बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 3 – दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
संपूर्ण रिवीजन नोट्स, सूत्र सारणी, 50 वस्तुनिष्ठ (One Liner), 25 लघु उत्तरीय एवं 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर
अध्याय परिचय एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र संग्रह
बिहार बोर्ड (BSEB) मैट्रिक गणित परीक्षा में अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) बीजगणित का एक अत्यंत महत्त्वपूर्ण और सर्वाधिक अंकभार वाला अध्याय है। ऐसा समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त किया जा सके, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a और b दोनों शून्य नहीं हैं (a2 + b2 ≠ 0), दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है। इसका ज्यामितीय आलेख सदैव एक सरल रेखा होता है।
1. रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक (मानक) रूप:
a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0
2. गुणांकों की तुलना एवं हलों की प्रकृति (अनुपात संबंध):
| अनुपातों की तुलना | आलेखीय निरूपण (रेखाएँ) | बीजगणितीय निरूपण (हल) | समीकरण युग्म की प्रकृति |
|---|---|---|---|
| a1/a2 ≠ b1/b2 | प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting) | केवल एक अद्वितीय हल | संगत (Consistent) / अविरोधी |
| a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | संपाती रेखाएँ (Coincident) | अपरिमित रूप से अनेक हल | आश्रित संगत (Dependent) |
| a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | समांतर रेखाएँ (Parallel) | कोई हल नहीं (शून्य हल) | असंगत (Inconsistent) / विरोधी |
3. हल करने की प्रमुख बीजगणितीय विधियाँ:
- प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method): एक चर का मान दूसरे चर के पदों में निकालकर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना।
- विलोपन विधि (Elimination Method): गुणांकों को समान बनाकर जोड़कर या घटाकर एक चर को विलोपित करना।
- वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method):
x / (b1c2 - b2c1) = y / (c1a2 - c2a1) = 1 / (a1b2 - a2b1)
भाग 1: 50 वस्तुनिष्ठ / एक पंक्ति प्रश्नोत्तर (One Liner Q&A)
Q1 दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख किस प्रकार की रेखा होती है?
उत्तर: सरल रेखा (Straight Line)।
Q2 रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 में चर राशि की अधिकतम घात कितनी होती है?
उत्तर: 1 (एक)।
Q3 यदि a1/a2 ≠ b1/b2 हो, तो समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?
उत्तर: केवल एक अद्वितीय हल (Unique Solution)।
Q4 यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 हो, तो रेखाएँ कैसी होंगी?
उत्तर: समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)।
Q5 यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 हो, तो समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?
उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely many solutions)।
Q6 जिस समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता, वह क्या कहलाता है?
उत्तर: असंगत समीकरण युग्म (Inconsistent Pair)।
Q7 जिस समीकरण युग्म का एक या अनेक हल होते हैं, वह क्या कहलाता है?
उत्तर: संगत समीकरण युग्म (Consistent Pair)।
Q8 समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 में x का मान क्या होगा?
उत्तर: x = (14 + 4) / 2 = 9.
Q9 समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 में y का मान क्या होगा?
उत्तर: y = (14 - 4) / 2 = 5.
Q10 बिंदु (2, 3) किस समीकरण 2x + y = k का हल है, तो k का मान क्या होगा?
उत्तर: k = 2(2) + 3 = 7.
Q11 x-अक्ष का समीकरण क्या होता है?
उत्तर: y = 0.
Q12 y-अक्ष का समीकरण क्या होता है?
उत्तर: x = 0.
Q13 रेखा x = 4 का आलेख किस अक्ष के समांतर होगा?
उत्तर: y-अक्ष के समांतर।
Q14 रेखा y = -3 का आलेख किस अक्ष के समांतर होगा?
उत्तर: x-अक्ष के समांतर।
Q15 यदि समीकरण 2x + 3y = 7 तथा 4x + 6y = 14 हों, तो इनका आलेख कैसा होगा?
उत्तर: संपाती रेखाएँ (क्योंकि 2/4 = 3/6 = 7/14 = 1/2).
Q16 समीकरण x - 2y = 0 तथा 3x + 4y - 20 = 0 का आलेख कैसा होगा?
उत्तर: प्रतिच्छेदी रेखाएँ (क्योंकि 1/3 ≠ -2/4).
Q17 k के किस मान के लिए समीकरण kx - y = 2 तथा 6x - 2y = 3 का कोई हल नहीं होगा?
उत्तर: k/6 = -1/-2 ⇒ k/6 = 1/2 ⇒ k = 3.
Q18 k के किस मान के लिए समीकरण युग्म x + 2y = 5 तथा 3x + ky = 15 के अनंत हल होंगे?
उत्तर: 1/3 = 2/k ⇒ k = 6.
Q19 समीकरण 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 में y का मान क्या होगा?
उत्तर: घटाने पर: 7y = 35 ⇒ y = 5.
Q20 यदि y = mx + 3 में x = -2 और y = 5 हो, तो m का मान क्या होगा?
उत्तर: 5 = m(-2) + 3 ⇒ -2m = 2 ⇒ m = -1.
Q21 दो चर वाले एक रैखिक समीकरण के कुल कितने हल हो सकते हैं?
उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक हल।
Q22 क्या रेखा x = 0 और y = 0 एक-दूसरे पर लंबवत हैं?
उत्तर: हाँ, वे दोनों निर्देशांक अक्ष हैं जो 90° पर मिलते हैं।
Q23 समीकरण x + 2y + 5 = 0 तथा -3x - 6y + 1 = 0 के हलों की संख्या क्या होगी?
उत्तर: कोई हल नहीं (चूंकि 1/-3 = 2/-6 ≠ 5/1).
Q24 संपाती रेखाओं के समीकरण युग्म को क्या कहा जाता है?
उत्तर: आश्रित संगत (Dependent Consistent)।
Q25 दो अंकों की संख्या का मानक रूप क्या होता है, यदि दहाई का अंक x और इकाई का अंक y हो?
उत्तर: 10x + y.
Q26 यदि संख्या 10x + y के अंकों को उलट दिया जाए, तो नई संख्या क्या होगी?
उत्तर: 10y + x.
Q27 यदि धारा की चाल y km/h और नाव की शांत जल में चाल x km/h हो, तो धारा के अनुकूल चाल क्या होगी?
उत्तर: (x + y) km/h.
Q28 शांत जल में नाव की चाल x और धारा की चाल y होने पर प्रतिकूल चाल क्या होगी?
उत्तर: (x - y) km/h.
Q29 यदि दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे से 18° अधिक है, तो छोटा कोण क्या होगा?
उत्तर: x + (x + 18) = 180 ⇒ 2x = 162 ⇒ x = 81°.
Q30 समीकरण 3x - y = 3 तथा 9x - 3y = 9 के कितने हल होंगे?
उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक हल (चूंकि 3/9 = -1/-3 = -3/-9 = 1/3).
Q31 k के किस मान के लिए kx + 3y = k - 3 तथा 12x + ky = k के अनंत हल होंगे?
उत्तर: k/12 = 3/k ⇒ k2 = 36 ⇒ k = 6.
Q32 रेखाएँ x = a और y = b का प्रतिच्छेद बिंदु क्या होगा?
उत्तर: (a, b).
Q33 क्या बिंदु (0, 0) समीकरण 2x + 3y = 0 का एक हल है?
उत्तर: हाँ (2(0) + 3(0) = 0).
Q34 यदि 2x + y = 7 में x = 2 हो, तो y का मान क्या होगा?
उत्तर: 2(2) + y = 7 ⇒ y = 7 - 4 = 3.
