अध्याय 2 – बहुपद | BSEB 10 Mathematics Solution

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 2 — बहुपद (Polynomials)

NCERT प्रश्नावली 2.1, 2.2 एवं 2.3 के सभी प्रश्नों का शत-प्रतिशत सम्पूर्ण, सटीक एवं चरणबद्ध हल (Pure HTML Solutions)

प्रश्नावली 2.1 (ग्राफ द्वारा शून्यकों की संख्या) प्रश्नावली 2.2 (शून्यक व गुणांक संबंध, द्विघात बहुपद निर्माण) प्रश्नावली 2.3 (विभाजन एल्गोरिद्म एवं शेष शून्यक ज्ञात करना)

🎯 अध्याय परिचय एवं महत्वपूर्ण सूत्र सारणी (Formula Sheet)

1. बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial):
वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का एक शून्यक होती है यदि p(k) = 0 हो।
ग्राफीय रूप में, y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद या स्पर्श करता है, शून्यकों की संख्या उतनी ही होती है।

2. द्विघात बहुपद (ax² + bx + c, a ≠ 0):
यदि α और β इसके शून्यक हों, तो:
• शून्यकों का योग: α + β = -ba = -x का गुणांकx² का गुणांक
• शून्यकों का गुणनफल: α · β = ca = अचर पदx² का गुणांक
द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र: p(x) = k[x² - (α + β)x + αβ]

3. त्रिघात बहुपद (ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0):
यदि शून्यक α, β, γ हों, तो:
• α + β + γ = -b/a
• αβ + βγ + γα = c/a
• αβγ = -d/a

4. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिद्म:
यदि p(x) और g(x) दो बहुपद हैं जहाँ g(x) ≠ 0 हो, तो भागफल q(x) और शेषफल r(x) ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि:
p(x) = g(x) · q(x) + r(x)
जहाँ या तो r(x) = 0 अथवा घात r(x) < घात g(x)।

प्रश्नावली 2.1 — ग्राफ द्वारा शून्यकों की संख्या ज्ञात करना (प्रश्न 1)

प्रश्न 1:

किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल एवं कारण: (नियम: ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर काटता है, p(x) के उतने ही शून्यक होते हैं)

(i) ग्राफ (i): ग्राफ x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है (यह x-अक्ष के समांतर एक सरल रेखा है)।
अतः शून्यकों की संख्या = 0।

(ii) ग्राफ (ii): ग्राफ x-अक्ष को केवल 1 बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः शून्यकों की संख्या = 1।

(iii) ग्राफ (iii): ग्राफ x-अक्ष को 3 भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः शून्यकों की संख्या = 3।

(iv) ग्राफ (iv): ग्राफ (परवलय) x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः शून्यकों की संख्या = 2।

(v) ग्राफ (v): ग्राफ x-अक्ष को 4 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः शून्यकों की संख्या = 4।

(vi) ग्राफ (vi): ग्राफ x-अक्ष को 1 बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है तथा 2 बिंदुओं पर केवल स्पर्श करता है (कुल 3 बिंदु)।
अतः शून्यकों की संख्या = 3।

उत्तर: (i) 0  |  (ii) 1  |  (iii) 3  |  (iv) 2  |  (v) 4  |  (vi) 3

प्रश्नावली 2.2 — शून्यक ज्ञात करना, सत्यता की जाँच एवं द्विघात बहुपद निर्माण

प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए :

(i) x² - 2x - 8      (ii) 4s² - 4s + 1      (iii) 6x² - 3 - 7x
(iv) 4u² + 8u      (v) t² - 15      (vi) 3x² - x - 4

हल एवं सत्यापन:

(i) p(x) = x² - 2x - 8:
x² - 4x + 2x - 8 = x(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x + 2)
शून्यक के लिए: x - 4 = 0 ⇒ α = 4 तथा x + 2 = 0 ⇒ β = -2।
यहाँ a = 1, b = -2, c = -8।
• शून्यकों का योग = α + β = 4 + (-2) = 2 = --21 = -ba (सत्यापित)
• शून्यकों का गुणनफल = αβ = 4 × (-2) = -8 = -81 = ca (सत्यापित)।

(ii) p(s) = 4s² - 4s + 1:
4s² - 2s - 2s + 1 = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) = (2s - 1)(2s - 1)
शून्यक: α = 12, β = 12।
यहाँ a = 4, b = -4, c = 1।
• α + β = 12 + 12 = 1 = --44 = -ba (सत्यापित)
• αβ = 12 × 12 = 14 = ca (सत्यापित)।

