अध्याय 2 – बहुपद | BSEB 10 Mathematics Subjective

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 2 – बहुपद (Polynomials)

संपूर्ण रिवीजन नोट्स, सूत्र संग्रह, 50 वस्तुनिष्ठ (One Liner), 25 लघु उत्तरीय एवं 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

अध्याय परिचय एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र संग्रह

बिहार बोर्ड (BSEB) मैट्रिक परीक्षा के बीजगणित खंड में अध्याय 2: बहुपद (Polynomials) एक अत्यंत स्कोरिंग और आधारभूत अध्याय है। चर राशि x में एक ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर के सभी घातांक अऋणात्मक पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3...) हों, बहुपद कहलाता है। इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ, लघु और दीर्घ उत्तरीय मिलाकर लगभग 8 से 10 अंकों के प्रश्न प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं।

1. बहुपद के प्रकार एवं मानक रूप:

• रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद। मानक रूप: ax + b (a ≠ 0)। इसका केवल 1 शून्यक x = -b/a होता है।
• द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद। मानक रूप: ax² + bx + c (a ≠ 0)। इसके अधिकतम 2 शून्यक (α, β) होते हैं।
• त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): घात 3 वाला बहुपद। मानक रूप: ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)। इसके अधिकतम 3 शून्यक (α, β, γ) होते हैं।

2. शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध:

द्विघात बहुपद ax² + bx + c के लिए:

• शून्यकों का योगफल: α + β = -b/a = -(x का गुणांक) / (x² का गुणांक)
• शून्यकों का गुणनफल: αβ = c/a = अचर पद / (x² का गुणांक)
• द्विघात बहुपद बनाने का सूत्र: p(x) = k [ x² - (α + β)x + αβ ]

त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के लिए:

• α + β + γ = -b/a
• αβ + βγ + γα = c/a
• αβγ = -d/a
• त्रिघात बहुपद का सूत्र: p(x) = k [ x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ ]

3. विभाजन एल्गोरिद्म (Division Algorithm):

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ भाज्य = p(x), भाजक = g(x), भागफल = q(x) तथा शेषफल = r(x) है।
शर्त: r(x) = 0 अथवा r(x) की घात < g(x) की घात। यदि r(x) = 0 हो, तो g(x), p(x) का एक गुणनखंड होता है।

भाग 1: 50 वस्तुनिष्ठ / एक पंक्ति प्रश्नोत्तर (One Liner Q&A)

Q1 बहुपद 4x² - 3x + 7 की घात (Degree) क्या है?

उत्तर: 2 (चर x की अधिकतम घात 2 है)।

Q2 रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?

उत्तर: 1 (एक)।

Q3 द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: 2 (दो)।

Q4 त्रिघात बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या कितनी होती है?

उत्तर: 3 (तीन)।

Q5 n घात वाले बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

उत्तर: n शून्यक।

Q6 क्या 1/x + 2 एक बहुपद है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि x की घात -1 (ऋणात्मक) है।

Q7 क्या √x + 3 एक बहुपद है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि चर x की घात 1/2 (भिन्न) है।

Q8 अचर बहुपद (Constant Polynomial) जैसे 5 की घात कितनी होती है?

उत्तर: 0 (शून्य, चूंकि 5 = 5x⁰)।

Q9 शून्य बहुपद (Zero Polynomial) की घात क्या होती है?

उत्तर: अपरिभाषित (Not Defined)।

Q10 द्विघात बहुपद के आलेख (ग्राफ) का आकार कैसा होता है?

उत्तर: परवलय (Parabola - U-आकार)।

Q11 किसी बहुपद y = p(x) के शून्यकों की संख्या ग्राफ द्वारा कैसे ज्ञात की जाती है?

उत्तर: ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, वही शून्यकों की संख्या होती है।

Q12 यदि बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान क्या होगा?

उत्तर: -b / a.

Q13 यदि बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान क्या होगा?

उत्तर: c / a.

Q14 बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यकों का योगफल क्या होगा?

उत्तर: -(-5) / 1 = 5.

Q15 बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

उत्तर: 6 / 1 = 6.

