अध्याय 2 – बहुपद | BSEB 10 Mathematics Objective

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 2 – बहुपद (Polynomials)
100 महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) उत्तर एवं विस्तृत हल सहित

अध्याय परिचय (Chapter Introduction)

बहुपद (Polynomials) बीजगणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण आधार स्तंभ है। बिहार विद्यालय परीक्षा समिति (BSEB) मैट्रिक वार्षिक परीक्षा में इस अध्याय से प्रतिवर्ष 6 से 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs) पूछे जाते हैं। इस अध्याय में मुख्य रूप से बहुपद की पहचान, बहुपद की घात, रैखिक, द्विघात एवं त्रिघात बहुपद के शून्यक, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध, द्विघात बहुपद का निर्माण, तथा बहुपदों के आलेखीय निरूपण (परवलय) से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।

महत्वपूर्ण सूत्र एवं मुख्य संकल्पनाएँ (Key Formulas & Concepts)

बहुपद का प्रकार	मानक रूप (Standard Form)	घात (Degree) / अधिकतम शून्यक	शून्यकों एवं गुणांकों का संबंध
रैखिक बहुपद (Linear)	ax + b (a ≠ 0)	1	शून्यक = -b/a
द्विघात बहुपद (Quadratic)	ax2 + bx + c (a ≠ 0)	2	α + β = -b/a αβ = c/a
त्रिघात बहुपद (Cubic)	ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)	3	α + β + γ = -b/a αβ + βγ + γα = c/a αβγ = -d/a
द्विघात बहुपद का निर्माण	k[x2 - (α + β)x + αβ], जहाँ k एक शून्येतर वास्तविक संख्या है।
विभाजन एल्गोरिथम	p(x) = g(x) × q(x) + r(x), जहाँ r(x) = 0 या deg(r(x)) < deg(g(x))

परीक्षा सुपर-ट्रिक्स (Exam Short Tricks):

• बहुपद की पहचान: यदि चर x वर्गमूल (√x) में हो, हर (denominator) में हो (जैसे 1/x), या उसकी घात ऋणात्मक/भिन्न हो, तो वह बहुपद नहीं होता।
• सीधा सूत्र: 1/α + 1/β = -b/c (परीक्षा में यह सबसे अधिक बार पूछा जाने वाला प्रश्न है)।
• आलेखीय नियम: किसी बहुपद का आलेख x-अक्ष को जितनी बार काटता है या स्पर्श करता है, उसके शून्यकों की संख्या ठीक उतनी ही होती है। द्विघात बहुपद का आलेख परवलय (Parabola) होता है।

100 वस्तुनिष्ठ प्रश्न, उत्तर एवं विस्तृत व्याख्या (100 Objective MCQs)

1. निम्नलिखित में से कौन एक बहुपद नहीं है?

(A) -7

(B) y² + √2

(C) 3√x + 2x + 7

(D) 4x² - 3x + 7

उत्तर: (C) 3√x + 2x + 7

व्याख्या: विकल्प (C) में चर x की घात 1/2 (भिन्न) है, जो एक पूर्ण संख्या नहीं है। अतः यह बहुपद नहीं है।

2. घात 1 वाले बहुपद को क्या कहा जाता है?

(A) द्विघात बहुपद

(B) त्रिघात बहुपद

(C) रैखिक बहुपद

(D) शून्य बहुपद

उत्तर: (C) रैखिक बहुपद

व्याख्या: जिस बहुपद की अधिकतम घात 1 होती है, उसे रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) कहते हैं। जैसे: 2x + 3।

3. एक द्विघात बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या कितनी होती है?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) अनन्त

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: किसी बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या उसकी घात के बराबर होती है। द्विघात बहुपद की घात 2 होती है, अतः इसके अधिकतम 2 शून्यक होते हैं।

4. त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d का सबसे व्यापक रूप होने के लिए अनिवार्य शर्त क्या है?

(A) a = 0

(B) b ≠ 0

(C) a ≠ 0

(D) d ≠ 0

उत्तर: (C) a ≠ 0

व्याख्या: यदि a = 0 हो जाए, तो x³ वाला पद समाप्त हो जाएगा और यह द्विघात बहुपद बन जाएगा। अतः a ≠ 0 होना आवश्यक है।

5. यदि p(x) = x² - 3x - 4 हो, तो p(x) का एक शून्यक क्या होगा?

(A) 2

(B) 4

(C) 0

(D) 3

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: x = 4 रखने पर: p(4) = 4² - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0। अतः 4 इसका एक शून्यक है।

6. यदि द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान क्या होगा?

(A) b/a

(B) -b/a

(C) c/a

(D) -c/a

उत्तर: (B) -b/a

व्याख्या: शून्यकों का योगफल α + β = -(x का गुणांक) / (x² का गुणांक) = -b/a होता है।

7. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान क्या होगा?

