अध्याय 2 – बहुपद | BSEB 10 Mathematics Book PDF Download

BSEB मैट्रिक परीक्षा कक्षा 10

अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित – शून्यक, गुणांकों में संबंध, विभाजन एल्गोरिद्म एवं Book PDF

अध्याय का संक्षिप्त परिचय (Chapter Overview)

चर x के किसी व्यंजक में x की उच्चतम घात (Power) को उस बहुपद की घात (Degree of Polynomial) कहते हैं।

बहुपद का प्रकार	घात (Degree)	मानक रूप (General Form)	अधिकतम शून्यक
रैखिक बहुपद (Linear)	1	ax + b  (a ≠ 0)	1
द्विघात बहुपद (Quadratic)	2	ax² + bx + c  (a ≠ 0)	2
त्रिघात बहुपद (Cubic)	3	ax³ + bx² + cx + d  (a ≠ 0)	3

शून्यकों एवं गुणांकों में संबंध (Relations between Zeroes & Coefficients)

1. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial: p(x) = ax² + bx + c)

यदि द्विघात बहुपद के शून्यक α और β हों, तो:

(i) शून्यकों का योगफल:

α + β = − b a = − x का गुणांक x² का गुणांक

(ii) शून्यकों का गुणनफल:

α × β = c a = अचर पद x² का गुणांक

शून्यक दिए होने पर द्विघात बहुपद ज्ञात करने का सूत्र:
p(x) = k [ x² − (α + β)x + αβ ]   (जहाँ k एक वास्तविक संख्या है)

2. त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial: p(x) = ax³ + bx² + cx + d)

यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β, γ हों, तो:

• α + β + γ = − b a = − x² का गुणांक x³ का गुणांक
• αβ + βγ + γα = c a = x का गुणांक x³ का गुणांक
• αβγ = − d a = − अचर पद x³ का गुणांक

बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिद्म (Division Algorithm)

यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हों जहाँ g(x) ≠ 0, तो हम ऐसे बहुपद q(x) और r(x) प्राप्त कर सकते हैं कि:

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
जहाँ या तो r(x) = 0 है अथवा घात(r(x)) < घात(g(x)) है।

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem): यदि बहुपद p(x) को g(x) से भाग देने पर शेषफल r(x) = 0 प्राप्त हो, तो g(x), बहुपद p(x) का एक गुणनखंड होता है।

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