Q16 बहुपद x² - 3 के शून्यक क्या होंगे?

उत्तर: +√3 तथा -√3.

Q17 बहुपद x² - 16 के शून्यक क्या हैं?

उत्तर: +4 और -4.

Q18 यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक 2 और -3 हों, तो बहुपद क्या होगा?

उत्तर: x² - (2 - 3)x + (2 × -3) = x² + x - 6.

Q19 त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यकों का योग α + β + γ क्या होता है?

उत्तर: -b / a.

Q20 त्रिघात बहुपद के तीनों शून्यकों का गुणनफल αβγ क्या होता है?

उत्तर: -d / a.

Q21 त्रिघात बहुपद में दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग (αβ + βγ + γα) क्या होता है?

उत्तर: c / a.

Q22 यदि बहुपद 2x² + 3x + k का एक शून्यक 1/2 हो, तो k का मान क्या होगा?

उत्तर: 2(1/2)² + 3(1/2) + k = 0 ⇒ 1/2 + 3/2 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = -2.

Q23 यदि बहुपद x² - kx + 8 के शून्यकों का योग 6 है, तो k का मान क्या होगा?

उत्तर: -(-k)/1 = 6 ⇒ k = 6.

Q24 रैखिक बहुपद 2x + 3 का शून्यक क्या है?

उत्तर: 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2.

Q25 बहुपद p(x) = x² - 2x - 8 के शून्यक क्या हैं?

उत्तर: (x - 4)(x + 2) = 0 ⇒ 4 तथा -2.

Q26 यदि α और β बहुपद x² + 2x + 1 के शून्यक हों, तो 1/α + 1/β का मान क्या होगा?

उत्तर: (α + β) / (αβ) = -2 / 1 = -2.

Q27 यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक परस्पर व्युत्क्रम हों, तो a और c में क्या संबंध होगा?

उत्तर: a = c (चूंकि α × 1/α = 1 = c/a ⇒ c = a).

Q28 यदि द्विघात बहुपद के शून्यक बराबर किंतु विपरीत चिन्ह के हों, तो b का मान क्या होगा?

उत्तर: b = 0 (α + (-α) = 0 = -b/a ⇒ b = 0).

Q29 बहुपद x³ - 4x के शून्यकों की संख्या कितनी होगी?

उत्तर: 3 (x(x - 2)(x + 2) = 0 ⇒ शून्यक: 0, 2, -2).

Q30 यदि बहुपद p(x) को g(x) से भाग देने पर शेषफल r(x) प्राप्त होता है, तो r(x) की घात g(x) की घात से कैसी होगी?

उत्तर: सदैव छोटी (कम) होगी।

Q31 बहुपद x² - 4x + 1 के शून्यकों का योगफल क्या होगा?

उत्तर: -(-4)/1 = 4.

Q32 बहुपद 4u² + 8u के शून्यक क्या होंगे?

उत्तर: 4u(u + 2) = 0 ⇒ 0 तथा -2.

Q33 बहुपद t² - 15 के शून्यक क्या हैं?

उत्तर: +√15 तथा -√15.

Q34 बहुपद 6x² - 7x - 3 के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

उत्तर: -3 / 6 = -1/2.

Q35 एक द्विघात बहुपद का आलेख x-अक्ष को केवल 1 बिंदु पर स्पर्श करता है, तो उसके कितने वास्तविक शून्यक होंगे?

उत्तर: दो बराबर वास्तविक शून्यक (संपाती शून्यक)।

Q36 यदि आलेख x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर न काटे, तो वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?

उत्तर: 0 (शून्य)।

Q37 विभाजन एल्गोरिद्म में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल का संबंध सूत्र क्या है?

उत्तर: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल [p(x) = g(x)q(x) + r(x)].

Q38 यदि बहुपद f(x) का एक गुणनखंड (x - a) हो, तो f(a) का मान क्या होगा?

उत्तर: 0 (गुणनखंड प्रमेय से)।

Q39 बहुपद x⁴ - 1 की घात कितनी है?

उत्तर: 4 (चार)।

Q40 द्विघात बहुपद ax² + bx + c में यदि a > 0 हो, तो परवलय का मुँह किस दिशा में खुलता है?