Q35 समीकरण x/2 + y/3 = 1 का सरल रैखिक रूप क्या होगा?
उत्तर: 3x + 2y = 6 (या 3x + 2y - 6 = 0).
Q36 वज्र-गुणन विधि किस स्थिति में लागू की जाती है?
उत्तर: जब समीकरण युग्म का केवल एक अद्वितीय हल हो (a1/a2 ≠ b1/b2).
Q37 समीकरण 2x - 3y = 8 और 4x - 6y = 9 संगत हैं या असंगत?
उत्तर: असंगत (2/4 = -3/-6 ≠ 8/9).
Q38 एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है। यदि हर y और अंश x हो तो समीकरण क्या होगा?
उत्तर: (x - 1) / y = 1/3 ⇒ 3x - y - 3 = 0.
Q39 समीकरण x + y = 7 में कितने धनात्मक पूर्णांक हल (x, y) संभव हैं?
उत्तर: 6 युग्म [(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)].
Q40 विरोधी समीकरण युग्म के कितने हल होते हैं?
उत्तर: शून्य (कोई हल नहीं)।
Q41 अविरोधी समीकरण युग्म के कितने हल होते हैं?
उत्तर: एक अद्वितीय हल।
Q42 आश्रित समीकरण युग्म के आलेख की प्रकृति क्या होती है?
उत्तर: संपाती रेखाएँ।
Q43 यदि 37x + 43y = 123 तथा 43x + 37y = 117 हो, तो x + y का मान क्या होगा?
उत्तर: जोड़ने पर: 80x + 80y = 240 ⇒ x + y = 3.
Q44 यदि 37x + 43y = 123 तथा 43x + 37y = 117 हो, तो x - y का मान क्या होगा?
उत्तर: घटाने पर: -6x + 6y = 6 ⇒ x - y = -1.
Q45 समीकरण ax + by + c = 0 में यदि a = 0 तथा b ≠ 0 हो, तो रेखा किसके समांतर होगी?
उत्तर: x-अक्ष के समांतर।
Q46 समीकरण ax + by + c = 0 में यदि b = 0 तथा a ≠ 0 हो, तो रेखा किसके समांतर होगी?
उत्तर: y-अक्ष के समांतर।
Q47 यदि समीकरण 2x + ky = 1 में x = 1 और y = 1 हो, तो k का मान क्या होगा?
उत्तर: 2(1) + k(1) = 1 ⇒ k = 1 - 2 = -1.
Q48 दो संख्याओं का योग 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है। बड़ी संख्या क्या होगी?
उत्तर: x = 3y ⇒ 3y + y = 26 ⇒ 4y = 26 ⇒ संख्याएँ 19.5 और 6.5 (या पूर्णांक में योग 28 हो तो 21 और 7).
Q49 क्या रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की आलेखीय विधि एक प्रत्यक्ष विधि है?
उत्तर: हाँ, यह एक ज्यामितीय आलेखीय विधि है।
Q50 रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 में a, b और c क्या कहलाते हैं?
उत्तर: वास्तविक संख्याएँ (वास्तविक गुणांक एवं अचर पद)।
भाग 2: 25 लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर (2 अंक वाले)
लघु प्रश्न 1 प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए: x + y = 14 तथा x - y = 4.
हल:
समीकरण (2) से: x = 4 + y ...(3)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
(4 + y) + y = 14
4 + 2y = 14 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5
y का मान (3) में रखने पर: x = 4 + 5 = 9
अतः हल: x = 9, y = 5.
समीकरण (2) से: x = 4 + y ...(3)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
(4 + y) + y = 14
4 + 2y = 14 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5
y का मान (3) में रखने पर: x = 4 + 5 = 9
अतः हल: x = 9, y = 5.
लघु प्रश्न 2 विलोपन विधि से हल कीजिए: 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2.
हल:
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर: 4x - 4y = 4 ...(3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर:
(3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4
7x = 14 ⇒ x = 2
x = 2 समीकरण (1) में रखने पर: 3(2) + 4y = 10 ⇒ 6 + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1
अतः हल: x = 2, y = 1.
समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर: 4x - 4y = 4 ...(3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर:
(3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4
7x = 14 ⇒ x = 2
x = 2 समीकरण (1) में रखने पर: 3(2) + 4y = 10 ⇒ 6 + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1
अतः हल: x = 2, y = 1.
लघु प्रश्न 3 अनुपातों a1/a2, b1/b2 और c1/c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि समीकरण 5x - 4y + 8 = 0 तथा 7x + 6y - 9 = 0 द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
हल:
यहाँ a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8 तथा a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9.
a1/a2 = 5/7
b1/b2 = -4/6 = -2/3
चूंकि a1/a2 ≠ b1/b2 (5/7 ≠ -2/3),
अतः रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा इनका एक अद्वितीय हल है।
यहाँ a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8 तथा a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9.
a1/a2 = 5/7
b1/b2 = -4/6 = -2/3
चूंकि a1/a2 ≠ b1/b2 (5/7 ≠ -2/3),
अतः रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा इनका एक अद्वितीय हल है।
लघु प्रश्न 4 k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1 तथा (2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1.
3x + y = 1 तथा (2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1.
हल:
कोई हल न होने की शर्त: a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
3 / (2k - 1) = 1 / (k - 1) ≠ 1 / (2k + 1)
प्रथम दो अनुपातों से: 3(k - 1) = 1(2k - 1)
3k - 3 = 2k - 1 ⇒ 3k - 2k = 3 - 1 ⇒ k = 2.
(k = 2 पर 1/(k-1) = 1 तथा 1/(2k+1) = 1/5 जो बराबर नहीं हैं)।
अतः अभीष्ट मान k = 2 है।
कोई हल न होने की शर्त: a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
3 / (2k - 1) = 1 / (k - 1) ≠ 1 / (2k + 1)
प्रथम दो अनुपातों से: 3(k - 1) = 1(2k - 1)
3k - 3 = 2k - 1 ⇒ 3k - 2k = 3 - 1 ⇒ k = 2.
(k = 2 पर 1/(k-1) = 1 तथा 1/(2k+1) = 1/5 जो बराबर नहीं हैं)।
अतः अभीष्ट मान k = 2 है।
लघु प्रश्न 5 हल कीजिए: s - t = 3 तथा s/3 + t/2 = 6.
हल:
समीकरण (2) में 6 से गुणा करने पर: 2s + 3t = 36 ...(3)
समीकरण (1) से: s = 3 + t
s का मान (3) में रखने पर: 2(3 + t) + 3t = 36
6 + 2t + 3t = 36 ⇒ 5t = 30 ⇒ t = 6
s = 3 + 6 = 9
अतः s = 9, t = 6.
समीकरण (2) में 6 से गुणा करने पर: 2s + 3t = 36 ...(3)
समीकरण (1) से: s = 3 + t
s का मान (3) में रखने पर: 2(3 + t) + 3t = 36
6 + 2t + 3t = 36 ⇒ 5t = 30 ⇒ t = 6
s = 3 + 6 = 9
अतः s = 9, t = 6.
लघु प्रश्न 6 दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली (बड़ी) संख्या = x तथा दूसरी संख्या = y.
प्रश्नानुसार: x - y = 26 ...(1) तथा x = 3y ...(2)
समीकरण (2) का मान (1) में रखने पर:
3y - y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
x = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ 39 और 13 हैं।
माना पहली (बड़ी) संख्या = x तथा दूसरी संख्या = y.
