अभीष्ट हल x = 2, y = 3 है।

प्र० 32. सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

हल:
दिया है: केंद्र O वाला एक वृत्त है, जिसके बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ तथा PR खींची गई हैं।
सिद्ध करना है: PQ = PR.
रचना: OP, OQ तथा OR को मिलाया।

उपपत्ति:
हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है:
इसलिए ∠OQP = 90° और ∠ORP = 90°।
अब समकोण ΔOQP और समकोण ΔORP में:
1. ∠OQP = ∠ORP = 90°
2. OP = OP (उभयनिष्ठ कर्ण)
3. OQ = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
अतः RHS सर्वांगसमता नियम से: ΔOQP ≅ ΔORP.
CPCT द्वारा: PQ = PR (इति सिद्धम्)।

प्र० 33. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² = 7 + tan² θ + cot² θ.

हल:
बायाँ पक्ष (L.H.S.) = (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)²
वर्गों का प्रसार करने पर:
= (sin² θ + 2 sin θ cosec θ + cosec² θ) + (cos² θ + 2 cos θ sec θ + sec² θ)

हम जानते हैं कि: sin θ cosec θ = 1 तथा cos θ sec θ = 1:
= sin² θ + cos² θ + 2(1) + 2(1) + cosec² θ + sec² θ
= 1 + 2 + 2 + cosec² θ + sec² θ
= 5 + cosec² θ + sec² θ

सर्वसमिका प्रयोग करने पर: cosec² θ = 1 + cot² θ तथा sec² θ = 1 + tan² θ:
= 5 + (1 + cot² θ) + (1 + tan² θ)
= 7 + tan² θ + cot² θ = दायाँ पक्ष (R.H.S.) (इति सिद्धम्)।

प्र० 34. एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
माना दोनों खंभों की ऊँचाई AB = CD = h मीटर है।
सड़क की चौड़ाई BD = 80 मीटर। माना सड़क पर बिंदु P है, जहाँ BP = x मीटर, तो PD = (80 - x) मीटर।
दिया है: ∠APB = 60° और ∠CPD = 30°।

समकोण ΔABP में:
tan 60° = AB / BP ⇒ √3 = h / x ⇒ h = x√3 ...(समीकरण 1)

समकोण ΔCDP में:
tan 30° = CD / PD ⇒ 1/√3 = h / (80 - x)
⇒ 80 - x = h√3
समीकरण (1) से h का मान रखने पर:
80 - x = (x√3)√3 = 3x
⇒ 4x = 80 ⇒ x = 20 मीटर.

अतः h = 20√3 मीटर।
दूसरे खंभे से दूरी = 80 - 20 = 60 मीटर।
अतः खंभों की ऊँचाई = 20√3 मीटर तथा बिंदु की खंभों से दूरियाँ 20 मीटर और 60 मीटर हैं।

प्र० 35. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

हल:
माना पहला धनात्मक पूर्णांक = x, तो दूसरा पूर्णांक = (x + 1)।
प्रश्नानुसार:
x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365
⇒ 2x² + 2x - 364 = 0
2 से भाग देने पर: x² + x - 182 = 0

मध्य पद विभाजन: 14 × 13 = 182 और 14 - 13 = 1:
⇒ x² + 14x - 13x - 182 = 0
⇒ x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
⇒ (x - 13)(x + 14) = 0
चूँकि पूर्णांक धनात्मक है, अतः x ≠ -14, इसलिए x = 13.
दूसरा पूर्णांक = x + 1 = 13 + 1 = 14.
अतः अभीष्ट पूर्णांक 13 और 14 हैं।

प्र० 36. व्यास 7 मीटर वाला 20 मीटर गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मीटर × 14 मीटर वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
कुएँ (बेलन) की त्रिज्या r = 7/2 मीटर, गहराई h₁ = 20 मीटर.
खोदी गई मिट्टी का आयतन = πr²h₁ = (22/7) × (7/2) × (7/2) × 20
= 11 × 7 × 10 = 770 मीटर³.

चबूतरे (घनाभ) का आकार: लंबाई l = 22 मीटर, चौड़ाई b = 14 मीटर, माना ऊँचाई = H मीटर.
चबूतरे का आयतन = मिट्टी का आयतन
⇒ l × b × H = 770
⇒ 22 × 14 × H = 770
⇒ 308 × H = 770
⇒ H = 770 / 308 = 5/2 = 2.5 मीटर.
अतः चबूतरे की अभीष्ट ऊँचाई 2.5 मीटर है।

प्र० 37. 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। (रचना के चरण लिखें)

रचना के चरण:
1. परकार की सहायता से बिंदु O को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. कोई त्रिज्या OA खींची।
3. चूँकि स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 60° है, अतः केंद्र पर अंतरित कोण = 180° - 60° = 120° होगा।
4. केंद्र O पर OA के साथ 120° का कोण बनाती हुई एक दूसरी त्रिज्या OB खींची (∠AOB = 120°)।
5. बिंदु A पर OA के लंबवत रेखा PA खींची तथा बिंदु B पर OB के लंबवत रेखा PB खींची।
6. ये दोनों लंबवत रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं, जिनके बीच का कोण ∠APB = 60° है।

प्र० 38. निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल	बारंबारता (f)	संचयी बारंबारता (cf)
0 - 10	5	5
10 - 20	10	15
20 - 30	18	33
30 - 40	30	63
40 - 50	20	83
50 - 60	12	95
60 - 70	5	100

हल:
यहाँ कुल प्रेक्षण N = Σf = 100.
N/2 = 100/2 = 50.
50 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता 63 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 30 - 40 है।
अतः माध्यक वर्ग = 30 - 40.

यहाँ:
• निम्न सीमा l = 30
• cf (माध्यक वर्ग से ठीक पूर्व वर्ग की संचयी बारंबारता) = 33
• f (माध्यक वर्ग की बारंबारता) = 30
• h (वर्ग माप) = 10

माध्यक सूत्र: Median = l + [ ((N/2) - cf) / f ] × h
= 30 + [ (50 - 33) / 30 ] × 10
= 30 + [ 17 / 30 ] × 10
= 30 + 17 / 3 = 30 + 5.67 = 35.67.
अतः दिए गए आँकड़ों का माध्यक 35.67 है।