उत्तर: ऊपर की ओर (Upwards)।

Q41 यदि a < 0 हो, तो परवलय का मुँह किस दिशा में खुलता है?

उत्तर: नीचे की ओर (Downwards)।

Q42 बहुपद x² - 9 के शून्यकों का योगफल क्या होगा?

उत्तर: 0 (चूंकि x का पद नहीं है, b = 0).

Q43 बहुपद 3x³ - 5x² - 11x - 3 के शून्यकों का योग क्या होगा?

उत्तर: -(-5) / 3 = 5/3.

Q44 यदि बहुपद p(x) का एक शून्यक 2 हो, तो p(2) का मान क्या होगा?

उत्तर: 0.

Q45 क्या (x - 1) बहुपद x³ - 1 का एक गुणनखंड है?

उत्तर: हाँ, क्योंकि 1³ - 1 = 0.

Q46 द्विघात बहुपद के शून्यक α और β हों, तो α² + β² का मान सूत्र क्या है?

उत्तर: (α + β)² - 2αβ.

Q47 यदि किसी बहुपद के शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √5 हो, तो बहुपद क्या होगा?

उत्तर: x² - 0x + √5 = x² + √5.

Q48 बहुपद 2 - x² + x³ में x² का गुणांक क्या है?

उत्तर: -1.

Q49 क्या शून्य (0) एक बहुपद है?

उत्तर: हाँ, इसे शून्य बहुपद (Zero Polynomial) कहते हैं।

Q50 बहुपद 5x³ + 4x² + 7x में अधिकतम घात वाला पद कौन-सा है?

उत्तर: 5x³ (मुख्य पद)।

भाग 2: 25 लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर (2 अंक वाले)

लघु प्रश्न 1 द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:
x² + 7x + 10 = x² + 5x + 2x + 10 = x(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 5)(x + 2)
शून्यक के लिए: (x + 5)(x + 2) = 0 ⇒ x = -5, -2.
अतः शून्यक α = -2, β = -5 हैं।

संबंध की जाँच:
शून्यकों का योग (α + β) = -2 + (-5) = -7 = -b/a = -(7)/1 = -7 (सत्य)।
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = (-2) × (-5) = 10 = c/a = 10/1 = 10 (सत्य)।

लघु प्रश्न 2 एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः -3 और 2 हैं।

हल:
दिया है: α + β = -3 तथा αβ = 2.
द्विघात बहुपद का सूत्र: p(x) = k [ x² - (α + β)x + αβ ]
p(x) = k [ x² - (-3)x + 2 ]
k = 1 लेने पर: p(x) = x² + 3x + 2.

लघु प्रश्न 3 बहुपद 4s² - 4s + 1 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
4s² - 4s + 1 = (2s - 1)² = (2s - 1)(2s - 1)
2s - 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = 1/2.
अतः बहुपद के दोनों शून्यक 1/2, 1/2 हैं।

लघु प्रश्न 4 द्विघात बहुपद 6x² - 3 - 7x के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
मानक रूप में लिखने पर: 6x² - 7x - 3
6x² - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 1)
2x - 3 = 0 ⇒ x = 3/2  |  3x + 1 = 0 ⇒ x = -1/3.
अतः शून्यक 3/2 तथा -1/3 हैं।

लघु प्रश्न 5 एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग 1/4 और गुणनफल -1 है।

हल:
दिया है: α + β = 1/4, αβ = -1.
p(x) = k [ x² - (1/4)x + (-1) ] = k [ x² - x/4 - 1 ]
k = 4 लेने पर:
p(x) = 4x² - x - 4.

लघु प्रश्न 6 यदि α और β द्विघात बहुपद p(x) = x² - px + q के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
α + β = -(-p)/1 = p तथा αβ = q.
हम जानते हैं कि: α² + β² = (α + β)² - 2αβ
मान रखने पर: α² + β² = p² - 2q.

लघु प्रश्न 7 यदि बहुपद ax² - 6x - 6 के शून्यकों का गुणनफल 4 है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
शून्यकों का गुणनफल = c / a
4 = -6 / a ⇒ 4a = -6 ⇒ a = -6 / 4 = -3/2.

