अध्याय 1 – वास्तविक संख्या | BSEB 10 Mathematics Subjective

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 1 – वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

संपूर्ण रिवीजन नोट्स, सूत्र संग्रह, 50 वस्तुनिष्ठ (One Liner), 25 लघु उत्तरीय एवं 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

अध्याय परिचय एवं महत्त्वपूर्ण सूत्र संग्रह

बिहार बोर्ड (BSEB) मैट्रिक गणित परीक्षा में अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) संख्या पद्धति (Number System) का आधार है। परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के संपूर्ण संग्रह को वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) कहते हैं। इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ, लघु और दीर्घ उत्तरीय मिलाकर लगभग 10 अंक के प्रश्न प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं।

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid's Division Lemma):

दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान हैं कि:
a = bq + r,   जहाँ 0 ≤ r < b
यहाँ a = भाज्य (Dividend), b = भाजक (Divisor), q = भागफल (Quotient) तथा r = शेषफल (Remainder) है।

2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic):

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है, तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है।

3. ल.स.प. (LCM) और म.स.प. (HCF) में संबंध:

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए:
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b (दो संख्याओं का गुणनफल)
⇒ HCF(a, b) = (a × b) / LCM(a, b)
⇒ LCM(a, b) = (a × b) / HCF(a, b)

4. परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार:

माना x = p/q एक परिमेय संख्या है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (q ≠ 0):

• यदि हर q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ × 5^m के रूप का है (जहाँ n, m अऋणात्मक पूर्णांक हैं), तो x का दशमलव प्रसार सांत (Terminating) होता है।
• यदि हर q का अभाज्य गुणनखंडन 2ⁿ × 5^m के रूप का नहीं है (अर्थात् 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य संख्या जैसे 3, 7, 11 आदि आए), तो x का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती (Non-terminating Repeating) होता है।
• अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सदैव अशांत अनावर्ती (Non-terminating Non-repeating) होता है।

भाग 1: 50 वस्तुनिष्ठ / एक पंक्ति प्रश्नोत्तर (One Liner Q&A)

Q1 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r में r के लिए क्या प्रतिबंध है?

उत्तर: 0 ≤ r < b.

Q2 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग मुख्यतः क्या परिकलित करने में किया जाता है?

उत्तर: महत्तम समापवर्तक (HCF / म.स.प.)।

Q3 सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन-सी है?

उत्तर: 2.

Q4 सबसे छोटी भाज्य संख्या कौन-सी है?

उत्तर: 4.

Q5 सबसे छोटी अभाज्य और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स.प. (HCF) क्या होगा?

उत्तर: HCF(2, 4) = 2.

Q6 सबसे छोटी अभाज्य और सबसे छोटी भाज्य संख्या का ल.स.प. (LCM) क्या होगा?

उत्तर: LCM(2, 4) = 4.

Q7 क्या π (पाई) एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय संख्या?

उत्तर: अपरिमेय संख्या (Irrational Number)।

Q8 22/7 किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: परिमेय संख्या (Rational Number, चूंकि यह p/q रूप में है)।

Q9 दो लगातार प्राकृत संख्याओं का म.स.प. (HCF) क्या होता है?

उत्तर: सदैव 1.

Q10 दो लगातार सम संख्याओं का म.स.प. (HCF) क्या होता है?

उत्तर: सदैव 2.

Q11 दो लगातार विषम संख्याओं का म.स.प. (HCF) क्या होता है?

उत्तर: सदैव 1.

Q12 यदि दो अभाज्य संख्याएँ p और q हैं, तो उनका HCF क्या होगा?

उत्तर: 1.

Q13 यदि दो अभाज्य संख्याएँ p और q हैं, तो उनका LCM क्या होगा?

उत्तर: p × q (अर्थात् pq).

Q14 संख्या 17/8 का दशमलव प्रसार सांत है या अशांत?

उत्तर: सांत (चूंकि हर 8 = 2³ है, जो 2ⁿ × 5^m रूप का है)।

Q15 संख्या 6/15 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

उत्तर: सांत (सरलतम रूप = 2/5, हर में केवल 5 है)।

Q16 संख्या 29/343 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

उत्तर: अशांत आवर्ती (चूंकि 343 = 7³ है)।

Q17 किसी परिमेय संख्या p/q के सांत होने के लिए q के अभाज्य गुणनखंड किस रूप के होने चाहिए?