(A) c/a

(B) -c/a

(C) b/a

(D) a/c

उत्तर: (A) c/a

व्याख्या: शून्यकों का गुणनफल αβ = अचर पद / (x² का गुणांक) = c/a होता है।

8. द्विघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक क्या होंगे?

(A) (2, -4)

(B) (4, -2)

(C) (-4, -2)

(D) (4, 2)

उत्तर: (B) (4, -2)

व्याख्या: x² - 4x + 2x - 8 = 0 ⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0 ⇒ (x - 4)(x + 2) = 0 ⇒ x = 4, -2।

9. द्विघात बहुपद x² - 3 के शून्यक क्या हैं?

(A) (3, 3)

(B) (√3, -√3)

(C) (3, -3)

(D) (√3, 3)

उत्तर: (B) (√3, -√3)

व्याख्या: x² - 3 = 0 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3। अतः शून्यक √3 और -√3 हैं।

10. यदि α और β बहुपद f(x) = x² - 5x + 7 के शून्यक हों, तो 1/α + 1/β का मान क्या होगा?

(A) -5/7

(B) 5/7

(C) 7/5

(D) -7/5

उत्तर: (B) 5/7

व्याख्या: 1/α + 1/β = (α + β) / αβ = (-b/a) / (c/a) = -b/c = -(-5)/7 = 5/7।

11. द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 के शून्यक होंगे:

(A) दोनों धनात्मक

(B) दोनों ऋणात्मक

(C) एक धनात्मक, एक ऋणात्मक

(D) शून्य

उत्तर: (B) दोनों ऋणात्मक

व्याख्या: x² + 2x + x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 ⇒ x = -1, -2। दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं।

12. एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यकों का योग 2 तथा गुणनफल -15 है, वह क्या होगा?

(A) x² - 2x - 15

(B) x² + 2x - 15

(C) x² - 2x + 15

(D) x² + 2x + 15

उत्तर: (A) x² - 2x - 15

व्याख्या: सूत्र: x² - (α + β)x + αβ = x² - (2)x + (-15) = x² - 2x - 15।

13. बहुपद y³ - 2y² - √3y + 1/2 की घात (Degree) क्या है?

(A) 1/2

(B) 2

(C) 3

(D) 3/2

उत्तर: (C) 3

व्याख्या: किसी बहुपद में चर की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं। यहाँ y की उच्चतम घात 3 है।

14. रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक क्या होता है?

(A) b/a

(B) -b/a

(C) a/b

(D) -a/b

उत्तर: (B) -b/a

व्याख्या: ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x = -b/a।

15. यदि p(x) = q(x) × g(x) और p(x) की घात 6 तथा g(x) की घात 2 हो, तो p(x)/g(x) की घात क्या होगी?

(A) 3

(B) 4

(C) 2

(D) 8

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: भागफल की घात = deg(p(x)) - deg(g(x)) = 6 - 2 = 4।

16. द्विघात बहुपद का आलेख (Graph) किस प्रकार का होता है?

(A) सरल रेखा

(B) वृत्त

(C) परवलय (Parabola)

(D) दीर्घवृत्त

उत्तर: (C) परवलय (Parabola)

व्याख्या: द्विघात बहुपद y = ax² + bx + c का आलेख वक्राकार होता है जिसे परवलय कहते हैं।

17. यदि बहुपद x² - kx + 8 के शून्यकों का योग 6 है, तो k का मान क्या होगा?

(A) -6

(B) 6

(C) 8

(D) -8

उत्तर: (B) 6

व्याख्या: शून्यकों का योग = -(-k)/1 = k। दिया है योग = 6, अतः k = 6।

18. यदि बहुपद x² + ax - b के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम (Reciprocal) हों, तो b का मान क्या होगा?

(A) 1

(B) -1

(C) a

(D) -a

उत्तर: (B) -1

व्याख्या: शून्यक α और 1/α होने पर: गुणनफल α × (1/α) = 1। समीकरण से गुणनफल = -b/1 = -b। अतः -b = 1 ⇒ b = -1।

19. बहुपद 4x² - 4x + 1 के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

(A) 1

(B) 1/4

(C) -1/4

(D) 4

उत्तर: (B) 1/4

व्याख्या: गुणनफल = c/a = 1/4।

20. त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यकों का गुणनफल (αβγ) क्या होता है?

(A) d/a

(B) -d/a

(C) c/a

(D) -b/a

उत्तर: (B) -d/a

व्याख्या: त्रिघात बहुपद में तीनों शून्यकों का गुणनफल αβγ = -(अचर पद)/(x³ का गुणांक) = -d/a होता है।

21. यदि त्रिघात बहुपद x³ - 3x² + x + 1 के शून्यक a - b, a, a + b हों, तो a का मान क्या होगा?