लघु प्रश्न 8 विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करके जांचिए कि क्या x + 2 बहुपद x³ + 3x² + 5x + 6 का एक गुणनखंड है?

हल:
गुणनखंड प्रमेय से: x + 2 = 0 ⇒ x = -2.
p(-2) = (-2)³ + 3(-2)² + 5(-2) + 6
= -8 + 3(4) - 10 + 6 = -8 + 12 - 10 + 6 = 0.
चूंकि शेषफल 0 है, अतः x + 2 बहुपद का एक गुणनखंड है।

लघु प्रश्न 9 यदि α और β बहुपद f(x) = 2x² - 5x + 7 के शून्यक हों, तो 1/α + 1/β का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
α + β = -(-5)/2 = 5/2 तथा αβ = 7/2.
1/α + 1/β = (α + β) / (αβ) = (5/2) / (7/2) = 5/7.

लघु प्रश्न 10 2x² + 3x + 1 को x + 2 से भाग दीजिए और भागफल तथा शेषफल लिखिए।

हल:
2x² + 3x + 1 को (x + 2) से भाग देने पर:
2x(x + 2) = 2x² + 4x ⇒ घटाने पर शेष -x + 1.
-1(x + 2) = -x - 2 ⇒ घटाने पर शेष 1 - (-2) = 3.
अतः भागफल = 2x - 1 तथा शेषफल = 3.

लघु प्रश्न 11 यदि बहुपद x² - x - (2k + 2) का एक शून्यक -4 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
x = -4 रखने पर p(-4) = 0 होना चाहिए:
(-4)² - (-4) - (2k + 2) = 0
16 + 4 - 2k - 2 = 0 ⇒ 18 - 2k = 0 ⇒ 2k = 18 ⇒ k = 9.

लघु प्रश्न 12 द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक √3 और -√3 हों।

हल:
α + β = √3 + (-√3) = 0.
αβ = (√3)(-√3) = -3.
बहुपद = x² - (α + β)x + αβ = x² - 0x - 3 = x² - 3.

लघु प्रश्न 13 यदि बहुपद x² - 3x + k के शून्यक α और β इस प्रकार हों कि α - β = 1, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
α + β = 3 तथा αβ = k.
हम जानते हैं: (α - β)² = (α + β)² - 4αβ
1² = 3² - 4k ⇒ 1 = 9 - 4k ⇒ 4k = 8 ⇒ k = 2.

लघु प्रश्न 14 बहुपद t² - 15 के शून्यक ज्ञात कीजिए और गुणांकों के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:
t² - 15 = (t - √15)(t + √15) = 0 ⇒ t = √15, -√15.
योग = √15 + (-√15) = 0 = -b/a = -0/1 = 0.
गुणनफल = (√15)(-√15) = -15 = c/a = -15/1 = -15. (सत्यापित)

लघु प्रश्न 15 यदि बहुपद x² + ax - b के शून्यक एक-दूसरे के ऋणात्मक (योज्य प्रतिलोम) हों, तो a का मान क्या होगा?

हल:
माना शून्यक α और -α हैं।
शून्यकों का योग = α + (-α) = 0.
सूत्र से योग = -a / 1 = -a.
अतः -a = 0 ⇒ a = 0.

लघु प्रश्न 16 बहुपद 3x² - x - 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
3x² - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x - 4)(x + 1)
शून्यक के लिए: 3x - 4 = 0 ⇒ x = 4/3  |  x + 1 = 0 ⇒ x = -1.
अतः शून्यक 4/3 तथा -1 हैं।

लघु प्रश्न 17 बहुपद p(x) = x³ - 3x² + x + 2 को g(x) से भाग देने पर भागफल x - 2 और शेषफल -2x + 4 है। g(x) का मान लिखने का सूत्र दर्शाइए।

हल:
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
⇒ g(x) × q(x) = p(x) - r(x)
⇒ g(x) = [ p(x) - r(x) ] / q(x).

