अध्याय 7 – निर्देशांक ज्यामिति | BSEB 10 Mathematics Book PDF Download

BSEB मैट्रिक परीक्षा कक्षा 10

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित – दूरी सूत्र, विभाजन सूत्र, त्रिभुज का क्षेत्रफल एवं NCERT Book PDF

अध्याय का संक्षिप्त परिचय (Chapter Overview)

निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) गणित की वह महत्वपूर्ण शाखा है जिसमें बीजगणित की सहायता से ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन किया जाता है। किसी समतल पर किसी बिंदु की स्थिति को एक क्रमित युग्म (x, y) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ x-निर्देशांक को 'भुज' (Abscissa) और y-निर्देशांक को 'कोटि' (Ordinate) कहते हैं।

अध्याय 7 के महत्वपूर्ण सूत्र संग्रह (Core Formulas)

1. दूरी सूत्र (Distance Formula)

दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

• मूल बिंदु (Origin) से दूरी: बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु O(0, 0) से दूरी = √(x² + y²)

2. विभाजन सूत्र (Section Formula)

बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को अनुपात m₁ : m₂ में अंतर्विभाजित करने वाले बिंदु P(x, y) के निर्देशांक:

P(x, y) = ( m₁x₂ + m₂x₁ m₁ + m₂ ,   m₁y₂ + m₂y₁ m₁ + m₂ )

• यदि अनुपात k : 1 हो, तो: P(x, y) = ( kx₂ + x₁k + 1, ky₂ + y₁k + 1 )

3. मध्य-बिंदु का सूत्र (Mid-point)

रेखाखंड AB के मध्य-बिंदु M के निर्देशांक:

M = ( x₁ + x₂ 2 ,   y₁ + y₂ 2 )

4. त्रिभुज का केंद्रक (Centroid)

शीर्षों (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) वाले त्रिभुज के केंद्रक G के निर्देशांक:

G = ( x₁ + x₂ + x₃ 3 ,   y₁ + y₂ + y₃ 3 )

5. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)

शीर्षों A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) से बने ΔABC का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = 12 | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) |

(चूँकि क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है, इसलिए संख्यात्मक मान का निरपेक्ष मान (Modulus) लिया जाता है।)

तीन बिंदुओं के संरेखी (Collinear) होने की अनिवार्य शर्त:
तीन बिंदु A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) एक ही सीधी रेखा में होंगे यदि उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य (0) हो:
x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) = 0

चतुर्थांश एवं ज्यामितीय आकृतियों के नियम (Quick Reference Table)

आकृति का प्रकार	सिद्ध करने हेतु आवश्यक प्रतिबंध (Conditions)
समद्विबाहु त्रिभुज	किन्हीं दो भुजाओं की लंबाइयाँ बराबर हों (AB = AC या AB = BC)
समबाहु त्रिभुज	तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ समान हों (AB = BC = CA)
समकोण त्रिभुज	पाइथागोरस प्रमेय संतुष्ट हो (AB² + BC² = AC²)
समांतर चतुर्भुज	सम्मुख भुजाएँ बराबर हों तथा विकर्ण बराबर न हों (AB = CD, BC = DA, AC ≠ BD)
आयत (Rectangle)	सम्मुख भुजाएँ बराबर हों और दोनों विकर्ण भी परस्पर बराबर हों (AC = BD)
समचतुर्भुज (Rhombus)	चारों भुजाएँ समान हों किंतु दोनों विकर्ण बराबर न हों (AC ≠ BD)
वर्ग (Square)	चारों भुजाएँ समान हों और दोनों विकर्ण भी परस्पर बराबर हों (AC = BD)

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