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) 3

उत्तर: (A) 1

व्याख्या: शून्यकों का योग = (a - b) + a + (a + b) = 3a। सूत्र से योग = -(-3)/1 = 3। अतः 3a = 3 ⇒ a = 1।

22. निम्नलिखित में से कौन 2x² - 5x - 3 का एक शून्यक है?

(A) 3

(B) -3

(C) 1

(D) -1/2

उत्तर: (A) 3

व्याख्या: x = 3 रखने पर: 2(3)² - 5(3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0। अतः 3 एक शून्यक है।

23. बहुपद x² - 11 के शून्यक क्या हैं?

(A) 11, -11

(B) √11, -√11

(C) √11, √11

(D) 11, 0

उत्तर: (B) √11, -√11

व्याख्या: x² - 11 = 0 ⇒ x² = 11 ⇒ x = ±√11।

24. यदि द्विघात बहुपद q(x) = x² - x + 4 के शून्यक α, β हों, तो α + β का मान क्या होगा?

(A) -1

(B) 1

(C) 4

(D) -4

उत्तर: (B) 1

व्याख्या: α + β = -b/a = -(-1)/1 = 1।

25. द्विघात बहुपद x² + 1/6 x - 2 के शून्यक क्या होंगे?

(A) -3, 4

(B) -3/2, 4/3

(C) -4/3, 3/2

(D) 1/2, 1/3

उत्तर: (B) -3/2, 4/3

व्याख्या: 6x² + x - 12 = 0 ⇒ 6x² + 9x - 8x - 12 = 0 ⇒ 3x(2x + 3) - 4(2x + 3) = 0 ⇒ x = -3/2, 4/3।

26. एक द्विघात बहुपद के शून्यक 2 और 6 हैं। वह बहुपद क्या होगा?

(A) x² - 8x + 12

(B) x² + 8x + 12

(C) x² - 8x - 12

(D) x² + 8x - 12

उत्तर: (A) x² - 8x + 12

व्याख्या: योग = 2 + 6 = 8, गुणनफल = 2 × 6 = 12। बहुपद = x² - 8x + 12।

27. किसी बहुपद p(x) के लिए y = p(x) का ग्राफ x-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता है। p(x) के शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 0

उत्तर: (C) 3

व्याख्या: ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, वास्तविक शून्यकों की संख्या उतनी ही होती है। अतः उत्तर 3 है।

28. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c में a > 0 हो, तो परवलय का मुख किधर खुलेगा?

(A) नीचे की ओर

(B) ऊपर की ओर

(C) दाईं ओर

(D) बाईं ओर

उत्तर: (B) ऊपर की ओर

व्याख्या: जब a > 0 होता है, तो परवलय ऊपर की ओर खुला (Open upwards) होता है; और a < 0 होने पर नीचे की ओर।

29. बहुपद 5y² - 14y + 8 के शून्यकों का योग क्या होगा?

(A) 5/14

(B) -14/5

(C) 14/5

(D) 8/5

उत्तर: (C) 14/5

व्याख्या: शून्यकों का योग = -b/a = -(-14)/5 = 14/5।

30. शून्य बहुपद (Zero Polynomial) की घात क्या होती है?

(A) 0

(B) 1

(C) कोई भी वास्तविक संख्या

(D) परिभाषित नहीं

उत्तर: (D) परिभाषित नहीं

व्याख्या: शून्य बहुपद (0) की घात गणितीय रूप से परिभाषित नहीं (Not defined) होती है।

31. अचर बहुपद (Constant Polynomial) जैसे f(x) = 5 की घात क्या होती है?

(A) 0

(B) 1

(C) 5

(D) परिभाषित नहीं

उत्तर: (A) 0

व्याख्या: 5 = 5x⁰ लिख सकते हैं, अतः शून्येतर अचर बहुपद की घात सदैव 0 होती है।

32. यदि α और β बहुपद 2x² + 3x + 1 के शून्यक हों, तो α² + β² का मान क्या होगा?

(A) 5/4

(B) 1/4

(C) 9/4

(D) 3/4

उत्तर: (A) 5/4

व्याख्या: α + β = -3/2, αβ = 1/2। α² + β² = (α + β)² - 2αβ = (-3/2)² - 2(1/2) = 9/4 - 1 = 5/4।

33. यदि बहुपद x² - ax + 5 के शून्यकों का योग 7 है, तो a का मान क्या होगा?