लघु प्रश्न 18 यदि α, β द्विघात बहुपद x² - 4x + 3 के शून्यक हैं, तो α/β + β/α का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
α + β = 4, αβ = 3.
α/β + β/α = (α² + β²) / αβ = [ (α + β)² - 2αβ ] / αβ
= [ 4² - 2(3) ] / 3 = [ 16 - 6 ] / 3 = 10/3.

लघु प्रश्न 19 द्विघात बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यकों के चिन्ह कैसे होंगे? कारण दीजिए।

हल:
यहाँ a = 1, b = 99, c = 127 तीनों धनात्मक हैं।
शून्यकों का योग = -99 (ऋणात्मक) तथा गुणनफल = 127 (धनात्मक)।
गुणनफल धनात्मक और योग ऋणात्मक तभी संभव है जब दोनों शून्यक ऋणात्मक (-) हों।

लघु प्रश्न 20 त्रिघात बहुपद x³ - 6x² + 11x - 6 के शून्यकों का योग तथा गुणनफल ज्ञात कीजिए।

हल:
शून्यकों का योग = -b / a = -(-6) / 1 = 6.
शून्यकों का गुणनफल = -d / a = -(-6) / 1 = 6.

लघु प्रश्न 21 बहुपद 4x² - 4x - 8 का एक शून्यक 2 है, दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
शून्यकों का योग α + β = -(-4)/4 = 1.
दिया है α = 2, अतः 2 + β = 1 ⇒ β = 1 - 2 = -1.

लघु प्रश्न 22 क्या द्विघात बहुपद x² + 1 के कोई वास्तविक शून्यक हैं? स्पष्ट कीजिए।

हल:
x² + 1 = 0 ⇒ x² = -1.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः इस बहुपद के कोई वास्तविक शून्यक नहीं हैं।

लघु प्रश्न 23 यदि बहुपद 3x² + 11x - 4 के शून्यक m और n हों, तो m/n + n/m का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
m + n = -11/3, mn = -4/3.
m/n + n/m = (m² + n²) / mn = [ (m + n)² - 2mn ] / mn
= [ (-11/3)² - 2(-4/3) ] / (-4/3) = [ 121/9 + 8/3 ] / (-4/3)
= [ (121 + 24)/9 ] / (-4/3) = (145/9) × (-3/4) = -145/12.

लघु प्रश्न 24 बहुपद x² - 8x + k में शून्यकों के वर्गों का योग 40 है। k का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
α + β = 8, αβ = k.
दिया है: α² + β² = 40
(α + β)² - 2αβ = 40 ⇒ 8² - 2k = 40
64 - 2k = 40 ⇒ 2k = 24 ⇒ k = 12.

लघु प्रश्न 25 बहुपद x² + 2x - 35 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
x² + 7x - 5x - 35 = 0
x(x + 7) - 5(x + 7) = 0 ⇒ (x + 7)(x - 5) = 0
अतः शून्यक -7 तथा 5 हैं।

भाग 3: 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर (5 अंक वाले – बोर्ड मॉडल)

दीर्घ प्रश्न 1 3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक √(5/3) और -√(5/3) हैं।

हल:
चूंकि √(5/3) और -√(5/3) दो शून्यक हैं, अतः:
[ x - √(5/3) ][ x + √(5/3) ] = x² - 5/3 बहुपद का एक गुणनखंड होगा।
अथवा 3x² - 5 भी p(x) का एक गुणनखंड है।

अब 3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5 को (3x² - 5) से भाग देने पर:
= (3x⁴ - 5x²) घटाने पर शेष 6x³ + 3x² - 10x - 5
+ 2x से गुणा: (6x³ - 10x) घटाने पर शेष 3x² - 5
+ 1 से गुणा: (3x² - 5) घटाने पर शेष = 0.

भागफल प्राप्त हुआ = x² + 2x + 1.
अन्य शून्यकों के लिए भागफल को शून्य के बराबर रखने पर:
x² + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0 ⇒ x = -1, -1.
अतः दिए गए बहुपद के सभी शून्यक √(5/3), -√(5/3), -1 तथा -1 हैं।

दीर्घ प्रश्न 2 यदि x³ - 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x - 2 और -2x + 4 हैं, तो g(x) ज्ञात कीजिए।

हल:
विभाजन एल्गोरिद्म से: p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
यहाँ p(x) = x³ - 3x² + x + 2, q(x) = x - 2, r(x) = -2x + 4.

g(x) × (x - 2) = p(x) - r(x)
= (x³ - 3x² + x + 2) - (-2x + 4)
= x³ - 3x² + x + 2 + 2x - 4
= x³ - 3x² + 3x - 2.