प्रश्नानुसार: x - y = 26 ...(1) तथा x = 3y ...(2)
समीकरण (2) का मान (1) में रखने पर:
3y - y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
x = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ 39 और 13 हैं।
लघु प्रश्न 7 दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बड़ा कोण = x° तथा छोटा कोण = y°.
संपूरक कोणों का योग: x + y = 180° ...(1)
प्रश्नानुसार: x - y = 18° ...(2)
दोनों को जोड़ने पर: 2x = 198° ⇒ x = 99°
y = 180° - 99° = 81°
अतः कोण 99° तथा 81° हैं।
माना बड़ा कोण = x° तथा छोटा कोण = y°.
संपूरक कोणों का योग: x + y = 180° ...(1)
प्रश्नानुसार: x - y = 18° ...(2)
दोनों को जोड़ने पर: 2x = 198° ⇒ x = 99°
y = 180° - 99° = 81°
अतः कोण 99° तथा 81° हैं।
लघु प्रश्न 8 वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए: 2x + y = 5 तथा 3x + 2y = 8.
हल:
समीकरण मानक रूप में: 2x + y - 5 = 0 तथा 3x + 2y - 8 = 0.
सूत्र: x / [b1c2 - b2c1] = y / [c1a2 - c2a1] = 1 / [a1b2 - a2b1]
x / [ 1(-8) - 2(-5) ] = y / [ -5(3) - (-8)(2) ] = 1 / [ 2(2) - 3(1) ]
x / [ -8 + 10 ] = y / [ -15 + 16 ] = 1 / [ 4 - 3 ]
x / 2 = y / 1 = 1 / 1
अतः x = 2, y = 1.
समीकरण मानक रूप में: 2x + y - 5 = 0 तथा 3x + 2y - 8 = 0.
सूत्र: x / [b1c2 - b2c1] = y / [c1a2 - c2a1] = 1 / [a1b2 - a2b1]
x / [ 1(-8) - 2(-5) ] = y / [ -5(3) - (-8)(2) ] = 1 / [ 2(2) - 3(1) ]
x / [ -8 + 10 ] = y / [ -15 + 16 ] = 1 / [ 4 - 3 ]
x / 2 = y / 1 = 1 / 1
अतः x = 2, y = 1.
लघु प्रश्न 9 जाँच कीजिए कि समीकरण युग्म x + 3y = 6 तथा 2x - 3y = 12 संगत है या असंगत।
हल:
a1/a2 = 1/2
b1/b2 = 3/-3 = -1
चूंकि a1/a2 ≠ b1/b2 (1/2 ≠ -1),
अतः यह समीकरण युग्म संगत (Consistent) है और इसका एक अद्वितीय हल है।
a1/a2 = 1/2
b1/b2 = 3/-3 = -1
चूंकि a1/a2 ≠ b1/b2 (1/2 ≠ -1),
अतः यह समीकरण युग्म संगत (Consistent) है और इसका एक अद्वितीय हल है।
लघु प्रश्न 10 5 संतरे और 3 सेबों का मूल्य ₹35 है तथा 2 संतरे और 4 सेबों का मूल्य ₹28 है। एक संतरा और एक सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 1 संतरे का मूल्य = ₹x तथा 1 सेब का मूल्य = ₹y.
5x + 3y = 35 ...(1)
2x + 4y = 28 ⇒ x + 2y = 14 ⇒ x = 14 - 2y ...(2)
x का मान (1) में रखने पर: 5(14 - 2y) + 3y = 35
70 - 10y + 3y = 35 ⇒ -7y = -35 ⇒ y = 5
x = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4
अतः 1 संतरे का मूल्य = ₹4 तथा 1 सेब का मूल्य = ₹5.
माना 1 संतरे का मूल्य = ₹x तथा 1 सेब का मूल्य = ₹y.
5x + 3y = 35 ...(1)
2x + 4y = 28 ⇒ x + 2y = 14 ⇒ x = 14 - 2y ...(2)
x का मान (1) में रखने पर: 5(14 - 2y) + 3y = 35
70 - 10y + 3y = 35 ⇒ -7y = -35 ⇒ y = 5
x = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4
अतः 1 संतरे का मूल्य = ₹4 तथा 1 सेब का मूल्य = ₹5.
लघु प्रश्न 11 p के किस मान के लिए निम्न समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा?
4x + py + 8 = 0 तथा 2x + 2y + 2 = 0.
4x + py + 8 = 0 तथा 2x + 2y + 2 = 0.
हल:
अद्वितीय हल की शर्त: a1/a2 ≠ b1/b2
4/2 ≠ p/2 ⇒ 2 ≠ p/2 ⇒ p ≠ 4.
अतः 4 के अतिरिक्त p के सभी मानों के लिए समीकरण का अद्वितीय हल होगा।
अद्वितीय हल की शर्त: a1/a2 ≠ b1/b2
4/2 ≠ p/2 ⇒ 2 ≠ p/2 ⇒ p ≠ 4.
अतः 4 के अतिरिक्त p के सभी मानों के लिए समीकरण का अद्वितीय हल होगा।
लघु प्रश्न 12 हल कीजिए: 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 तथा इससे m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो।
हल:
घटाने पर: (2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24)
7y = 35 ⇒ y = 5
2x + 3(5) = 11 ⇒ 2x = 11 - 15 = -4 ⇒ x = -2
अब y = mx + 3 में मान रखने पर:
5 = m(-2) + 3 ⇒ 2 = -2m ⇒ m = -1.
घटाने पर: (2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24)
7y = 35 ⇒ y = 5
2x + 3(5) = 11 ⇒ 2x = 11 - 15 = -4 ⇒ x = -2
अब y = mx + 3 में मान रखने पर:
5 = m(-2) + 3 ⇒ 2 = -2m ⇒ m = -1.
लघु प्रश्न 13 एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹3800 में खरीदीं। बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹1750 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1 बल्ले का मूल्य = ₹x तथा 1 गेंद का मूल्य = ₹y.
प्रथम स्थिति: 7x + 6y = 3800
द्वितीय स्थिति: 3x + 5y = 1750.
माना 1 बल्ले का मूल्य = ₹x तथा 1 गेंद का मूल्य = ₹y.
प्रथम स्थिति: 7x + 6y = 3800
द्वितीय स्थिति: 3x + 5y = 1750.
लघु प्रश्न 14 एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चौड़ाई = y m, तो लंबाई x = y + 4.
अर्धपरिमाप: x + y = 36
(y + 4) + y = 36 ⇒ 2y + 4 = 36 ⇒ 2y = 32 ⇒ y = 16 m
लंबाई x = 16 + 4 = 20 m.
अतः बाग की लंबाई = 20 m तथा चौड़ाई = 16 m है।
माना चौड़ाई = y m, तो लंबाई x = y + 4.
अर्धपरिमाप: x + y = 36
(y + 4) + y = 36 ⇒ 2y + 4 = 36 ⇒ 2y = 32 ⇒ y = 16 m
लंबाई x = 16 + 4 = 20 m.
अतः बाग की लंबाई = 20 m तथा चौड़ाई = 16 m है।
लघु प्रश्न 15 हल कीजिए: 0.2x + 0.3y = 1.3 तथा 0.4x + 0.5y = 2.3.
हल:
दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर:
2x + 3y = 13 ...(1)
4x + 5y = 23 ...(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर: 4x + 6y = 26 ...(3)
(3) में से (2) घटाने पर: y = 26 - 23 ⇒ y = 3
2x + 3(3) = 13 ⇒ 2x = 13 - 9 = 4 ⇒ x = 2
अतः x = 2, y = 3.
दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करने पर:
2x + 3y = 13 ...(1)
4x + 5y = 23 ...(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर: 4x + 6y = 26 ...(3)
(3) में से (2) घटाने पर: y = 26 - 23 ⇒ y = 3
2x + 3(3) = 13 ⇒ 2x = 13 - 9 = 4 ⇒ x = 2
अतः x = 2, y = 3.
लघु प्रश्न 16 हल कीजिए: √2 x + √3 y = 0 तथा √3 x - √8 y = 0.
हल:
समीकरण (1) से: x = -(√3 / √2)y
समीकरण (2) में मान रखने पर:
√3 [ -(√3 / √2)y ] - √8 y = 0
-(3 / √2)y - 2√2 y = 0 ⇒ y [ -3/√2 - 4/√2 ] = 0 ⇒ y = 0
x = -(√3 / √2)(0) = 0
अतः x = 0, y = 0.
समीकरण (1) से: x = -(√3 / √2)y
समीकरण (2) में मान रखने पर:
√3 [ -(√3 / √2)y ] - √8 y = 0
-(3 / √2)y - 2√2 y = 0 ⇒ y [ -3/√2 - 4/√2 ] = 0 ⇒ y = 0
x = -(√3 / √2)(0) = 0
अतः x = 0, y = 0.
लघु प्रश्न 17 k के किस मान के लिए समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 तथा 4x + ky = 10 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
हल:
अनेक हलों की शर्त: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/4 = 3/k = 5/10
1/2 = 3/k ⇒ k = 6.
अनेक हलों की शर्त: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
2/4 = 3/k = 5/10
1/2 = 3/k ⇒ k = 6.
लघु प्रश्न 18 हल कीजिए: 2/x + 3/y = 13 तथा 5/x - 4/y = -2.
हल:
माना 1/x = u तथा 1/y = v.
2u + 3v = 13 ...(1) | 5u - 4v = -2 ...(2)
(1) को 4 से और (2) को 3 से गुणा करके जोड़ने पर:
8u + 12v = 52 तथा 15u - 12v = -6 ⇒ 23u = 46 ⇒ u = 2.
2(2) + 3v = 13 ⇒ 3v = 9 ⇒ v = 3.
अतः x = 1/u = 1/2 तथा y = 1/v = 1/3.
माना 1/x = u तथा 1/y = v.
2u + 3v = 13 ...(1) | 5u - 4v = -2 ...(2)
(1) को 4 से और (2) को 3 से गुणा करके जोड़ने पर:
8u + 12v = 52 तथा 15u - 12v = -6 ⇒ 23u = 46 ⇒ u = 2.
2(2) + 3v = 13 ⇒ 3v = 9 ⇒ v = 3.
अतः x = 1/u = 1/2 तथा y = 1/v = 1/3.
लघु प्रश्न 19 यदि 217x + 131y = 913 तथा 131x + 217y = 827 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
जोड़ने पर: 348x + 348y = 1740 ⇒ x + y = 5 ...(3)
घटाने पर: 86x - 86y = 86 ⇒ x - y = 1 ...(4)
(3) और (4) को हल करने पर: 2x = 6 ⇒ x = 3 तथा y = 2.
जोड़ने पर: 348x + 348y = 1740 ⇒ x + y = 5 ...(3)
घटाने पर: 86x - 86y = 86 ⇒ x - y = 1 ...(4)
(3) और (4) को हल करने पर: 2x = 6 ⇒ x = 3 तथा y = 2.
लघु प्रश्न 20 एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भिन्न x/y है।
(x - 1)/y = 1/3 ⇒ 3x - y = 3 ...(1)
x/(y + 8) = 1/4 ⇒ 4x - y = 8 ...(2)
घटाने पर: x = 5. समीकरण (1) से: 3(5) - y = 3 ⇒ y = 12.
अतः अभीष्ट भिन्न 5/12 है।
माना भिन्न x/y है।
(x - 1)/y = 1/3 ⇒ 3x - y = 3 ...(1)
x/(y + 8) = 1/4 ⇒ 4x - y = 8 ...(2)
घटाने पर: x = 5. समीकरण (1) से: 3(5) - y = 3 ⇒ y = 12.
अतः अभीष्ट भिन्न 5/12 है।
लघु प्रश्न 21 5 वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। 10 वर्ष पश्चात नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना नूरी की आयु = x वर्ष, सोनू की आयु = y वर्ष.
x - 5 = 3(y - 5) ⇒ x - 3y = -10 ...(1)
x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x - 2y = 10 ...(2)
घटाने पर: -y = -20 ⇒ y = 20 वर्ष (सोनू)
x - 2(20) = 10 ⇒ x = 50 वर्ष (नूरी).
माना नूरी की आयु = x वर्ष, सोनू की आयु = y वर्ष.
x - 5 = 3(y - 5) ⇒ x - 3y = -10 ...(1)
x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x - 2y = 10 ...(2)
घटाने पर: -y = -20 ⇒ y = 20 वर्ष (सोनू)
x - 2(20) = 10 ⇒ x = 50 वर्ष (नूरी).
लघु प्रश्न 22 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विलोपन विधि के प्रमुख चरण लिखिए।
उत्तर:
1. दोनों समीकरणों में किसी एक चर (x या y) के गुणांकों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा कर संख्यात्मक रूप से समान बनाना।
2. यदि समान किए गए पदों के चिन्ह विपरीत हों तो जोड़ना और यदि चिन्ह समान हों तो घटाना, जिससे वह चर विलोपित हो जाए।
3. प्राप्त एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल कर उसका मान दूसरे समीकरण में रखकर दूसरा चर ज्ञात करना।
1. दोनों समीकरणों में किसी एक चर (x या y) के गुणांकों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा कर संख्यात्मक रूप से समान बनाना।
2. यदि समान किए गए पदों के चिन्ह विपरीत हों तो जोड़ना और यदि चिन्ह समान हों तो घटाना, जिससे वह चर विलोपित हो जाए।
3. प्राप्त एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल कर उसका मान दूसरे समीकरण में रखकर दूसरा चर ज्ञात करना।
लघु प्रश्न 23 a और b के किन मानों के लिए निम्न समीकरण युग्म के अनंत हल होंगे?
2x + 3y = 7 तथा (a - b)x + (a + b)y = 3a + b - 2.
2x + 3y = 7 तथा (a - b)x + (a + b)y = 3a + b - 2.
हल:
2/(a - b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b - 2)
प्रथम दो से: 2a + 2b = 3a - 3b ⇒ a - 5b = 0 ...(1)
अंतिम दो से: 9a + 3b - 6 = 7a + 7b ⇒ 2a - 4b = 6 ⇒ a - 2b = 3 ...(2)
हल करने पर: 3b = 3 ⇒ b = 1 तथा a = 5.
2/(a - b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b - 2)
प्रथम दो से: 2a + 2b = 3a - 3b ⇒ a - 5b = 0 ...(1)
अंतिम दो से: 9a + 3b - 6 = 7a + 7b ⇒ 2a - 4b = 6 ⇒ a - 2b = 3 ...(2)
हल करने पर: 3b = 3 ⇒ b = 1 तथा a = 5.
लघु प्रश्न 24 क्या बिंदु (3, 2) समीकरण युग्म 2x - 3y = 0 तथा 3x + 4y = 17 का एक उभयनिष्ठ हल है?
हल:
समीकरण 1: 2(3) - 3(2) = 6 - 6 = 0 (संतुष्ट करता है)।
समीकरण 2: 3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17 (संतुष्ट करता है)।
अतः (3, 2) इस समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है।
समीकरण 1: 2(3) - 3(2) = 6 - 6 = 0 (संतुष्ट करता है)।
समीकरण 2: 3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17 (संतुष्ट करता है)।
अतः (3, 2) इस समीकरण युग्म का उभयनिष्ठ हल है।
लघु प्रश्न 25 ग्राफीय विधि में यदि दोनों रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हों, तो समीकरण निकाय की प्रकृति और हलों की संख्या क्या होती है?