(A) 7

(B) -7

(C) 5

(D) -5

उत्तर: (A) 7

व्याख्या: योग = -(-a)/1 = a। अतः a = 7।

34. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक ऋणात्मक हों, तो a, b तथा c के चिह्न:

(A) सभी एक ही चिह्न के होंगे

(B) अलग-अलग चिह्न के होंगे

(C) c ऋणात्मक होगा

(D) b ऋणात्मक होगा

उत्तर: (A) सभी एक ही चिह्न के होंगे

व्याख्या: यदि दोनों शून्यक ऋणात्मक हों, तो α + β = -b/a < 0 ⇒ b/a > 0 तथा αβ = c/a > 0। अतः a, b और c तीनों के चिह्न समान होंगे।

35. बहुपद x² - 9x + 20 के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

(A) 20

(B) -20

(C) 9

(D) -9

उत्तर: (A) 20

व्याख्या: गुणनफल = c/a = 20/1 = 20।

36. यदि बहुपद x² - 2x - 3 के शून्यक α तथा β हों, तो α - β का मान क्या हो सकता है?

(A) ±4

(B) ±2

(C) ±3

(D) 0

उत्तर: (A) ±4

व्याख्या: x² - 3x + x - 3 = 0 ⇒ शून्यक 3 और -1 हैं। α - β = 3 - (-1) = 4 या -1 - 3 = -4।

37. द्विघात बहुपद 3x² - x - 4 के शून्यक हैं:

(A) -1, 4/3

(B) 1, -4/3

(C) -1, -4/3

(D) 1, 4/3

उत्तर: (A) -1, 4/3

व्याख्या: 3x² - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x - 4)(x + 1) = 0 ⇒ x = 4/3, -1।

38. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक परिमाण में समान परन्तु विपरीत चिह्न के हों, तो:

(A) a = 0

(B) b = 0

(C) c = 0

(D) b² - 4ac = 0

उत्तर: (B) b = 0

व्याख्या: α + β = 0 ⇒ -b/a = 0 ⇒ b = 0।

39. बहुपद t² - 15 के शून्यक क्या हैं?

(A) (√15, -√15)

(B) (15, -15)

(C) (√15, √15)

(D) (15, 0)

उत्तर: (A) (√15, -√15)

व्याख्या: t² - 15 = 0 ⇒ t² = 15 ⇒ t = ±√15।

40. निम्नलिखित में कौन द्विघात बहुपद है जिसके शून्यक 0 और 5 हैं?

(A) x² - 5

(B) x² - 5x

(C) x² + 5x

(D) x² - 25

उत्तर: (B) x² - 5x

व्याख्या: योग = 0 + 5 = 5, गुणनफल = 0 × 5 = 0। बहुपद = x² - 5x।

41. यदि किसी बहुपद के शून्यकों का योग √2 और गुणनफल 1/3 हो, तो वह बहुपद होगा:

(A) 3x² - 3√2x + 1

(B) x² - √2x + 1/3

(C) दोनों (A) और (B)

(D) 3x² + 3√2x + 1

उत्तर: (C) दोनों (A) और (B)

व्याख्या: k(x² - √2x + 1/3)। k = 3 रखने पर 3x² - 3√2x + 1 प्राप्त होता है। दोनों समान शून्यक दर्शाते हैं।

42. बहुपद 2x³ - 5x² - 14x + 8 के शून्यकों का योग क्या होगा?

(A) 5/2

(B) -5/2

(C) -7

(D) -4

उत्तर: (A) 5/2

व्याख्या: त्रिघात बहुपद में शून्यकों का योग = -b/a = -(-5)/2 = 5/2।

43. बहुपद x² - 4x + 1 के शून्यक α, β हैं, तो α/β + β/α का मान क्या होगा?

(A) 14

(B) 16

(C) 12

(D) 10

उत्तर: (A) 14

व्याख्या: (α² + β²)/αβ = [(α + β)² - 2αβ] / αβ = [4² - 2(1)] / 1 = 16 - 2 = 14।

44. यदि बहुपद (k - 1)x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 हो, तो k का मान क्या होगा?

(A) 4/3

(B) -4/3

(C) 2/3

(D) -2/3

उत्तर: (A) 4/3

व्याख्या: x = -3 रखने पर: (k - 1)(-3)² + k(-3) + 1 = 0 ⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0 ⇒ 6k - 8 = 0 ⇒ k = 8/6 = 4/3।

45. विभाजन एल्गोरिथम से, p(x) = g(x) × q(x) + r(x) में शेषफल r(x) की घात क्या होती है?

(A) deg(g(x)) से कम

(B) deg(g(x)) से अधिक

(C) deg(g(x)) के बराबर

(D) deg(p(x)) के बराबर

उत्तर: (A) deg(g(x)) से कम

व्याख्या: शेषफल r(x) या तो शून्य होता है या उसकी घात भाजक g(x) की घात से हमेशा कम होती है।

46. बहुपद x² - 2x + 1 का शून्यक होगा:

(A) 1, 1

(B) -1, -1

(C) 1, -1

(D) 2, 1

उत्तर: (A) 1, 1

व्याख्या: x² - 2x + 1 = (x - 1)² = 0 ⇒ x = 1, 1 (समान शून्यक)।

47. यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c का कोई वास्तविक शून्यक न हो, तो इसका ग्राफ x-अक्ष को:

(A) दो बिंदुओं पर काटेगा

(B) एक बिंदु पर स्पर्श करेगा

(C) बिल्कुल नहीं काटेगा

(D) तीन बार काटेगा

उत्तर: (C) बिल्कुल नहीं काटेगा

व्याख्या: वास्तविक शून्यक न होने पर आलेख x-अक्ष को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है (या तो पूरा ऊपर या पूरा नीचे रहता है)।

48. बहुपद 6x² - 7x - 3 के शून्यक क्या हैं?