(iii) p(x) = 6x² - 7x - 3: (मानक रूप में व्यवस्थित करने पर)
6x² - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 1)
शून्यक: 2x - 3 = 0 ⇒ α = 32 तथा 3x + 1 = 0 ⇒ β = -13।
यहाँ a = 6, b = -7, c = -3।
• α + β = 32 + (-13) = 9 - 26 = 76 = --76 = -ba (सत्यापित)
• αβ = 32 × (-13) = -36 = -12 = ca (सत्यापित)।

(iv) p(u) = 4u² + 8u:
4u(u + 2) = 0 ⇒ α = 0 तथा β = -2।
यहाँ a = 4, b = 8, c = 0।
• α + β = 0 + (-2) = -2 = -84 = -ba (सत्यापित)
• αβ = 0 × (-2) = 0 = 04 = ca (सत्यापित)।

(v) p(t) = t² - 15:
t² - (√15)² = (t - √15)(t + √15) = 0
शून्यक: α = √15 तथा β = -√15।
यहाँ a = 1, b = 0, c = -15।
• α + β = √15 + (-√15) = 0 = -01 = -ba (सत्यापित)
• αβ = (√15)(-√15) = -15 = -151 = ca (सत्यापित)।

(vi) p(x) = 3x² - x - 4:
3x² - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x - 4)(x + 1)
शून्यक: α = 43 तथा β = -1।
यहाँ a = 3, b = -1, c = -4।
• α + β = 43 - 1 = 13 = --13 = -ba (सत्यापित)
• αβ = 43 × (-1) = -43 = ca (सत्यापित)।

उत्तर: सभी 6 बहुपदों के शून्यक ज्ञात किए गए एवं सम्बंध पूर्णतः सत्यापित हुए।

प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :

(i) 14, -1      (ii) √2, 13      (iii) 0, √5
(iv) 1, 1      (v) -14, 14      (vi) 4, 1

हल: [सूत्र: p(x) = k{x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)}]

(i) योग S = 1/4, गुणनफल P = -1:
p(x) = k[x² - 14x + (-1)] = k[4x² - x - 44]
k = 4 लेने पर: अभीष्ट बहुपद = 4x² - x - 4।

(ii) योग S = √2, गुणनफल P = 1/3:
p(x) = k[x² - √2 x + 13] = k[3x² - 3√2 x + 13]
k = 3 लेने पर: अभीष्ट बहुपद = 3x² - 3√2 x + 1।

(iii) योग S = 0, गुणनफल P = √5:
p(x) = x² - (0)x + √5 = x² + √5।

(iv) योग S = 1, गुणनफल P = 1:
p(x) = x² - (1)x + 1 = x² - x + 1।

(v) योग S = -1/4, गुणनफल P = 1/4:
p(x) = k[x² - (-14)x + 14] = k[4x² + x + 14]
k = 4 लेने पर: अभीष्ट बहुपद = 4x² + x + 1।

(vi) योग S = 4, गुणनफल P = 1:
p(x) = x² - 4x + 1 = x² - 4x + 1।

उत्तर: (i) 4x² - x - 4  |  (ii) 3x² - 3√2x + 1  |  (iii) x² + √5  |  (iv) x² - x + 1  |  (v) 4x² + x + 1  |  (vi) x² - 4x + 1

प्रश्नावली 2.3 — विभाजन एल्गोरिद्म एवं उच्च घातीय बहुपद (प्रश्न 1 से 5)

प्रश्न 1: विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :

(i) p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3, g(x) = x² - 2
(ii) p(x) = x⁴ - 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 - x
(iii) p(x) = x⁴ - 5x + 6, g(x) = 2 - x²

हल:

(i) p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3 तथा g(x) = x² - 2:
• प्रथम पद x³ ÷ x² = x से गुणा करने पर: x(x² - 2) = x³ - 2x
घटाने पर शेष: -3x² + 7x - 3
• द्वितीय पद -3x² ÷ x² = -3 से गुणा करने पर: -3(x² - 2) = -3x² + 6
घटाने पर शेषफल: 7x - 9
अतः भागफल q(x) = x - 3 तथा शेषफल r(x) = 7x - 9।