अब g(x) = (x³ - 3x² + 3x - 2) / (x - 2).
भाग देने पर:
x³ - 3x² + 3x - 2 = x²(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2)
= (x - 2)(x² - x + 1).
अतः g(x) = x² - x + 1.

दीर्घ प्रश्न 3 यदि बहुपद x⁴ - 6x³ - 26x² + 138x - 35 के दो शून्यक 2 ± √3 हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
दिए गए शून्यक 2 + √3 और 2 - √3 हैं।
[ x - (2 + √3) ][ x - (2 - √3) ] = [ (x - 2) - √3 ][ (x - 2) + √3 ]
= (x - 2)² - (√3)² = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1.
अतः (x² - 4x + 1) बहुपद का एक गुणनखंड है।

अब p(x) को (x² - 4x + 1) से भाग देने पर भागफल प्राप्त होता है:
भागफल q(x) = x² - 2x - 35.

अन्य शून्यकों के लिए: x² - 2x - 35 = 0
x² - 7x + 5x - 35 = 0
x(x - 7) + 5(x - 7) = 0 ⇒ (x - 7)(x + 5) = 0
x = 7 अथवा x = -5.
अतः अन्य दो अभीष्ट शून्यक 7 तथा -5 हैं।

दीर्घ प्रश्न 4 यदि बहुपद x⁴ + 2x³ - 17x² - 18x + 72 के दो शून्यक 3 और -4 हों, तो इसके अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
चूंकि 3 और -4 शून्यक हैं, अतः (x - 3) और (x + 4) गुणनखंड हैं।
गुणनखंड = (x - 3)(x + 4) = x² + x - 12.

दिए गए बहुपद को (x² + x - 12) से भाग देने पर:
भागफल = x² + x - 6 प्राप्त होता है।

शून्यक हेतु: x² + x - 6 = 0
x² + 3x - 2x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0 ⇒ x = -3, 2.
अतः अन्य दो शून्यक 2 तथा -3 हैं।

दीर्घ प्रश्न 5 बहुपद f(x) = x³ - 5x² - 16x + 80 के दो शून्यक संख्यात्मक रूप से बराबर किंतु विपरीत चिन्ह के हैं। इसके सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
माना शून्यक α, -α और γ हैं।
शून्यकों का योग: α + (-α) + γ = -(-5)/1
0 + γ = 5 ⇒ γ = 5.

शून्यकों का गुणनफल: α × (-α) × γ = -80/1
-α²(5) = -80 ⇒ 5α² = 80 ⇒ α² = 16
α = ± 4.
अतः बहुपद के तीनों शून्यक 4, -4 तथा 5 हैं।

दीर्घ प्रश्न 6 यदि बहुपद x⁴ - 6x³ + 16x² - 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² - 2x + k से भाग दिया जाए और शेषफल x + a आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।

हल:
(x² - 2x + k) से (x⁴ - 6x³ + 16x² - 25x + 10) को भाग देने पर:
प्रथम पद x²: घटाने पर शेष = -4x³ + (16 - k)x² - 25x + 10.
द्वितीय पद -4x: घटाने पर शेष = (8 - k)x² - (25 - 4k)x + 10.
तृतीय पद (8 - k): घटाने पर अंतिम शेषफल प्राप्त होता है:
= [ -(25 - 4k) + 2(8 - k) ]x + [ 10 - k(8 - k) ]
= (2k - 9)x + (k² - 8k + 10).

परंतु दिया गया शेषफल = x + a = 1x + a.
गुणांकों की तुलना करने पर:
2k - 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5.
तथा a = k² - 8k + 10 = 5² - 8(5) + 10 = 25 - 40 + 10 = -5.
अतः k = 5 तथा a = -5.