(A) 3/2, -1/3

(B) -3/2, 1/3

(C) 3/2, 1/3

(D) -3/2, -1/3

उत्तर: (A) 3/2, -1/3

व्याख्या: 6x² - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (2x - 3)(3x + 1) = 0 ⇒ x = 3/2, -1/3।

49. बहुपद 4u² + 8u के शून्यक क्या होंगे?

(A) 0, -2

(B) 0, 2

(C) 2, -2

(D) 0, 4

उत्तर: (A) 0, -2

व्याख्या: 4u(u + 2) = 0 ⇒ 4u = 0 या u + 2 = 0 ⇒ u = 0, -2।

50. यदि बहुपद x² - px + q के शून्यक α, β हों, तो α² + β² का मान क्या होगा?

(A) p² - 2q

(B) p² + 2q

(C) q² - 2p

(D) p² - q

उत्तर: (A) p² - 2q

व्याख्या: α + β = p, αβ = q। α² + β² = (α + β)² - 2αβ = p² - 2q।

51. यदि किसी बहुपद का आलेख x-अक्ष को केवल स्पर्श करके निकल जाता है, तो उसके शून्यक कैसे होंगे?

(A) दो भिन्न वास्तविक शून्यक

(B) दो संपाती (बराबर) वास्तविक शून्यक

(C) कोई वास्तविक शून्यक नहीं

(D) तीन शून्यक

उत्तर: (B) दो संपाती (बराबर) वास्तविक शून्यक

व्याख्या: जब आलेख x-अक्ष को केवल स्पर्श करता है, तो दोनों शून्यक वास्तविक और आपस में समान (संपाती) होते हैं।

52. यदि बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान क्या होगा?

(A) -8

(B) 8

(C) -2

(D) 2

उत्तर: (A) -8

व्याख्या: गुणनफल αβ = c/a = -8/1 = -8।

53. त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (C) 3

व्याख्या: त्रिघात बहुपद की घात 3 होती है, अतः इसके अधिक से अधिक 3 वास्तविक शून्यक हो सकते हैं।

54. बहुपद 2 - x² + x³ में x² का गुणांक क्या है?

(A) 2

(B) 1

(C) -1

(D) 0

उत्तर: (C) -1

व्याख्या: x² के साथ -1 का गुणा है, अतः इसका गुणांक -1 है।

55. यदि बहुपद 3x³ - 5x² - 11x - 3 के शून्यक α, β, γ हों, तो αβ + βγ + γα का मान क्या होगा?

(A) -11/3

(B) 5/3

(C) 1

(D) -1

उत्तर: (A) -11/3

व्याख्या: सूत्रानुसार दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग = c/a = -11/3।

56. यदि बहुपद x² + ax - b के शून्यक एक-दूसरे के ऋणात्मक हों, तो a का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) b

उत्तर: (A) 0

व्याख्या: α + (-α) = 0 ⇒ -a/1 = 0 ⇒ a = 0।

57. द्विघात बहुपद x² - 5 के शून्यक क्या हैं?

(A) 5, -5

(B) √5, -√5

(C) √5, √5

(D) 25, -25

उत्तर: (B) √5, -√5

व्याख्या: x² - 5 = 0 ⇒ x² = 5 ⇒ x = ±√5।

58. यदि p(x) = x³ - 1 हो, तो p(1) का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) 2

उत्तर: (A) 0

व्याख्या: p(1) = 1³ - 1 = 1 - 1 = 0।

59. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक -3 और 4 हैं:

(A) x² - x - 12

(B) x² + x - 12

(C) x² - x + 12

(D) 2x² + 2x - 24

उत्तर: (A) x² - x - 12

व्याख्या: योग = -3 + 4 = 1, गुणनफल = -3 × 4 = -12। बहुपद = x² - (1)x + (-12) = x² - x - 12।

60. यदि बहुपद x² + kx + 12 का एक शून्यक 3 हो, तो k का मान क्या होगा?

(A) -7

(B) 7

(C) -4

(D) 4

उत्तर: (A) -7

व्याख्या: x = 3 रखने पर: 3² + 3k + 12 = 0 ⇒ 9 + 3k + 12 = 0 ⇒ 3k = -21 ⇒ k = -7।

61. यदि बहुपद f(x) = ax² - 3(a - 1)x - 1 का एक शून्यक 1 है, तो a का मान क्या होगा?