(ii) p(x) = x⁴ - 3x² + 4x + 5 तथा g(x) = x² - x + 1:
मानक रूप: p(x) = x⁴ + 0x³ - 3x² + 4x + 5
• x⁴ ÷ x² = x² ⇒ x²(x² - x + 1) = x⁴ - x³ + x² ⇒ घटाने पर: x³ - 4x² + 4x + 5
• x³ ÷ x² = x ⇒ x(x² - x + 1) = x³ - x² + x ⇒ घटाने पर: -3x² + 3x + 5
• -3x² ÷ x² = -3 ⇒ -3(x² - x + 1) = -3x² + 3x - 3 ⇒ घटाने पर: 8
अतः भागफल q(x) = x² + x - 3 तथा शेषफल r(x) = 8।

(iii) p(x) = x⁴ - 5x + 6 तथा g(x) = -x² + 2:
• x⁴ ÷ (-x²) = -x² ⇒ -x²(-x² + 2) = x⁴ - 2x² ⇒ घटाने पर: 2x² - 5x + 6
• 2x² ÷ (-x²) = -2 ⇒ -2(-x² + 2) = 2x² - 4 ⇒ घटाने पर: -5x + 10
अतः भागफल q(x) = -x² - 2 तथा शेषफल r(x) = -5x + 10।

उत्तर: (i) q(x)=x-3, r(x)=7x-9  |  (ii) q(x)=x²+x-3, r(x)=8  |  (iii) q(x)=-x²-2, r(x)=-5x+10

प्रश्न 2: पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है :

(i) t² - 3 , 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t - 12
(ii) x² + 3x + 1 , 3x⁴ + 5x³ - 7x² + 2x + 2
(iii) x³ - 3x + 1 , x⁵ - 4x³ + x² + 3x + 1

हल एवं जाँच: (नियम: यदि शेषफल = 0 आए, तो गुणनखंड है)

(i) (t² - 3) से 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t - 12 को भाग देने पर:
• 2t² से गुणा: 2t⁴ - 6t² ⇒ शेष: 3t³ + 4t² - 9t - 12
• 3t से गुणा: 3t³ - 9t ⇒ शेष: 4t² - 12
• 4 से गुणा: 4t² - 12 ⇒ शेषफल = 0।
चूँकि शेषफल शून्य है, अतः प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।

(ii) (x² + 3x + 1) से 3x⁴ + 5x³ - 7x² + 2x + 2 को भाग देने पर:
• 3x² से गुणा: 3x⁴ + 9x³ + 3x² ⇒ शेष: -4x³ - 10x² + 2x + 2
• -4x से गुणा: -4x³ - 12x² - 4x ⇒ शेष: 2x² + 6x + 2
• 2 से गुणा: 2x² + 6x + 2 ⇒ शेषफल = 0।
चूँकि शेषफल शून्य है, अतः प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है।

(iii) (x³ - 3x + 1) से x⁵ - 4x³ + x² + 3x + 1 को भाग देने पर:
• x² से गुणा: x⁵ - 3x³ + x² ⇒ शेष: -x³ + 3x + 1
• -1 से गुणा: -x³ + 3x - 1 ⇒ घटाने पर: 1 - (-1) = 2 ≠ 0 (शेषफल = 2)।
चूँकि शेषफल शून्य नहीं है, अतः प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

उत्तर: (i) हाँ, गुणनखंड है  |  (ii) हाँ, गुणनखंड है  |  (iii) नहीं, गुणनखंड नहीं है

प्रश्न 3 (अति महत्वपूर्ण 5 अंकीय प्रश्न):

3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक √53 और -√53 हैं।

हल:

दिया है कि x = √53 और x = -√53 बहुपद के दो शून्यक हैं।
अतः (x - √53) और (x + √53) बहुपद p(x) के गुणनखंड होंगे।
इनका गुणनफल g(x) = (x - √53)(x + √53) = x² - 53 = 3x² - 53
अतः (3x² - 5) भी p(x) का एक गुणनखंड होगा।

p(x) को (3x² - 5) से भाग देने पर:
• प्रथम पद: 3x⁴ ÷ 3x² = x² ⇒ x²(3x⁴ - 5) = 3x⁴ - 5x²
घटाने पर शेष: 6x³ + 3x² - 10x - 5
• द्वितीय पद: 6x³ ÷ 3x² = 2x ⇒ 2x(3x² - 5) = 6x³ - 10x
घटाने पर शेष: 3x² - 5
• तृतीय पद: 3x² ÷ 3x² = 1 ⇒ 1(3x² - 5) = 3x² - 5 ⇒ शेषफल = 0।
भागफल q(x) = x² + 2x + 1 प्राप्त होता है।