उत्तर: 2ⁿ × 5^m के रूप में (जहाँ n, m ≥ 0).

Q18 संख्या 0.12012001200012... किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: अपरिमेय संख्या (चूंकि यह अशांत अनावर्ती है)।

Q19 संख्या 2.353535... (2.35 बार) किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: परिमेय संख्या (चूंकि यह अशांत आवर्ती है)।

Q20 √2, √3, √5 किस प्रकार की संख्याएँ हैं?

उत्तर: अपरिमेय संख्याएँ।

Q21 √4, √9, √16 किस प्रकार की संख्याएँ हैं?

उत्तर: परिमेय संख्याएँ (क्योंकि √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4 पूर्ण वर्ग हैं)।

Q22 एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर सदैव क्या होता है?

उत्तर: अपरिमेय संख्या (उदा. 3 + √2).

Q23 एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल क्या होता है?

उत्तर: सदैव अपरिमेय संख्या (उदा. 2√3).

Q24 यदि दो संख्याओं का गुणनफल 2166 है और उनका HCF 19 है, तो उनका LCM क्या होगा?

उत्तर: LCM = 2166 / 19 = 114.

Q25 यदि HCF(a, 8) = 4 और LCM(a, 8) = 24 हो, तो a का मान क्या होगा?

उत्तर: a = (HCF × LCM) / 8 = (4 × 24) / 8 = 12.

Q26 144 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 का अधिकतम घातांक कितना है?

उत्तर: 4 (क्योंकि 144 = 2⁴ × 3²).

Q27 5005 के अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या कितनी है?

उत्तर: 4 (5 × 7 × 11 × 13).

Q28 क्या प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकता है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि 6 के अभाज्य गुणनखंडन (2 × 3) में 5 नहीं आता।

Q29 क्या 4ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकता है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंडन (2²) में 5 अनुपस्थित है।

Q30 0.3 (3 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

उत्तर: 3/9 = 1/3.

Q31 0.6 (6 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

उत्तर: 6/9 = 2/3.

Q32 0.23 (23 पर बार) का परिमेय रूप क्या होगा?

उत्तर: 23/99.

Q33 सह-अभाज्य संख्याओं (Co-prime Numbers) का HCF क्या होता है?

उत्तर: सदैव 1.

Q34 क्या 15 और 16 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं?

उत्तर: हाँ, क्योंकि HCF(15, 16) = 1 है।

Q35 11/25 का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा?

उत्तर: 2 स्थानों के बाद (चूंकि 25 = 5², अधिकतम घात 2 है; 11/25 = 0.44).

Q36 13/(2² × 5) का दशमलव प्रसार कितने स्थानों बाद सांत होगा?

उत्तर: 2 स्थानों बाद (2 की अधिकतम घात 2 है).

Q37 96 और 404 का HCF क्या होगा?

उत्तर: 4.

Q38 संख्या रेखा (Number Line) पर प्रत्येक बिंदु किसे प्रदर्शित करता है?

उत्तर: एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को।

Q39 1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

उत्तर: LCM(1, 2, ..., 10) = 2520.

Q40 संख्या (3 + √3)(3 - √3) किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: परिमेय संख्या (3² - (√3)² = 9 - 3 = 6).

Q41 (√2 + 1/√2)² का मान क्या होगा?

उत्तर: 2 + 1/2 + 2 = 4.5 = 9/2 (परिमेय संख्या)।

Q42 प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक किस रूप का होता है?

उत्तर: 2q के रूप का (जहाँ q कोई पूर्णांक है)।

Q43 प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक किस रूप का होता है?

उत्तर: 2q + 1 के रूप का।

Q44 यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं, तो HCF(a, b) सदैव किससे छोटा या बराबर होता है?

उत्तर: min(a, b) के।

Q45 दो संख्याओं का LCM सदैव उनके HCF से क्या होता है?

उत्तर: पूर्णतः विभाज्य होता है।

Q46 क्या दो संख्याओं का HCF 18 और LCM 380 हो सकता है?

उत्तर: नहीं, क्योंकि 380, 18 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है।

Q47 शून्य (0) कैसी संख्या है?