(A) 1

(B) -1

(C) 2

(D) -2

उत्तर: (A) 1

व्याख्या: f(1) = a(1)² - 3(a - 1)(1) - 1 = 0 ⇒ a - 3a + 3 - 1 = 0 ⇒ -2a + 2 = 0 ⇒ a = 1।

62. n घात वाले बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?

(A) n - 1

(B) n

(C) n + 1

(D) 2n

उत्तर: (B) n

व्याख्या: बीजगणित के मूल नियमानुसार n घात के बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं।

63. यदि α, β, γ बहुपद x³ - 7x² + 5x + 9 के शून्यक हों, तो αβγ का मान क्या होगा?

(A) 9

(B) -9

(C) 7

(D) -5

उत्तर: (B) -9

व्याख्या: αβγ = -d/a = -9/1 = -9।

64. बहुपद 2x - 3 का शून्यक क्या है?

(A) 3/2

(B) -3/2

(C) 2/3

(D) -2/3

उत्तर: (A) 3/2

व्याख्या: 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2।

65. यदि α और β बहुपद x² + 2x + 1 के शून्यक हैं, तो 1/α + 1/β का मान क्या होगा?

(A) 2

(B) -2

(C) 1

(D) -1

उत्तर: (B) -2

व्याख्या: 1/α + 1/β = -b/c = -2/1 = -2।

66. बहुपद (x + 1)(x + 2) की घात क्या है?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 0

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2, जिसकी अधिकतम घात 2 है।

67. यदि बहुपद x² - ax + b के शून्यक समान हों, तो निम्नलिखित में कौन सत्य है?

(A) a² = 4b

(B) b² = 4a

(C) a = 4b

(D) a² = b

उत्तर: (A) a² = 4b

व्याख्या: समान शून्यक होने के लिए विविक्तकर D = 0 होना चाहिए: (-a)² - 4(1)(b) = 0 ⇒ a² = 4b।

68. किसी बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या क्या होगी यदि उसका ग्राफ x-अक्ष को कहीं नहीं काटता?

(A) 1

(B) 0

(C) अनन्त

(D) 2

उत्तर: (B) 0

व्याख्या: जब आलेख x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर नहीं काटता, तो वास्तविक शून्यकों की संख्या 0 होती है।

69. बहुपद x² - 4x + 3 के शून्यकों का योग क्या होगा?

(A) -4

(B) 4

(C) 3

(D) -3

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: योग = -b/a = -(-4)/1 = 4।

70. बहुपद x³ - 4x के शून्यक क्या हैं?

(A) 0, 2, -2

(B) 2, -2

(C) 0, 4

(D) 0, 2

उत्तर: (A) 0, 2, -2

व्याख्या: x(x² - 4) = 0 ⇒ x(x - 2)(x + 2) = 0 ⇒ x = 0, 2, -2।

71. यदि बहुपद f(x) = 5x² + 13x + k का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो, तो k का मान क्या होगा?

(A) 0

(B) 5

(C) 1/5

(D) 6

उत्तर: (B) 5

व्याख्या: जब एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम हो, तो गुणनफल = 1 होता है। c/a = 1 ⇒ k/5 = 1 ⇒ k = 5।

72. यदि द्विघात बहुपद के शून्यक 1 और 1 हों, तो वह बहुपद क्या होगा?

(A) x² - 2x + 1

(B) x² + 2x + 1

(C) x² - 1

(D) x² + 1

उत्तर: (A) x² - 2x + 1

व्याख्या: योग = 1 + 1 = 2, गुणनफल = 1 × 1 = 1। बहुपद = x² - 2x + 1।

73. निम्नलिखित में से कौन 3 घात का बहुपद है?

(A) x² + 2x + 1

(B) x³ - 1

(C) x + 3

(D) 5

उत्तर: (B) x³ - 1

व्याख्या: x³ - 1 की उच्चतम घात 3 है, अतः यह त्रिघात बहुपद है।

74. बहुपद x² - 3x - 4 के शून्यक α, β हैं, तो αβ का मान क्या होगा?

(A) -4

(B) 4

(C) -3

(D) 3

उत्तर: (A) -4

व्याख्या: गुणनफल αβ = c/a = -4/1 = -4।

75. यदि p(x) = x² - 2x + 5 के शून्यक a और b हों, तो ab का मान क्या होगा?

(A) 5

(B) -5

(C) 2

(D) -2

उत्तर: (A) 5

व्याख्या: ab = शून्यकों का गुणनफल = c/a = 5/1 = 5।

76. बहुपद x² - 49 के शून्यक क्या होंगे?