उत्तर: यदि रेखाएँ समांतर हों, तो समीकरण निकाय असंगत (Inconsistent / विरोधी) होता है तथा इसका कोई हल नहीं (शून्य हल) होता है।
भाग 3: 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर (5 अंक वाले – बोर्ड मॉडल)
दीर्घ प्रश्न 1 (आलेखीय विधि) ग्राफीय विधि से हल कीजिए: 2x + y - 6 = 0 तथा 4x - 2y - 4 = 0. इन रेखाओं तथा x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण (1): 2x + y = 6 ⇒ y = 6 - 2x
यदि x = 0 ⇒ y = 6; यदि x = 2 ⇒ y = 2; यदि x = 3 ⇒ y = 0.
बिंदु सारणी: A(0, 6), B(2, 2), C(3, 0).
समीकरण (2): 4x - 2y = 4 ⇒ 2x - y = 2 ⇒ y = 2x - 2
यदि x = 0 ⇒ y = -2; यदि x = 1 ⇒ y = 0; यदि x = 2 ⇒ y = 2.
बिंदु सारणी: P(0, -2), Q(1, 0), B(2, 2).
आलेखीय निष्कर्ष:
दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु B(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2, y = 2 है।
त्रिभुज के शीर्ष (x-अक्ष के साथ):
रेखा 1 x-अक्ष को C(3, 0) पर तथा रेखा 2 x-अक्ष को Q(1, 0) पर काटती है और दोनों का प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 2) है।
अतः त्रिभुज के शीर्ष (2, 2), (1, 0) तथा (3, 0) हैं।
समीकरण (1): 2x + y = 6 ⇒ y = 6 - 2x
यदि x = 0 ⇒ y = 6; यदि x = 2 ⇒ y = 2; यदि x = 3 ⇒ y = 0.
बिंदु सारणी: A(0, 6), B(2, 2), C(3, 0).
समीकरण (2): 4x - 2y = 4 ⇒ 2x - y = 2 ⇒ y = 2x - 2
यदि x = 0 ⇒ y = -2; यदि x = 1 ⇒ y = 0; यदि x = 2 ⇒ y = 2.
बिंदु सारणी: P(0, -2), Q(1, 0), B(2, 2).
आलेखीय निष्कर्ष:
दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को बिंदु B(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2, y = 2 है।
त्रिभुज के शीर्ष (x-अक्ष के साथ):
रेखा 1 x-अक्ष को C(3, 0) पर तथा रेखा 2 x-अक्ष को Q(1, 0) पर काटती है और दोनों का प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 2) है।
अतः त्रिभुज के शीर्ष (2, 2), (1, 0) तथा (3, 0) हैं।
दीर्घ प्रश्न 2 (आलेखीय विधि) समीकरणों x - y + 1 = 0 और 3x + 2y - 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के पटल को छायांकित कीजिए तथा इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण (1): x - y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1
बिंदु: (-1, 0), (0, 1), (2, 3).
समीकरण (2): 3x + 2y - 12 = 0 ⇒ y = (12 - 3x) / 2
बिंदु: (0, 6), (2, 3), (4, 0).
प्रतिच्छेद बिंदु: दोनों रेखाएँ P(2, 3) पर मिलती हैं।
रेखा 1 x-अक्ष को A(-1, 0) पर तथा रेखा 2 x-अक्ष को B(4, 0) पर काटती है।
अतः त्रिभुज के शीर्ष P(2, 3), A(-1, 0) और B(4, 0) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल:
आधार AB = 4 - (-1) = 5 मात्रक.
ऊँचाई h = बिंदु P का y-निर्देशांक = 3 मात्रक.
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 5 × 3 = 15/2 = 7.5 वर्ग मात्रक.
समीकरण (1): x - y + 1 = 0 ⇒ y = x + 1
बिंदु: (-1, 0), (0, 1), (2, 3).
समीकरण (2): 3x + 2y - 12 = 0 ⇒ y = (12 - 3x) / 2
बिंदु: (0, 6), (2, 3), (4, 0).
प्रतिच्छेद बिंदु: दोनों रेखाएँ P(2, 3) पर मिलती हैं।
रेखा 1 x-अक्ष को A(-1, 0) पर तथा रेखा 2 x-अक्ष को B(4, 0) पर काटती है।
अतः त्रिभुज के शीर्ष P(2, 3), A(-1, 0) और B(4, 0) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल:
आधार AB = 4 - (-1) = 5 मात्रक.
ऊँचाई h = बिंदु P का y-निर्देशांक = 3 मात्रक.
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 5 × 3 = 15/2 = 7.5 वर्ग मात्रक.
दीर्घ प्रश्न 3 एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जा सकती है। शांत जल में नाव की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना शांत जल में नाव की चाल = x km/h तथा धारा की चाल = y km/h.
धारा के अनुकूल चाल = (x + y) km/h तथा प्रतिकूल चाल = (x - y) km/h.
प्रश्नानुसार:
30/(x - y) + 44/(x + y) = 10 ...(1)
40/(x - y) + 55/(x + y) = 13 ...(2)
माना 1/(x - y) = u तथा 1/(x + y) = v:
30u + 44v = 10 ...(3)
40u + 55v = 13 ...(4)
समीकरण (3) को 4 से तथा (4) को 3 से गुणा करके घटाने पर:
(120u + 176v) - (120u + 165v) = 40 - 39
11v = 1 ⇒ v = 1/11 ⇒ x + y = 11 ...(5)
v का मान (3) में रखने पर: 30u + 44(1/11) = 10 ⇒ 30u + 4 = 10 ⇒ 30u = 6 ⇒ u = 1/5 ⇒ x - y = 5 ...(6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर: 2x = 16 ⇒ x = 8 km/h.
घटाने पर: 2y = 6 ⇒ y = 3 km/h.
अतः शांत जल में नाव की चाल 8 km/h तथा धारा की चाल 3 km/h है।
माना शांत जल में नाव की चाल = x km/h तथा धारा की चाल = y km/h.
धारा के अनुकूल चाल = (x + y) km/h तथा प्रतिकूल चाल = (x - y) km/h.
प्रश्नानुसार:
30/(x - y) + 44/(x + y) = 10 ...(1)
40/(x - y) + 55/(x + y) = 13 ...(2)
माना 1/(x - y) = u तथा 1/(x + y) = v:
30u + 44v = 10 ...(3)
40u + 55v = 13 ...(4)
समीकरण (3) को 4 से तथा (4) को 3 से गुणा करके घटाने पर:
(120u + 176v) - (120u + 165v) = 40 - 39
11v = 1 ⇒ v = 1/11 ⇒ x + y = 11 ...(5)
v का मान (3) में रखने पर: 30u + 44(1/11) = 10 ⇒ 30u + 4 = 10 ⇒ 30u = 6 ⇒ u = 1/5 ⇒ x - y = 5 ...(6)
समीकरण (5) और (6) को जोड़ने पर: 2x = 16 ⇒ x = 8 km/h.
घटाने पर: 2y = 6 ⇒ y = 3 km/h.
अतः शांत जल में नाव की चाल 8 km/h तथा धारा की चाल 3 km/h है।
दीर्घ प्रश्न 4 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी तथा एक अकेला पुरुष कितना समय लेगा?