दीर्घ प्रश्न 7 यदि α और β द्विघात बहुपद f(x) = x² - 2x + 3 के शून्यक हैं, तो वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक (i) α + 2, β + 2 हों।

हल:
दिए गए बहुपद से: α + β = 2 तथा αβ = 3.

नए बहुपद के शून्यकों का योग S = (α + 2) + (β + 2) = (α + β) + 4 = 2 + 4 = 6.
नए शून्यकों का गुणनफल P = (α + 2)(β + 2) = αβ + 2(α + β) + 4 = 3 + 2(2) + 4 = 3 + 4 + 4 = 11.

अतः नया द्विघात बहुपद: x² - Sx + P = x² - 6x + 11.

दीर्घ प्रश्न 8 यदि α और β बहुपद x² - x - 2 के शून्यक हैं, तो एक ऐसा बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 2α + 1 तथा 2β + 1 हों।

हल:
α + β = 1 तथा αβ = -2.

नए शून्यकों का योग:
S = (2α + 1) + (2β + 1) = 2(α + β) + 2 = 2(1) + 2 = 4.

नए शून्यकों का गुणनफल:
P = (2α + 1)(2β + 1) = 4αβ + 2(α + β) + 1
= 4(-2) + 2(1) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5.

अतः अभीष्ट बहुपद = x² - Sx + P = x² - 4x - 5.

दीर्घ प्रश्न 9 जांच कीजिए कि त्रिघात बहुपद p(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 के शून्यक 1/2, 1 और -2 हैं। फिर शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित कीजिए।

हल:
p(1/2) = 2(1/8) + 1/4 - 5/2 + 2 = 1/4 + 1/4 - 5/2 + 2 = 2/4 - 5/2 + 2 = 1/2 - 5/2 + 2 = -2 + 2 = 0.
p(1) = 2(1) + 1 - 5 + 2 = 5 - 5 = 0.
p(-2) = 2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0.
अतः 1/2, 1, -2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।

सत्यापन:
α + β + γ = 1/2 + 1 - 2 = -1/2 = -b/a = -1/2 (सत्य)।
αβ + βγ + γα = 1/2(1) + 1(-2) + (-2)(1/2) = 1/2 - 2 - 1 = -5/2 = c/a = -5/2 (सत्य)।
αβγ = (1/2)(1)(-2) = -1 = -d/a = -2/2 = -1 (सत्य)।

दीर्घ प्रश्न 10 यदि α, β, γ बहुपद x³ - px² + qx - r के शून्यक हैं, तो 1/(αβ) + 1/(βγ) + 1/(γα) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
हम जानते हैं: α + β + γ = p, αβ + βγ + γα = q, αβγ = r.

व्यंजक = 1/(αβ) + 1/(βγ) + 1/(γα)
ल.स.प. (LCM) αβγ लेने पर:
= (γ + α + β) / (αβγ) = (α + β + γ) / (αβγ)
= p / r.

दीर्घ प्रश्न 11 बहुपद x⁴ - 3x² + 4x + 5 को x² - x + 1 से भाग दीजिए तथा विभाजन एल्गोरिद्म की सत्यता की जाँच कीजिए।

हल:
भाज्य p(x) = x⁴ + 0x³ - 3x² + 4x + 5.
भाजक g(x) = x² - x + 1.

भाग देने पर:
भागफल q(x) = x² + x - 3
शेषफल r(x) = 8.

सत्यापन:
g(x) × q(x) + r(x) = (x² - x + 1)(x² + x - 3) + 8
= x²(x² + x - 3) - x(x² + x - 3) + 1(x² + x - 3) + 8
= x⁴ + x³ - 3x² - x³ - x² + 3x + x² + x - 3 + 8
= x⁴ - 3x² + 4x + 5 = p(x). (सत्यापित)

दीर्घ प्रश्न 12 यदि बहुपद 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 के दो शून्यक √2 और -√2 हों, तो इसके सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:
शून्यक √2 और -√2 से प्राप्त गुणनखंड = (x - √2)(x + √2) = x² - 2.

p(x) को (x² - 2) से भाग देने पर:
भागफल = 2x² - 3x + 1 प्राप्त होता है।

अन्य शून्यकों के लिए: 2x² - 3x + 1 = 0
2x² - 2x - x + 1 = 0 ⇒ 2x(x - 1) - 1(x - 1) = 0
(2x - 1)(x - 1) = 0 ⇒ x = 1/2, 1.
अतः सभी शून्यक √2, -√2, 1 तथा 1/2 हैं।

दीर्घ प्रश्न 13 यदि द्विघात बहुपद f(x) = x² - px + q के शून्यक α और β हैं, तो सिद्ध कीजिए कि α³ + β³ = p(p² - 3q).