उत्तर: परिमेय संख्या (0 = 0/1).

Q48 1/√7 कैसी संख्या है?

उत्तर: अपरिमेय संख्या।

Q49 35/50 का दशमलव प्रसार क्या होगा?

उत्तर: 7/10 = 0.7 (सांत)।

Q50 'The Elements' पुस्तक के लेखक कौन हैं जिसमें यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उल्लेख है?

उत्तर: यूक्लिड (Euclid)।

भाग 2: 25 लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर (2 अंक वाले)

लघु प्रश्न 1 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करके 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ 225 > 135 है।
चरण 1: 225 = 135 × 1 + 90 (चूंकि शेषफल 90 ≠ 0)
चरण 2: 135 = 90 × 1 + 45 (चूंकि शेषफल 45 ≠ 0)
चरण 3: 90 = 45 × 2 + 0
यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया और इस चरण का भाजक 45 है।
अतः HCF(135, 225) = 45.

लघु प्रश्न 2 यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म से 867 और 255 का म.स.प. (HCF) ज्ञात कीजिए।

हल:
867 > 255.
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
अंतिम भाजक 51 है। अतः HCF(867, 255) = 51.

लघु प्रश्न 3 संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
140 = 2 × 70
= 2 × 2 × 35
= 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7.

लघु प्रश्न 4 संख्या 156 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
156 = 2 × 78
= 2 × 2 × 39
= 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13.

लघु प्रश्न 5 अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात कीजिए और फिर इनका LCM ज्ञात कीजिए।

हल:
96 = 2⁵ × 3
404 = 2² × 101
HCF(96, 404) = 2² = 4.
हम जानते हैं: LCM = (a × b) / HCF
LCM(96, 404) = (96 × 404) / 4 = 96 × 101 = 9696.

लघु प्रश्न 6 यदि HCF(306, 657) = 9 दिया है, तो LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:
सूत्र: LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
LCM(306, 657) = (306 × 657) / HCF(306, 657)
= (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22,338.

लघु प्रश्न 7 जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल:
यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त होना चाहती है, तो उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों का होना अनिवार्य है (अर्थात् 2 × 5 = 10 रूप)।
यहाँ 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ.
6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 हैं, 5 नहीं है।
अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के अनुसार, ऐसी कोई प्राकृत संख्या n नहीं है जिसके लिए 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सके।

लघु प्रश्न 8 व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 भाज्य संख्या क्यों है?

हल:
7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1)
= 13 × (77 + 1) = 13 × 78 = 13 × (2 × 3 × 13)
चूंकि दी गई संख्या को 1 और स्वयं के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंडों (2, 3, 13) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अतः यह एक भाज्य संख्या है।

लघु प्रश्न 9 सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
यदि संभव हो तो माना कि 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या r है।
3 + 2√5 = r ⇒ 2√5 = r - 3 ⇒ √5 = (r - 3) / 2.
चूंकि r परिमेय है, अतः (r - 3)/2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि √5 एक परिमेय संख्या है, जो कि इस सर्वमान्य तथ्य का विरोधाभास है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना असत्य है। अतः 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

लघु प्रश्न 10 0.6 (6 पर बार) को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
माना x = 0.6666... ...(1)
दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर:
10x = 6.6666... ...(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर:
9x = 6 ⇒ x = 6/9 = 2/3.

लघु प्रश्न 11 0.47 (7 पर बार) को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
माना x = 0.4777... ...(1)
10 से गुणा करने पर: 10x = 4.777... ...(2)
100 से गुणा करने पर: 100x = 47.777... ...(3)
(3) में से (2) घटाने पर: 90x = 43 ⇒ x = 43/90.

लघु प्रश्न 12 बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि 13/3125 का दशमलव प्रसार सांत है या अशांत आवर्ती।

हल:
हर 3125 का अभाज्य गुणनखंडन:
3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵ = 2⁰ × 5⁵.
चूंकि हर का गुणनखंड 2ⁿ × 5^m के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार सांत (Terminating) है।

लघु प्रश्न 13 64/455 का दशमलव प्रसार सांत है या अशांत? कारण दीजिए।

हल:
हर 455 = 5 × 7 × 13.
चूंकि हर के गुणनखंड में 5 के अतिरिक्त 7 और 13 भी उपस्थित हैं (यह 2ⁿ × 5^m रूप का नहीं है), अतः इसका दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।

लघु प्रश्न 14 अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 12, 15 और 21 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = उभयनिष्ठ न्यूनतम घात = 3¹ = 3.
LCM = सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात = 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420.