हल:
माना 1 महिला अकेले काम पूरा करेगी = x दिनों में।
माना 1 पुरुष अकेले काम पूरा करेगा = y दिनों में।
1 महिला का 1 दिन का काम = 1/x, 1 पुरुष का 1 दिन का काम = 1/y.
प्रश्नानुसार:
2/x + 5/y = 1/4 ...(1)
3/x + 6/y = 1/3 ⇒ 1/x + 2/y = 1/9 ...(2)
माना 1/x = u और 1/y = v:
2u + 5v = 1/4 ⇒ 8u + 20v = 1 ...(3)
u + 2v = 1/9 ⇒ 9u + 18v = 1 ...(4)
विलोपन विधि से हल करने पर:
u = 1/18 ⇒ x = 18 दिन (एक अकेली महिला)
v = 1/36 ⇒ y = 36 दिन (एक अकेला पुरुष)।
माना 1 महिला अकेले काम पूरा करेगी = x दिनों में।
माना 1 पुरुष अकेले काम पूरा करेगा = y दिनों में।
1 महिला का 1 दिन का काम = 1/x, 1 पुरुष का 1 दिन का काम = 1/y.
प्रश्नानुसार:
2/x + 5/y = 1/4 ...(1)
3/x + 6/y = 1/3 ⇒ 1/x + 2/y = 1/9 ...(2)
माना 1/x = u और 1/y = v:
2u + 5v = 1/4 ⇒ 8u + 20v = 1 ...(3)
u + 2v = 1/9 ⇒ 9u + 18v = 1 ...(4)
विलोपन विधि से हल करने पर:
u = 1/18 ⇒ x = 18 दिन (एक अकेली महिला)
v = 1/36 ⇒ y = 36 दिन (एक अकेला पुरुष)।
दीर्घ प्रश्न 5 रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h तथा बस की चाल = y km/h.
कुल दूरी = 300 km.
प्रथम स्थिति: 60 km रेलगाड़ी + 240 km बस = 4 घंटे
60/x + 240/y = 4 ⇒ 15/x + 60/y = 1 ...(1)
द्वितीय स्थिति: 100 km रेलगाड़ी + 200 km बस = 4 घंटे 10 मिनट = 4 + 10/60 = 25/6 घंटे
100/x + 200/y = 25/6 ⇒ 4/x + 8/y = 1/6 ⇒ 24/x + 48/y = 1 ...(2)
माना 1/x = u और 1/y = v:
15u + 60v = 1 ...(3)
24u + 48v = 1 ...(4)
समीकरणों को हल करने पर:
u = 1/60 ⇒ x = 60 km/h (रेलगाड़ी की चाल)
v = 1/80 ⇒ y = 80 km/h (बस की चाल)।
माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h तथा बस की चाल = y km/h.
कुल दूरी = 300 km.
प्रथम स्थिति: 60 km रेलगाड़ी + 240 km बस = 4 घंटे
60/x + 240/y = 4 ⇒ 15/x + 60/y = 1 ...(1)
द्वितीय स्थिति: 100 km रेलगाड़ी + 200 km बस = 4 घंटे 10 मिनट = 4 + 10/60 = 25/6 घंटे
100/x + 200/y = 25/6 ⇒ 4/x + 8/y = 1/6 ⇒ 24/x + 48/y = 1 ...(2)
माना 1/x = u और 1/y = v:
15u + 60v = 1 ...(3)
24u + 48v = 1 ...(4)
समीकरणों को हल करने पर:
u = 1/60 ⇒ x = 60 km/h (रेलगाड़ी की चाल)
v = 1/80 ⇒ y = 80 km/h (बस की चाल)।
दीर्घ प्रश्न 6 दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि संख्या के अंकों का अंतर 2 हो, तो संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसी संख्याएँ कितनी हैं?
हल:
माना दहाई का अंक = x तथा इकाई का अंक = y.
मूल संख्या = 10x + y.
अंकों को उलटने पर बनी संख्या = 10y + x.
प्रश्नानुसार:
(10x + y) + (10y + x) = 66
11x + 11y = 66 ⇒ x + y = 6 ...(1)
अंकों का अंतर 2 है:
स्थिति 1: x - y = 2 ...(2)
जोड़ने पर: 2x = 8 ⇒ x = 4 तथा y = 2. संख्या = 10(4) + 2 = 42.
स्थिति 2: y - x = 2 ...(3)
जोड़ने पर: 2y = 8 ⇒ y = 4 तथा x = 2. संख्या = 10(2) + 4 = 24.
अतः ऐसी दो संख्याएँ (42 और 24) हैं।
माना दहाई का अंक = x तथा इकाई का अंक = y.
मूल संख्या = 10x + y.
अंकों को उलटने पर बनी संख्या = 10y + x.
प्रश्नानुसार:
(10x + y) + (10y + x) = 66
11x + 11y = 66 ⇒ x + y = 6 ...(1)
अंकों का अंतर 2 है:
स्थिति 1: x - y = 2 ...(2)
जोड़ने पर: 2x = 8 ⇒ x = 4 तथा y = 2. संख्या = 10(4) + 2 = 42.
स्थिति 2: y - x = 2 ...(3)
जोड़ने पर: 2y = 8 ⇒ y = 4 तथा x = 2. संख्या = 10(2) + 4 = 24.
अतः ऐसी दो संख्याएँ (42 और 24) हैं।
दीर्घ प्रश्न 7 यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कुल कितने प्रश्न थे?
हल:
माना सही उत्तरों की संख्या = x तथा गलत (अशुद्ध) उत्तरों की संख्या = y.
कुल प्रश्न = x + y.
शर्त 1: 3x - y = 40 ...(1)
शर्त 2: 4x - 2y = 50 ⇒ 2x - y = 25 ...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर:
(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25
x = 15 (सही प्रश्न)
x का मान (1) में रखने पर: 3(15) - y = 40 ⇒ 45 - y = 40 ⇒ y = 5 (गलत प्रश्न)
अतः टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20 प्रश्न थे।
माना सही उत्तरों की संख्या = x तथा गलत (अशुद्ध) उत्तरों की संख्या = y.
कुल प्रश्न = x + y.
शर्त 1: 3x - y = 40 ...(1)
शर्त 2: 4x - 2y = 50 ⇒ 2x - y = 25 ...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर:
(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25
x = 15 (सही प्रश्न)
x का मान (1) में रखने पर: 3(15) - y = 40 ⇒ 45 - y = 40 ⇒ y = 5 (गलत प्रश्न)
अतः टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20 प्रश्न थे।
दीर्घ प्रश्न 8 एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात मिलती हैं। यदि वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो 1 घंटे पश्चात मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A से चलने वाली कार की चाल = x km/h तथा B से चलने वाली कार की चाल = y km/h (जहाँ x > y).
स्थिति 1 (एक ही दिशा में चलने पर):
5 घंटे में A द्वारा तय दूरी - B द्वारा तय दूरी = 100 km
5x - 5y = 100 ⇒ x - y = 20 ...(1)
स्थिति 2 (विपरीत दिशा में चलने पर):
1 घंटे में दोनों द्वारा तय दूरी का योग = 100 km
1x + 1y = 100 ⇒ x + y = 100 ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
2x = 120 ⇒ x = 60 km/h (पहली कार की चाल)
समीकरण (2) से: 60 + y = 100 ⇒ y = 40 km/h (दूसरी कार की चाल)।
माना A से चलने वाली कार की चाल = x km/h तथा B से चलने वाली कार की चाल = y km/h (जहाँ x > y).
