अध्याय 9 – त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग | BSEB 10 Mathematics Book PDF Download

BSEB मैट्रिक परीक्षा कक्षा 10

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (ऊँचाई और दूरी)

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित – दृष्टि रेखा, उन्नयन कोण, अवनमन कोण, सूत्र संग्रह एवं Book PDF

अध्याय का संक्षिप्त परिचय (Chapter Overview)

इस अध्याय में हम त्रिकोणमिति के व्यावहारिक उपयोग का अध्ययन करते हैं, जिसे सामान्यतः ऊँचाई और दूरी (Heights and Distances) कहा जाता है। इसकी सहायता से बिना वास्तविक मापन किए पर्वतों, मीनारों, वृक्षों और चौड़ी नदियों के विस्तार अथवा ऊँचाइयों की सटीक गणना की जा सकती है। बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा में इस अध्याय से 5 अंक का एक दीर्घ उत्तरीय प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछा जाता है।

मूल पारिभाषिक शब्दावली (Key Definitions)

1. दृष्टि रेखा (Line of Sight)

प्रेक्षक की आँख से उस वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली सीधी रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं, जिसे प्रेक्षक देख रहा होता है।

2. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)

जब प्रेक्षित वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर स्थित होती है (अर्थात वस्तु को देखने के लिए सिर ऊपर उठाना पड़ता है), तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के मध्य बने कोण को उन्नयन कोण कहते हैं।

3. अवनमन कोण (Angle of Depression)

जब प्रेक्षित वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे स्थित होती है (अर्थात वस्तु को देखने के लिए सिर नीचे झुकाना पड़ता है), तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के मध्य बने कोण को अवनमन कोण कहते हैं।

एकांतर अंतःकोण का नियम (Important Relation):
चूँकि प्रेक्षक के नेत्र से खींची गई क्षैतिज रेखा और भूमि का धरातल परस्पर समांतर होते हैं, अतः:
अवनमन कोण = उन्नयन कोण   (एकांतर कोण नियम द्वारा)

प्रमुख सूत्र एवं त्रिकोणमितीय मान (Formulas & Values)

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने हेतु मुख्य अनुपात:

tan θ = लंब (ऊँचाई) आधार (दूरी)

(सर्वाधिक प्रयुक्त सूत्र)

sin θ = लंब (ऊँचाई) कर्ण (डोरी/सीढ़ी)

(पतंग की डोरी या सीढ़ी हेतु)

cos θ = आधार (दूरी) कर्ण (डोरी/सीढ़ी)

(आधार और कर्ण संबंध हेतु)

अध्याय 9 के लिए अनिवार्य त्रिकोणमितीय मान सारणी:

त्रिकोणमितीय अनुपात	30°	45°	60°
tan θ	1√3	1	√3
sin θ	12	1√2	√32
cos θ	√32	1√2	12

दशमलव गणना हेतु उपयोगी मान:

• √3 ≈ 1.732
• √2 ≈ 1.414
• जब तक प्रश्न में अन्यथा न कहा जाए, उत्तर को करणी (√) के सरलतम रूप में भी छोड़ा जा सकता है।

बोर्ड परीक्षा में बार-बार पूछे जाने वाले प्रमुख प्रकार

1. पेड़ के टूटने संबंधी प्रश्न: आँधी आने से एक पेड़ मुड़ जाता है और उसका टूटा हुआ भाग भूमि को स्पर्श करता है। कुल ऊँचाई = खड़ा भाग + मुड़ा हुआ भाग (कर्ण)।
2. दो बिंदुओं से मीनार के उन्नयन कोण: जब भूमि के एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं से कोण क्रमश: 30° व 60° बनते हों।
3. भवन और मीनार का संयोजन: एक भवन की छत से मीनार के शिखर और पाद के कोणों का विश्लेषण।
4. नदी की चौड़ाई ज्ञात करना: नदी के दोनों किनारों से वृक्ष या मीनार के बने कोणों की सहायता से चौड़ाई ज्ञात करना।

अध्याय 9 गणित बुक PDF पूर्वावलोकन (Embedded Book PDF)

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