लघु प्रश्न 15 सिद्ध कीजिए कि 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना 1/√2 एक परिमेय संख्या a/b है (जहाँ a, b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, b ≠ 0)।
व्युत्क्रम करने पर: √2 = b/a.
चूंकि b और a पूर्णांक हैं, अतः b/a एक परिमेय संख्या है।
इससे सिद्ध होता है कि √2 एक परिमेय संख्या है, जो कि सर्वविदित असत्य है।
अतः 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।

लघु प्रश्न 16 किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि रवि को 12 मिनट लगते हैं। वे दोनों एक ही स्थान और समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल:
पुनः मिलने का समय = LCM(18, 12).
18 = 2 × 3²
12 = 2² × 3
LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36 मिनट.
अतः वे 36 मिनट बाद पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।

लघु प्रश्न 17 17/8 का दशमलव प्रसार लिखिए।

हल:
17/8 = 17 / 2³ = (17 × 5³) / (2³ × 5³)
= (17 × 125) / 10³ = 2125 / 1000 = 2.125.

लघु प्रश्न 18 35/50 का दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।

हल:
35/50 = 7/10 = 0.7.

लघु प्रश्न 19 दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप का तथा विषम पूर्णांक 2q + 1 के रूप का होता है।

हल:
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से a = bq + r. यहाँ b = 2 लेने पर r = 0 या 1.
यदि r = 0, तो a = 2q (जो 2 से विभाज्य है, अतः सम है)।
यदि r = 1, तो a = 2q + 1 (जो 2 से विभाज्य नहीं है, अतः विषम है)।

लघु प्रश्न 20 दो संख्याओं का म.स.प. (HCF) 13 और ल.स.प. (LCM) 182 है। यदि एक संख्या 26 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:
दूसरी संख्या = (HCF × LCM) / पहली संख्या
= (13 × 182) / 26 = 182 / 2 = 91.

लघु प्रश्न 21 0.15 को परिमेय संख्या के सरलतम रूप में लिखिए।

हल:
0.15 = 15/100 = (15 ÷ 5) / (100 ÷ 5) = 3/20.

लघु प्रश्न 22 परिमेय संख्या 43/(2⁴ × 5³) का दशमलव प्रसार कितने स्थानों बाद सांत होगा?

हल:
हर में 2 की अधिकतम घात 4 है (चूंकि 4 > 3), अतः इसका दशमलव प्रसार 4 दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा।

लघु प्रश्न 23 सिद्ध कीजिए कि 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना 7√5 एक परिमेय संख्या a/b है (b ≠ 0).
√5 = a / (7b).
चूंकि a और b पूर्णांक हैं, अतः a/(7b) एक परिमेय संख्या है। इससे सिद्ध होता है कि √5 परिमेय है, जो कि असत्य है।
अतः 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

लघु प्रश्न 24 क्या 7 × 5 × 3 × 2 + 3 एक अभाज्य संख्या है? कारण दीजिए।

हल:
3 उभयनिष्ठ लेने पर: 3 × (7 × 5 × 2 + 1) = 3 × (70 + 1) = 3 × 71.
चूंकि इसके दो से अधिक गुणनखंड हैं, अतः यह भाज्य संख्या है, अभाज्य नहीं।

लघु प्रश्न 25 510 और 92 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल:
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2² × 23
HCF = 2¹ = 2.
LCM = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 4 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23,460.