स्थिति 1 (एक ही दिशा में चलने पर):
5 घंटे में A द्वारा तय दूरी - B द्वारा तय दूरी = 100 km
5x - 5y = 100 ⇒ x - y = 20 ...(1)
स्थिति 2 (विपरीत दिशा में चलने पर):
1 घंटे में दोनों द्वारा तय दूरी का योग = 100 km
1x + 1y = 100 ⇒ x + y = 100 ...(2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
2x = 120 ⇒ x = 60 km/h (पहली कार की चाल)
समीकरण (2) से: 60 + y = 100 ⇒ y = 40 km/h (दूसरी कार की चाल)।
दीर्घ प्रश्न 9 एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयत की लंबाई = x इकाई तथा चौड़ाई = y इकाई.
मूल क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई.
प्रथम शर्त: (x - 5)(y + 3) = xy - 9
xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9
3x - 5y = 6 ...(1)
द्वितीय शर्त: (x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
2x + 3y = 61 ...(2)
समीकरण (1) को 3 से तथा (2) को 5 से गुणा करके जोड़ने पर:
9x - 15y = 18
10x + 15y = 305
19x = 323 ⇒ x = 17 इकाई
x का मान (1) में रखने पर: 3(17) - 5y = 6 ⇒ 51 - 5y = 6 ⇒ 5y = 45 ⇒ y = 9 इकाई.
अतः आयत की लंबाई 17 इकाई तथा चौड़ाई 9 इकाई है।
माना आयत की लंबाई = x इकाई तथा चौड़ाई = y इकाई.
मूल क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई.
प्रथम शर्त: (x - 5)(y + 3) = xy - 9
xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9
3x - 5y = 6 ...(1)
द्वितीय शर्त: (x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
2x + 3y = 61 ...(2)
समीकरण (1) को 3 से तथा (2) को 5 से गुणा करके जोड़ने पर:
9x - 15y = 18
10x + 15y = 305
19x = 323 ⇒ x = 17 इकाई
x का मान (1) में रखने पर: 3(17) - 5y = 6 ⇒ 51 - 5y = 6 ⇒ 5y = 45 ⇒ y = 9 इकाई.
अतः आयत की लंबाई 17 इकाई तथा चौड़ाई 9 इकाई है।
दीर्घ प्रश्न 10 5 वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। 5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल:
माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष.
5 वर्ष बाद: जैकब = (x + 5), पुत्र = (y + 5)
x + 5 = 3(y + 5) ⇒ x + 5 = 3y + 15 ⇒ x - 3y = 10 ...(1)
5 वर्ष पूर्व: जैकब = (x - 5), पुत्र = (y - 5)
x - 5 = 7(y - 5) ⇒ x - 5 = 7y - 35 ⇒ x - 7y = -30 ...(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
4y = 40 ⇒ y = 10 वर्ष (पुत्र की आयु)
समीकरण (1) से: x - 3(10) = 10 ⇒ x = 10 + 30 = 40 वर्ष (जैकब की आयु)।
माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष तथा पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष.
5 वर्ष बाद: जैकब = (x + 5), पुत्र = (y + 5)
x + 5 = 3(y + 5) ⇒ x + 5 = 3y + 15 ⇒ x - 3y = 10 ...(1)
5 वर्ष पूर्व: जैकब = (x - 5), पुत्र = (y - 5)
x - 5 = 7(y - 5) ⇒ x - 5 = 7y - 35 ⇒ x - 7y = -30 ...(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
4y = 40 ⇒ y = 10 वर्ष (पुत्र की आयु)
समीकरण (1) से: x - 3(10) = 10 ⇒ x = 10 + 30 = 40 वर्ष (जैकब की आयु)।
दीर्घ प्रश्न 11 रैखिक समीकरणों में बदलकर हल कीजिए: 5/(x - 1) + 1/(y - 2) = 2 तथा 6/(x - 1) - 3/(y - 2) = 1.
हल:
माना 1/(x - 1) = u तथा 1/(y - 2) = v.
समीकरण बनते हैं:
5u + v = 2 ...(1)
6u - 3v = 1 ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर: 15u + 3v = 6 ...(3)
(3) और (2) को जोड़ने पर:
21u = 7 ⇒ u = 7/21 = 1/3
u का मान (1) में रखने पर: 5(1/3) + v = 2 ⇒ v = 2 - 5/3 ⇒ v = 1/3.
अब u और v के मान पुनः रखने पर:
1/(x - 1) = 1/3 ⇒ x - 1 = 3 ⇒ x = 4
1/(y - 2) = 1/3 ⇒ y - 2 = 3 ⇒ y = 5
अतः अभीष्ट हल x = 4, y = 5 है।
माना 1/(x - 1) = u तथा 1/(y - 2) = v.
समीकरण बनते हैं:
5u + v = 2 ...(1)
6u - 3v = 1 ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर: 15u + 3v = 6 ...(3)
(3) और (2) को जोड़ने पर:
21u = 7 ⇒ u = 7/21 = 1/3
u का मान (1) में रखने पर: 5(1/3) + v = 2 ⇒ v = 2 - 5/3 ⇒ v = 1/3.
अब u और v के मान पुनः रखने पर:
1/(x - 1) = 1/3 ⇒ x - 1 = 3 ⇒ x = 4
1/(y - 2) = 1/3 ⇒ y - 2 = 3 ⇒ y = 5
अतः अभीष्ट हल x = 4, y = 5 है।
दीर्घ प्रश्न 12 हल कीजिए: 10/(x + y) + 2/(x - y) = 4 तथा 15/(x + y) - 5/(x - y) = -2.
हल:
माना 1/(x + y) = u तथा 1/(x - y) = v.
10u + 2v = 4 ⇒ 5u + v = 2 ...(1)
15u - 5v = -2 ...(2)
समीकरण (1) को 5 से गुणा करके (2) में जोड़ने पर:
25u + 5v = 10
15u - 5v = -2
40u = 8 ⇒ u = 8/40 = 1/5
v = 2 - 5(1/5) = 2 - 1 = 1.
अतः 1/(x + y) = 1/5 ⇒ x + y = 5 ...(3)
तथा 1/(x - y) = 1 ⇒ x - y = 1 ...(4)
(3) और (4) को जोड़ने पर: 2x = 6 ⇒ x = 3
घटाने पर: 2y = 4 ⇒ y = 2
अतः हल x = 3, y = 2 है।
माना 1/(x + y) = u तथा 1/(x - y) = v.
10u + 2v = 4 ⇒ 5u + v = 2 ...(1)
15u - 5v = -2 ...(2)
समीकरण (1) को 5 से गुणा करके (2) में जोड़ने पर:
25u + 5v = 10
15u - 5v = -2
40u = 8 ⇒ u = 8/40 = 1/5
v = 2 - 5(1/5) = 2 - 1 = 1.
अतः 1/(x + y) = 1/5 ⇒ x + y = 5 ...(3)
तथा 1/(x - y) = 1 ⇒ x - y = 1 ...(4)
(3) और (4) को जोड़ने पर: 2x = 6 ⇒ x = 3
घटाने पर: 2y = 4 ⇒ y = 2
अतः हल x = 3, y = 2 है।
दीर्घ प्रश्न 13 एक भिन्न 9/11 हो जाती है, यदि उसके अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भिन्न = x/y.
