अध्याय 6 – त्रिभुज | BSEB 10 Mathematics Book PDF Download

BSEB मैट्रिक परीक्षा कक्षा 10

अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles)

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित – थेल्स प्रमेय, समरूपता कसौटियाँ, पाइथागोरस प्रमेय एवं Book PDF

अध्याय का संक्षिप्त परिचय (Chapter Overview)

कक्षा 9 में त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence) पढ़ने के बाद, कक्षा 10 के अध्याय 6 में त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles) का गहन अध्ययन किया जाता है। दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों तथा उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती (एक ही अनुपात में) हों। बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा में इस अध्याय से 5 अंक का प्रमेय (Theorem) प्रतिवर्ष अनिवार्य रूप से पूछा जाता है।

अध्याय के महत्वपूर्ण प्रमेय (Core Board Theorems)

1. आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय / थेल्स प्रमेय (BPT - प्रमेय 6.1)

कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

यदि ΔABC में DE ∥ BC हो, तो:    ADDB = AEEC

उप-परिणाम: ABAD = ACAE  तथा  ABDB = ACEC

2. थेल्स प्रमेय का विलोम (Converse of BPT - प्रमेय 6.2)

कथन: यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

यदि ADDB = AEEC हो, तो   DE ∥ BC

3. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (प्रमेय 6.6)

कथन: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

यदि ΔABC ∼ ΔPQR हो, तो:
ar(ΔABC)ar(ΔPQR) = (ABPQ)² = (BCQR)² = (CARP)²

4. पाइथागोरस प्रमेय (प्रमेय 6.8) - परीक्षा में सर्वाधिक बार पूछा गया प्रमेय

कथन: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

यदि ΔABC में ∠B = 90° हो, तो:    AC² = AB² + BC²

पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (प्रमेय 6.9): यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सम्मुख कोण समकोण (90°) होता है।

त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ (Similarity Criteria)

कसौटी का नाम	शर्त (Conditions)	संकेत
AAA (कोण-कोण-कोण)	यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।	ΔABC ∼ ΔDEF
AA (कोण-कोण उप-कसौटी)	यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों।	ΔABC ∼ ΔDEF
SSS (भुजा-भुजा-भुजा)	यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों।	ΔABC ∼ ΔDEF
SAS (भुजा-कोण-भुजा)	यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों।	ΔABC ∼ ΔDEF

वस्तुनिष्ठ (Objective) प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण स्मरणीय तथ्य:

• सभी वृत्त समरूप होते हैं।
• सभी वर्ग समरूप होते हैं।
• सभी समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangles) समरूप होते हैं।
• दो सर्वांगसम (Congruent) आकृतियाँ सदैव समरूप होती हैं, किंतु समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

अध्याय 6 गणित बुक PDF पूर्वावलोकन (Embedded Book PDF)

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