(A) 7, -7

(B) 7, 7

(C) √7, -√7

(D) 49, -49

उत्तर: (A) 7, -7

व्याख्या: x² - 49 = 0 ⇒ x² = 49 ⇒ x = ±7।

77. यदि p(x) = 2x + 5 का शून्यक k हो, तो k का मान क्या होगा?

(A) -5/2

(B) 5/2

(C) -2/5

(D) 2/5

उत्तर: (A) -5/2

व्याख्या: 2k + 5 = 0 ⇒ 2k = -5 ⇒ k = -5/2।

78. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक α = 3 तथा β = -3 हों, तो वह बहुपद क्या होगा?

(A) x² - 9

(B) x² + 9

(C) x² - 6x + 9

(D) x² + 6x - 9

उत्तर: (A) x² - 9

व्याख्या: योग = 3 + (-3) = 0, गुणनफल = 3(-3) = -9। बहुपद = x² - 0x - 9 = x² - 9।

79. बहुपद 3x² + 4x + 1 के शून्यक हैं:

(A) -1, -1/3

(B) 1, 1/3

(C) -1, 1/3

(D) 1, -1/3

उत्तर: (A) -1, -1/3

व्याख्या: 3x² + 3x + x + 1 = 0 ⇒ 3x(x + 1) + 1(x + 1) = 0 ⇒ x = -1, -1/3।

80. यदि बहुपद x² - 3x + k का एक शून्यक 2 हो, तो k का मान क्या होगा?

(A) 2

(B) -2

(C) 1

(D) -1

उत्तर: (A) 2

व्याख्या: x = 2 रखने पर: 2² - 3(2) + k = 0 ⇒ 4 - 6 + k = 0 ⇒ -2 + k = 0 ⇒ k = 2।

81. द्विघात बहुपद x² + 8x + 12 के शून्यक α, β हों, तो (α + β)² का मान क्या होगा?

(A) 64

(B) 16

(C) 144

(D) 40

उत्तर: (A) 64

व्याख्या: α + β = -8/1 = -8। (α + β)² = (-8)² = 64।

82. बहुपद (x² + 1)(x³ + 2) की घात क्या होगी?

(A) 6

(B) 5

(C) 3

(D) 2

उत्तर: (B) 5

व्याख्या: गुणा करने पर उच्चतम घात वाला पद x² × x³ = x⁵ होगा। अतः घात 5 है।

83. यदि बहुपद ax² + bx + c के शून्यक परस्पर विपरीत चिह्न वाले हों परन्तु संख्यात्मक मान बराबर हों, तो b का मान होगा:

(A) 0

(B) 1

(C) -1

(D) c

उत्तर: (A) 0

व्याख्या: शून्यक α और -α होने पर योग = 0 होगा। -b/a = 0 ⇒ b = 0।

84. द्विघात बहुपद 2x² - 8x + 6 के शून्यकों का योग क्या होगा?

(A) 4

(B) -4

(C) 3

(D) -3

उत्तर: (A) 4

व्याख्या: योगफल = -(-8)/2 = 8/2 = 4।

85. प्रश्न संख्या 84 में दिए गए बहुपद के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

(A) 3

(B) 4

(C) 6

(D) -3

उत्तर: (A) 3

व्याख्या: गुणनफल = c/a = 6/2 = 3।

86. यदि किसी बहुपद f(x) को (x - 2) से भाग देने पर शेषफल 0 बचता है, तो f(x) का एक गुणनखंड क्या होगा?

(A) x + 2

(B) x - 2

(C) x - 1

(D) x + 1

उत्तर: (B) x - 2

व्याख्या: गुणनखंड प्रमेय के अनुसार यदि f(2) = 0 है, तो (x - 2) बहुपद f(x) का एक गुणनखंड होता है।

87. बहुपद x² - 1 का शून्यक 1 है, तो इसका दूसरा शून्यक क्या होगा?

(A) -1

(B) 1

(C) 0

(D) 2

उत्तर: (A) -1

व्याख्या: x² - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = 1, -1। अतः दूसरा शून्यक -1 है।

88. बहुपद 6x⁴ + 5x³ - 7x + 1 की घात क्या है?

(A) 3

(B) 4

(C) 1

(D) 7

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: चर x की सबसे बड़ी घात 4 है, अतः बहुपद की घात 4 होगी।

89. बहुपद x² - 2x के शून्यक क्या हैं?

(A) 0, 2

(B) 2, -2

(C) 0, -2

(D) 1, 2

उत्तर: (A) 0, 2

व्याख्या: x(x - 2) = 0 ⇒ x = 0 या x = 2।

90. यदि किसी द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α, β हों और α + β = αβ हो, तो:

(A) b + c = 0

(B) b = c

(C) a + b = 0

(D) c + a = 0

उत्तर: (A) b + c = 0

व्याख्या: -b/a = c/a ⇒ -b = c ⇒ b + c = 0।

91. एक घात वाले बहुपद का आलेख कैसा होता है?