प्रथम शर्त: (x + 2) / (y + 2) = 9 / 11
11(x + 2) = 9(y + 2)
11x + 22 = 9y + 18 ⇒ 11x - 9y = -4 ...(1)
द्वितीय शर्त: (x + 3) / (y + 3) = 5 / 6
6(x + 3) = 5(y + 3)
6x + 18 = 5y + 15 ⇒ 6x - 5y = -3 ...(2)
समीकरण (1) को 5 से तथा (2) को 9 से गुणा करके घटाने पर:
55x - 45y = -20
54x - 45y = -27
घटाने पर: x = 7.
x का मान (1) में रखने पर: 11(7) - 9y = -4 ⇒ 77 + 4 = 9y ⇒ 9y = 81 ⇒ y = 9.
अतः अभीष्ट भिन्न 7/9 है।
माना भिन्न = x/y.
प्रथम शर्त: (x + 2) / (y + 2) = 9 / 11
11(x + 2) = 9(y + 2)
11x + 22 = 9y + 18 ⇒ 11x - 9y = -4 ...(1)
द्वितीय शर्त: (x + 3) / (y + 3) = 5 / 6
6(x + 3) = 5(y + 3)
6x + 18 = 5y + 15 ⇒ 6x - 5y = -3 ...(2)
समीकरण (1) को 5 से तथा (2) को 9 से गुणा करके घटाने पर:
55x - 45y = -20
54x - 45y = -27
घटाने पर: x = 7.
x का मान (1) में रखने पर: 11(7) - 9y = -4 ⇒ 77 + 4 = 9y ⇒ 9y = 81 ⇒ y = 9.
अतः अभीष्ट भिन्न 7/9 है।
दीर्घ प्रश्न 14 एक मित्र दूसरे से कहता है कि 'यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।' दूसरा उत्तर देता है कि 'यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।' बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियाँ हैं?
हल:
माना पहले मित्र की संपत्ति = ₹x तथा दूसरे की संपत्ति = ₹y.
प्रथम शर्त: पहला मित्र 100 लेने पर: (x + 100), दूसरा बचेगा: (y - 100)
x + 100 = 2(y - 100)
x + 100 = 2y - 200 ⇒ x - 2y = -300 ...(1)
द्वितीय शर्त: दूसरा मित्र 10 लेने पर: (y + 10), पहला बचेगा: (x - 10)
y + 10 = 6(x - 10)
y + 10 = 6x - 60 ⇒ 6x - y = 70 ...(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके (1) घटाने पर:
12x - 2y = 140
x - 2y = -300
घटाने पर: 11x = 440 ⇒ x = ₹40
x का मान (2) में रखने पर: 6(40) - y = 70 ⇒ 240 - 70 = y ⇒ y = ₹170.
अतः पहले मित्र के पास ₹40 तथा दूसरे के पास ₹170 हैं।
माना पहले मित्र की संपत्ति = ₹x तथा दूसरे की संपत्ति = ₹y.
प्रथम शर्त: पहला मित्र 100 लेने पर: (x + 100), दूसरा बचेगा: (y - 100)
x + 100 = 2(y - 100)
x + 100 = 2y - 200 ⇒ x - 2y = -300 ...(1)
द्वितीय शर्त: दूसरा मित्र 10 लेने पर: (y + 10), पहला बचेगा: (x - 10)
y + 10 = 6(x - 10)
y + 10 = 6x - 60 ⇒ 6x - y = 70 ...(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके (1) घटाने पर:
12x - 2y = 140
x - 2y = -300
घटाने पर: 11x = 440 ⇒ x = ₹40
x का मान (2) में रखने पर: 6(40) - y = 70 ⇒ 240 - 70 = y ⇒ y = ₹170.
अतः पहले मित्र के पास ₹40 तथा दूसरे के पास ₹170 हैं।
दीर्घ प्रश्न 15 वज्र-गुणन विधि द्वारा x और y के लिए हल कीजिए:
ax + by = a - b तथा bx - ay = a + b.
ax + by = a - b तथा bx - ay = a + b.
हल:
समीकरण मानक रूप में:
ax + by - (a - b) = 0
bx - ay - (a + b) = 0
यहाँ a1 = a, b1 = b, c1 = -(a - b)
a2 = b, b2 = -a, c2 = -(a + b)
वज्र-गुणन सूत्र से:
x / [ b{-(a + b)} - (-a){-(a - b)} ] = y / [ -(a - b)b - {-(a + b)}a ] = 1 / [ a(-a) - b(b) ]
सरल करने पर:
x / [ -ab - b2 - a2 + ab ] = y / [ -ab + b2 + a2 + ab ] = 1 / [ -a2 - b2 ]
x / [ -(a2 + b2) ] = y / [ a2 + b2 ] = 1 / [ -(a2 + b2) ]
x का मान: x = [ -(a2 + b2) ] / [ -(a2 + b2) ] = 1
y का मान: y = [ a2 + b2 ] / [ -(a2 + b2) ] = -1
अतः अभीष्ट हल x = 1, y = -1 है।
समीकरण मानक रूप में:
ax + by - (a - b) = 0
bx - ay - (a + b) = 0
यहाँ a1 = a, b1 = b, c1 = -(a - b)
a2 = b, b2 = -a, c2 = -(a + b)
वज्र-गुणन सूत्र से:
x / [ b{-(a + b)} - (-a){-(a - b)} ] = y / [ -(a - b)b - {-(a + b)}a ] = 1 / [ a(-a) - b(b) ]
सरल करने पर:
x / [ -ab - b2 - a2 + ab ] = y / [ -ab + b2 + a2 + ab ] = 1 / [ -a2 - b2 ]
x / [ -(a2 + b2) ] = y / [ a2 + b2 ] = 1 / [ -(a2 + b2) ]
x का मान: x = [ -(a2 + b2) ] / [ -(a2 + b2) ] = 1
y का मान: y = [ a2 + b2 ] / [ -(a2 + b2) ] = -1
अतः अभीष्ट हल x = 1, y = -1 है।
मैट्रिक परीक्षा उपयोगी महत्त्वपूर्ण टिप्स (BSEB Exam Tips)
- आलेखीय विधि में शुद्धता (Graph Tips): परीक्षा में ग्राफ पेपर पर पैमाना (Scale) लिखना अनिवार्य है। दोनों अक्षों का नाम X-X' और Y-Y' तथा प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक स्पष्ट रूप से लिखें।
- अनुपातों की तुलना (शॉर्टकट): जब भी वस्तुनिष्ठ प्रश्न में हलों की संख्या या रेखाओं की प्रकृति पूछी जाए, तो केवल a1/a2, b1/b2, c1/c2 का अनुपात निकालें। पूरा समीकरण हल करने की आवश्यकता नहीं है।
- कथनात्मक प्रश्न (Word Problems): प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़कर अज्ञात राशियों को x और y मानें। इकाई (जैसे km/h, वर्ष, ₹, m) का उल्लेख अनिवार्य रूप से करें।
- नाव और धारा वाले प्रश्न: शांत जल में नाव की चाल (x) सदैव धारा की चाल (y) से अधिक होनी चाहिए (x > y), अन्यथा नाव आगे नहीं बढ़ सकेगी।
निष्कर्ष (Conclusion)
बिहार बोर्ड मैट्रिक गणित परीक्षा में 'अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' का स्थान अत्यंत महत्वपूर्ण है। इस अध्याय से 5 अंक का एक आलेखीय (ग्राफ) प्रश्न लगभग हर साल पूछा जाता है। यदि आप ऊपर दिए गए सभी 50 वस्तुनिष्ठ, 25 लघु और 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों का नियमपूर्वक अभ्यास कर लेते हैं, तो बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से आपके पूरे अंक प्राप्त होना सुनिश्चित है। इस उपयोगी अध्ययन सामग्री को अपने सहपाठियों के साथ शेयर करें और अपनी मैट्रिक परीक्षा की तैयारी को उत्कृष्ट बनाएं।
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