अन्य शून्यकों के लिए q(x) = 0 रखने पर:
x² + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1)² = 0 ⇒ (x + 1)(x + 1) = 0
x + 1 = 0 ⇒ x = -1 तथा x + 1 = 0 ⇒ x = -1।

उत्तर: बहुपद के अन्य दो शून्यक -1 और -1 हैं। (सभी शून्यक: √5/3, -√5/3, -1, -1)

प्रश्न 4:

यदि x³ - 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x - 2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।

हल:

विभाजन एल्गोरिद्म के अनुसार:
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
यहाँ p(x) = x³ - 3x² + x + 2, q(x) = x - 2, r(x) = -2x + 4।

मान रखने पर:
x³ - 3x² + x + 2 = g(x)(x - 2) + (-2x + 4)
g(x)(x - 2) = (x³ - 3x² + x + 2) - (-2x + 4)
g(x)(x - 2) = x³ - 3x² + x + 2 + 2x - 4
g(x)(x - 2) = x³ - 3x² + 3x - 2
g(x) = x³ - 3x² + 3x - 2x - 2

(x - 2) से भाग देने पर:
• x³ ÷ x = x² ⇒ x²(x - 2) = x³ - 2x² ⇒ घटाने पर: -x² + 3x - 2
• -x² ÷ x = -x ⇒ -x(x - 2) = -x² + 2x ⇒ घटाने पर: x - 2
• x ÷ x = 1 ⇒ 1(x - 2) = x - 2 ⇒ शेषफल = 0।
अतः g(x) = x² - x + 1।

उत्तर: g(x) = x² - x + 1

प्रश्न 5:

बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिद्म को संतुष्ट करते हों तथा :
(i) घात p(x) = घात q(x)      (ii) घात q(x) = घात r(x)      (iii) घात r(x) = 0

हल एवं उपयुक्त उदाहरण:

(i) घात p(x) = घात q(x):
यह तभी संभव है जब भाजक g(x) एक अचर (शून्य घात का बहुपद) हो।
माना p(x) = 2x² - 2x + 14 तथा g(x) = 2।
भाग देने पर: q(x) = x² - x + 7 तथा r(x) = 0।
यहाँ घात p(x) = घात q(x) = 2 है। (विभाजन एल्गोरिद्म संतुष्ट है)।

(ii) घात q(x) = घात r(x):
माना p(x) = x³ + x² + x + 1 तथा g(x) = x² - 1।
भाग देने पर: q(x) = x + 1 तथा r(x) = 2x + 2।
यहाँ घात q(x) = 1 तथा घात r(x) = 1 (दोनों समान हैं)।

(iii) घात r(x) = 0: (अर्थात् शेषफल एक अचर पद हो)
माना p(x) = x³ + 2x² - x + 2 तथा g(x) = x² - 1।
भाग देने पर: q(x) = x + 2 तथा r(x) = 4।
चूँकि 4 एक अचर पद है (4 = 4x⁰), अतः घात r(x) = 0 है।

उत्तर: तीनों स्थितियों के सटीक उदाहरण प्रस्तुत किए गए।

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• 5 अंक का अनिवार्य प्रश्न: प्रश्नावली 2.3 का प्रश्न 3 (दो करणी शून्यक दिए होने पर शेष शून्यक ज्ञात करना) बिहार बोर्ड के दीर्घ उत्तरीय खंड में बार-बार पूछा जाता है। इसे 2 से 3 बार लिखकर अभ्यास करें।
• 2 अंक वाले महत्वपूर्ण प्रश्न: प्रश्नावली 2.2 का प्रश्न 1 (शून्यक निकालकर संबंध सत्यापित करना) तथा प्रश्न 2 (योग व गुणनफल से द्विघात बहुपद बनाना) हर साल 2 अंक के लघु उत्तरीय प्रश्नों में आते हैं।
• वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ 1 अंक): ग्राफ देखकर शून्यकों की संख्या बताना (प्रश्नावली 2.1), α + β = -b/a तथा αβ = c/a पर कम-से-कम 4 से 5 वस्तुनिष्ठ प्रश्न बोर्ड परीक्षा में निश्चित पूछे जाते हैं।

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