(A) वक्र रेखा

(B) सरल रेखा (Straight line)

(C) परवलय

(D) वृत्त

उत्तर: (B) सरल रेखा (Straight line)

व्याख्या: रैखिक समीकरण (घात 1) का आलेख सदैव एक सीधी सरल रेखा होता है।

92. यदि बहुपद x² - 4x + a के शून्यकों का गुणनफल 3 हो, तो a का मान क्या होगा?

(A) 3

(B) -3

(C) 4

(D) -4

उत्तर: (A) 3

व्याख्या: गुणनफल = c/a = a/1 = 3 ⇒ a = 3।

93. निम्नलिखित में कौन बहुपद x² - √2x - 12 का शून्यक है?

(A) 3√2

(B) -3√2

(C) -2√2

(D) दोनों (A) और (C)

उत्तर: (D) दोनों (A) और (C)

व्याख्या: x = 3√2 रखने पर (3√2)² - √2(3√2) - 12 = 18 - 6 - 12 = 0। x = -2√2 रखने पर 8 + 4 - 12 = 0। अतः दोनों शून्यक हैं।

94. बहुपद y² + 3y + 2 के शून्यकों का योग क्या होगा?

(A) 3

(B) -3

(C) 2

(D) -2

उत्तर: (B) -3

व्याख्या: योग = -b/a = -3/1 = -3।

95. यदि किसी द्विघात बहुपद का विविक्तकर D < 0 हो, तो वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?

(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) 3

उत्तर: (C) 0

व्याख्या: जब D < 0 (ऋणात्मक) होता है, तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता (शून्यकों की संख्या = 0)।

96. द्विघात बहुपद 4s² - 4s + 1 के शून्यक क्या हैं?

(A) 1/2, 1/2

(B) -1/2, -1/2

(C) 1/2, -1/2

(D) 1, 1/4

उत्तर: (A) 1/2, 1/2

व्याख्या: (2s - 1)² = 0 ⇒ s = 1/2, 1/2।

97. बहुपद x² - 2x - 3 के शून्यकों का व्युत्क्रम योग (1/α + 1/β) क्या होगा?

(A) -2/3

(B) 2/3

(C) 3/2

(D) -3/2

उत्तर: (A) -2/3

व्याख्या: 1/α + 1/β = -b/c = -(-2)/(-3) = 2/(-3) = -2/3।

98. बहुपद 3x² - 12 का शून्यक क्या है?

(A) 2, -2

(B) 4, -4

(C) 2, 2

(D) 0, 4

उत्तर: (A) 2, -2

व्याख्या: 3(x² - 4) = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2।

99. यदि बहुपद ax² + bx + c का एक शून्यक 0 हो, तो:

(A) a = 0

(B) b = 0

(C) c = 0

(D) b² - 4ac = 0

उत्तर: (C) c = 0

व्याख्या: शून्यक 0 होने पर x = 0 रखने पर a(0)² + b(0) + c = 0 ⇒ c = 0।

100. बहुपद 2x² + 5x - 10 में शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?

(A) -5

(B) 5

(C) -5/2

(D) 5/2

उत्तर: (A) -5

व्याख्या: गुणनफल = c/a = -10/2 = -5।

परीक्षा उपयोगी महत्वपूर्ण टिप्स (BSEB Exam Tips)

• बहुपद की घात पर ध्यान दें: परीक्षा में अक्सर दिया जाता है कि x + 1/x क्या बहुपद है? उत्तर होगा 'नहीं', क्योंकि 1/x = x^-1 (ऋणात्मक घात)।
• चिह्नों की सावधानी: α + β = -b/a में पहले से माइनस (-) लगा होता है। यदि b स्वयं ऋणात्मक हो (जैसे -5), तो -(-5)/a = +5/a हो जाएगा।
• 1/α + 1/β का शॉर्टकट: इसे हल करने में समय नष्ट न करें, सीधे -b/c का प्रयोग करें।
• ग्राफ वाले प्रश्न: ग्राफ x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर स्पर्श या प्रतिच्छेद करे, केवल वही शून्यकों की संख्या होगी। y-अक्ष के कटान को न गिनें।

निष्कर्ष (Conclusion)

कक्षा 10 बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा में 'बहुपद' अध्याय से शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करना अत्यंत सहज है। ऊपर दिए गए सभी 100 वस्तुनिष्ठ प्रश्न विगत 10 वर्षों के BSEB मैट्रिक बोर्ड प्रश्न-पत्रों, आधिकारिक मॉडल पेपर्स और NCERT/BTBC पाठ्यक्रम का संपूर्ण निचोड़ हैं। इन सभी 100 प्रश्नों और सूत्रों का नियमित अभ्यास आपको परीक्षा में बहुपद के किसी भी प्रश्न को बिना किसी संशय के 100% सही हल करने में पूर्णतः सक्षम बनाएगा।