भाग 3: 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर (5 अंक वाले – बोर्ड मॉडल)

दीर्घ प्रश्न 1 सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (BSEB का सबसे प्रसिद्ध प्रश्न)

हल:
उपपत्ति:
माना इसके विपरीत कि √5 एक परिमेय संख्या है।
अतः हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (b ≠ 0) प्राप्त कर सकते हैं कि:
√5 = a / b  (जहाँ a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।

वज्र-गुणन करने पर: a = b√5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
a² = 5b² ...(समीकरण 1)

समीकरण (1) से स्पष्ट है कि 5, a² को विभाजित करता है।
प्रमेय के अनुसार, यदि 5, a² को विभाजित करता है, तो 5, a को भी विभाजित करेगा। ...(कथन A)

अतः हम a = 5c लिख सकते हैं (जहाँ c कोई पूर्णांक है)।
a का यह मान समीकरण (1) में रखने पर:
(5c)² = 5b²
25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²

इसका अर्थ है कि 5, b² को विभाजित करता है, इसलिए 5, b को भी विभाजित करेगा। ...(कथन B)

कथन (A) और (B) से यह निष्कर्ष निकलता है कि 5, a और b दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
परंतु यह हमारी इस प्रारंभिक मान्यता का विरोधाभास है कि a और b सह-अभाज्य हैं (उनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।
यह विरोधाभास हमारी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि √5 एक परिमेय संख्या है।
अतः निष्कर्ष निकलता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 2 सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना √3 एक परिमेय संख्या a/b है, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (b ≠ 0)।
a = b√3 ⇒ a² = 3b² ...(1)
अतः 3, a² को विभाजित करता है ⇒ 3, a को विभाजित करता है।

माना a = 3c. मान समीकरण (1) में रखने पर:
(3c)² = 3b² ⇒ 9c² = 3b² ⇒ b² = 3c².
अतः 3, b² को विभाजित करता है ⇒ 3, b को विभाजित करता है।

इस प्रकार 3, a और b दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो कि a और b के सह-अभाज्य होने का विरोधाभास है।
अतः हमारी कल्पना असत्य है। अतः √3 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 3 सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
माना √2 = a/b परिमेय है, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
a = b√2 ⇒ a² = 2b² ...(1)
अतः 2, a² को विभाजित करता है ⇒ 2, a को भी विभाजित करता है।
माना a = 2c. मान (1) में रखने पर:
4c² = 2b² ⇒ b² = 2c².
अतः 2, b² को विभाजित करता है ⇒ 2, b को भी विभाजित करता है।
अतः 2, a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो पूर्व मान्यता का विरोधाभास है।
अतः √2 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 4 दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है तथा b = 6.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से: a = 6q + r, जहाँ 0 ≤ r < 6.
अतः r के संभावित मान 0, 1, 2, 3, 4 या 5 हो सकते हैं।

इस प्रकार a संख्याएँ हो सकती हैं:
a = 6q = 2(3q) ⇒ सम संख्या
a = 6q + 1 = 2(3q) + 1 ⇒ विषम संख्या
a = 6q + 2 = 2(3q + 1) ⇒ सम संख्या
a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1 ⇒ विषम संख्या
a = 6q + 4 = 2(3q + 2) ⇒ सम संख्या
a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1 ⇒ विषम संख्या

चूंकि 6q, 6q + 2 तथा 6q + 4, 2 से पूर्णतः विभाज्य हैं, अतः ये सम पूर्णांक हैं।
अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का ही होता है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 5 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

हल:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है तथा b = 3.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से a = 3q + r, जहाँ r = 0, 1, 2.
अतः a = 3q, 3q + 1 या 3q + 2.

स्थिति 1 (जब a = 3q):
a² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m (जहाँ m = 3q²).

स्थिति 2 (जब a = 3q + 1):
a² = (3q + 1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1 (जहाँ m = 3q² + 2q).

स्थिति 3 (जब a = 3q + 2):
a² = (3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1
= 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1 (जहाँ m = 3q² + 4q + 1).

अतः किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग सदैव 3m या 3m + 1 के रूप का होता है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 6 यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

हल:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है तथा b = 3. a = 3q, 3q + 1 या 3q + 2.

स्थिति 1 (a = 3q):
a³ = (3q)³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m (जहाँ m = 3q³).

स्थिति 2 (a = 3q + 1):
a³ = (3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1.

स्थिति 3 (a = 3q + 2):
a³ = (3q + 2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8.

अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का घन सदैव 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 7 किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

हल:
स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF(616, 32).
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म का प्रयोग करने पर:
616 > 32.
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
यहाँ अंतिम शेषफल 0 है तथा भाजक 8 है।
अतः HCF(616, 32) = 8.
अतः उन स्तंभों की अधिकतम संख्या 8 है।

दीर्घ प्रश्न 8 एक मिठाई विक्रेता के पास 420 काजू की बर्फियाँ और 130 बादाम की बर्फियाँ हैं। वह इनकी ऐसी ढेरियाँ बनाना चाहती है कि प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या समान रहे तथा ये ढेरियाँ बर्फी की परात में न्यूनतम स्थान घेरें। इस काम के लिए, प्रत्येक ढेरी में कितनी बर्फियाँ रखी जा सकती हैं?

हल:
न्यूनतम स्थान घेरने के लिए प्रत्येक ढेरी में अधिकतम बर्फियाँ होनी चाहिए।
प्रत्येक ढेरी में बर्फियों की संख्या = HCF(420, 130).
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म से:
420 = 130 × 3 + 30
130 = 30 × 4 + 10
30 = 10 × 3 + 0
अंतिम भाजक 10 है।
अतः HCF(420, 130) = 10.
अतः प्रत्येक ढेरी में 10 बर्फियाँ रखी जा सकती हैं।

दीर्घ प्रश्न 9 0.235 (35 पर बार) को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।

हल:
माना x = 0.2353535... ...(1)
एक अंक (2) की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है, अतः दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर:
10x = 2.353535... ...(2)
दो अंकों (35) की पुनरावृत्ति हो रही है, अतः (2) को 100 से गुणा करने पर:
1000x = 235.353535... ...(3)
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर:
1000x - 10x = 235.3535... - 2.3535...
990x = 233
x = 233 / 990.
अतः अभीष्ट परिमेय रूप 233/990 है।

दीर्घ प्रश्न 10 सिद्ध कीजिए कि √2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:
यदि संभव हो तो माना कि √2 + √3 एक परिमेय संख्या x है।
x = √2 + √3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
x² = (√2 + √3)²
x² = 2 + 3 + 2√6
x² = 5 + 2√6
x² - 5 = 2√6
√6 = (x² - 5) / 2.

चूंकि x परिमेय है, अतः (x² - 5)/2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
इससे यह सिद्ध होता है कि √6 एक परिमेय संख्या है, जो कि असत्य है (क्योंकि 6 पूर्ण वर्ग नहीं है और √6 अपरिमेय है)।
अतः हमारा मानना गलत था। अतः √2 + √3 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 11 दर्शाइए कि किसी प्राकृत संख्या n के लिए (12)ⁿ का अंतिम अंक कभी शून्य (0) या पाँच (5) नहीं हो सकता।

हल:
(i) यदि कोई संख्या शून्य (0) पर समाप्त होती है, तो उसके अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 दोनों का होना अनिवार्य है।
(ii) यदि कोई संख्या पाँच (5) पर समाप्त होती है, तो वह 5 से विभाज्य होनी चाहिए (गुणनखंड 5 होना चाहिए) परंतु 2 नहीं होना चाहिए।

यहाँ 12ⁿ = (2² × 3)ⁿ = 2²ⁿ × 3ⁿ.
12ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 ही हैं, 5 अनुपस्थित है।
अतः अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता से 12ⁿ कभी भी अंक 0 या 5 पर समाप्त नहीं हो सकता।

दीर्घ प्रश्न 12 सिद्ध कीजिए कि √p + √q एक अपरिमेय संख्या है, जहाँ p और q भिन्न-भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं।

हल:
माना √p + √q = r (एक परिमेय संख्या है)।
√p = r - √q
दोनों ओर वर्ग करने पर:
p = r² + q - 2r√q
2r√q = r² + q - p
√q = (r² + q - p) / (2r).

चूंकि r, p, q परिमेय पूर्णांक हैं, अतः दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है।
इससे निष्कर्ष निकलता है कि √q एक परिमेय संख्या है, जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि किसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल अपरिमेय होता है।
अतः √p + √q एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

दीर्घ प्रश्न 13 255 और 867 का HCF यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से ज्ञात कीजिए और इसे 867m + 255n के रूप में व्यक्त कीजिए।

हल:
867 = 255 × 3 + 102 ...(1)
255 = 102 × 2 + 51 ...(2)
102 = 51 × 2 + 0 ...(3)
अतः HCF = 51.