हल:
α + β = p तथा αβ = q.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका:
α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β)
मान रखने पर:
= p³ - 3(q)(p)
= p³ - 3pq
= p(p² - 3q). (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 14 एक त्रिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 2, दो-दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग -7 तथा तीनों शून्यकों का गुणनफल -14 हो।

हल:
दिया है:
α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = -7
αβγ = -14.

त्रिघात बहुपद का सूत्र:
p(x) = k [ x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ ]
मान रखने पर:
p(x) = k [ x³ - 2x² + (-7)x - (-14) ]
k = 1 लेने पर:
p(x) = x³ - 2x² - 7x + 14.

दीर्घ प्रश्न 15 यदि α और β बहुपद 2x² + 5x + k के शून्यक हैं तथा संबंध α² + β² + αβ = 21/4 को संतुष्ट करते हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ a = 2, b = 5, c = k.
α + β = -5/2 तथा αβ = k/2.

दी गई शर्त:
α² + β² + αβ = 21/4
[ (α + β)² - 2αβ ] + αβ = 21/4
(α + β)² - αβ = 21/4

मान प्रतिस्थापित करने पर:
(-5/2)² - k/2 = 21/4
25/4 - k/2 = 21/4
25/4 - 21/4 = k/2
4/4 = k/2 ⇒ 1 = k/2 ⇒ k = 2.

मैट्रिक परीक्षा उपयोगी महत्त्वपूर्ण टिप्स (BSEB Exam Tips)

• शून्यकों के चिन्हों का नियम: यदि ax² + bx + c में सभी पद धनात्मक हैं, तो दोनों शून्यक ऋणात्मक होंगे। यदि अचर पद c ऋणात्मक है, तो एक शून्यक धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक होगा।
• बहुपद की पहचान: वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में अक्सर पूछा जाता है कि "कौन बहुपद नहीं है?"। ध्यान रखें कि यदि चर राशि करणी (√x) में हो, हर (1/x) में हो, या उसकी घात ऋणात्मक/भिन्न हो, तो वह बहुपद नहीं होता।
• भाग प्रक्रिया में सावधानी: बहुपद का भाग देते समय पदों को घातों के घटते क्रम (मानक रूप) में व्यवस्थित अवश्य कर लें। यदि कोई घात वाला पद अनुपस्थित हो, तो उसे 0 गुणांक के साथ लिखें (जैसे x⁴ + 0x³ - 3x²)।
• दो दिए गए शून्यकों से अन्य शून्यक निकालना: यह प्रश्न 5 अंक के दीर्घ उत्तरीय खंड में निश्चित रूप से पूछा जाता है। दोनों शून्यकों से गुणनखंड बनाकर भाग दें और भागफल के गुणनखंड करके शेष शून्यक प्राप्त करें।

निष्कर्ष (Conclusion)

बिहार बोर्ड मैट्रिक गणित परीक्षा में 'अध्याय 2 – बहुपद' अत्यंत सरल और अंकदायी अध्याय है। इसमें मुख्य रूप से द्विघात बहुपद के शून्यक निकालना, शून्यक एवं गुणांकों के संबंध की जाँच करना तथा विभाजन एल्गोरिद्म पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं। ऊपर दिए गए सभी 50 वस्तुनिष्ठ, 25 लघु और 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों का लिखित अभ्यास कर लेने से बोर्ड परीक्षा में आपका एक भी अंक नहीं कटेगा। इस अध्ययन सामग्री को अपने सहपाठियों के साथ शेयर करें और अपनी बोर्ड परीक्षा में उत्कृष्ट सफलता प्राप्त करें।