समीकरण (2) से: 51 = 255 - 102 × 2
समीकरण (1) से 102 = 867 - 255 × 3 रखने पर:
51 = 255 - [ 867 - 255 × 3 ] × 2
51 = 255 - 867 × 2 + 255 × 6
51 = 255 × 7 + 867 × (-2)
अतः 51 = 867(-2) + 255(7), जहाँ m = -2 तथा n = 7.

दीर्घ प्रश्न 14 सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन धनात्मक पूर्णांकों a, b, c के लिए HCF(a, b, c) × LCM(a, b, c) ≠ a × b × c होता है। एक उदाहरण द्वारा स्पष्ट कीजिए।

हल:
सूत्र HCF × LCM = a × b केवल दो संख्याओं के लिए मान्य है, तीन संख्याओं के लिए नहीं।

उदाहरण: माना तीन संख्याएँ 6, 8 और 12 हैं।
6 = 2 × 3
8 = 2³
12 = 2² × 3
HCF(6, 8, 12) = 2¹ = 2.
LCM(6, 8, 12) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24.

HCF × LCM = 2 × 24 = 48.
तीनों संख्याओं का गुणनफल = 6 × 8 × 12 = 576.
यहाँ 48 ≠ 576, अतः सिद्ध हुआ कि तीन संख्याओं के लिए यह सूत्र लागू नहीं होता।

दीर्घ प्रश्न 15 परिमेय संख्या 257/5000 के हर को 2^m × 5ⁿ के रूप में लिखिए तथा बिना वास्तविक विभाजन किए इसका दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।

हल:
हर 5000 का अभाज्य गुणनखंडन:
5000 = 5 × 1000 = 5 × 10³ = 5 × 2³ × 5³ = 2³ × 5⁴.
यहाँ m = 3 तथा n = 4 है।

दशमलव प्रसार हेतु 2 और 5 की घातें समान (4) बनानी होंगी। अतः अंश और हर में 2 से गुणा करने पर:
257 / 5000 = (257 × 2) / (2³ × 5⁴ × 2)
= 514 / (2⁴ × 5⁴) = 514 / (10)⁴ = 514 / 10000 = 0.0514.
अतः इसका दशमलव प्रसार 0.0514 है।

मैट्रिक परीक्षा उपयोगी महत्त्वपूर्ण टिप्स (BSEB Exam Tips)

• √2, √3 या √5 की अपरिमेयता का सिद्धीकरण: यह प्रश्न बोर्ड परीक्षा में 3 या 5 अंक में निश्चित रूप से पूछा जाता है। इसे 'विरोधाभास विधि' के सभी चरणों (कथन A, B और सह-अभाज्य की परिभाषा) के साथ स्वच्छ लिखें।
• यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म: HCF ज्ञात करते समय चरणबद्ध तरीके से लिखें। अंतिम भाजक ही HCF होता है, भागफल नहीं।
• सांत और अशांत की पहचान: भिन्न को पहले सरलतम रूप (काटकर) में लाएँ, फिर हर का गुणनखंड देखें। उदाहरण के लिए 6/15 को सीधे 15 देखकर अशांत न कहें, 6/15 = 2/5 (सांत) होता है।
• π और 22/7 का अंतर: π एक अपरिमेय संख्या है, जबकि 22/7 एक परिमेय संख्या है। यह वस्तुनिष्ठ प्रश्न का सबसे लोकप्रिय प्रश्न है।
• सूत्र की जाँच: दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = a × b का उपयोग करके उत्तर की जाँच स्वयं परीक्षा हॉल में कर लें।

निष्कर्ष (Conclusion)

बिहार बोर्ड मैट्रिक गणित परीक्षा में 'अध्याय 1 – वास्तविक संख्याएँ' पूरे पाठ्यक्रम की नींव है। यह अध्याय अत्यंत सरल और 100% स्कोरिंग है। इस पोस्ट में संकलित सभी 50 वस्तुनिष्ठ, 25 लघु और 15 दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों को यदि आप अपनी कॉपी में लिखकर अभ्यास कर लेते हैं, तो बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से आने वाला एक भी अंक आपसे नहीं छूटेगा। इस उत्कृष्ट अध्ययन सामग्री को अपने मित्रों और सहपाठियों के साथ अवश्य शेयर करें और परीक्षा में पूरे 100 अंक प्राप्त करने का लक्ष्य बनाएं।