अध्याय 1 – वास्तविक संख्या | BSEB 10 Mathematics Objective

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 1 – वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
100 महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) उत्तर एवं विस्तृत व्याख्या सहित

अध्याय परिचय (Chapter Introduction)

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) बिहार बोर्ड मैट्रिक गणित पाठ्यक्रम का प्रथम एवं अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से प्रतिवर्ष 8 से 10 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQs) पूछे जाते हैं। इस अध्याय में मुख्य रूप से यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, म०स० (HCF) एवं ल०स० (LCM) के बीच संबंध, परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं की पहचान, शांत एवं अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार, तथा आवर्ती दशमलव को p/q के रूप में व्यक्त करने से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।

महत्वपूर्ण सूत्र एवं मुख्य संकल्पनाएँ (Key Formulas & Concepts)

संकल्पना / प्रमेय	गणितीय रूप	मुख्य विवरण
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका	a = bq + r	जहाँ 0 ≤ r < b (भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल)
म०स० और ल०स० का संबंध	HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b	दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए गुणनफल संबंध
शांत दशमलव प्रसार की शर्त	हर का अभाज्य गुणनखंड = 2m × 5n	जहाँ m, n ≥ 0 (अऋणात्मक पूर्णांक) हैं।
अशांत आवर्ती दशमलव प्रसार	हर में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड (जैसे 3, 7, 11 आदि) हो।	संख्या परिमेय होती है परन्तु प्रसार अशांत आवर्ती होता है।
परिमेय संख्या का मानक रूप	p/q, जहाँ q ≠ 0 तथा HCF(p, q) = 1	p और q सह-अभाज्य पूर्णांक होते हैं।
सम एवं विषम पूर्णांक रूप	सम = 2q या 2m | विषम = 2q + 1 या 2m + 1	जहाँ q कोई पूर्णांक है।

परीक्षा सुपर-ट्रिक्स (BSEB Exam Short Tricks):

• π और 22/7 में अंतर: π एक अपरिमेय संख्या है, जबकि 22/7 एक परिमेय संख्या (p/q रूप) है।
• लगातार संख्याओं का म०स०: किन्हीं भी दो लगातार प्राकृत संख्याओं का HCF सदैव 1 होता है। दो लगातार सम संख्याओं का HCF सदैव 2 होता है।
• सबसे छोटी अभाज्य और भाज्य: सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है तथा सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है। इनका गुणनफल = 2 × 4 = 8 और HCF = 2 होता है।
• आवर्ती दशमलव शॉर्टकट: 0.ā = a/9, 0.ab̅ = ab/99, 0.a b̄ = (ab - a)/90।

100 वस्तुनिष्ठ प्रश्न, उत्तर एवं विस्तृत व्याख्या (100 Objective MCQs)

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r में शेषफल r के लिए कौन-सा संबंध सही है?

(A) 0 < r ≤ b

(B) 0 ≤ r < b

(C) 0 ≤ r ≤ b

(D) 0 < r < b

उत्तर: (B) 0 ≤ r < b

व्याख्या: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार शेषफल r हमेशा 0 के बराबर या 0 से बड़ा तथा भाजक b से छोटा होता है (0 ≤ r < b)।

2. निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है?

(A) √4

(B) √9

(C) √7

(D) √16

उत्तर: (C) √7

व्याख्या: √4 = 2, √9 = 3 तथा √16 = 4 परिमेय संख्याएँ हैं। 7 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है, अतः √7 एक अपरिमेय संख्या है।

3. π (पाई) किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) प्राकृत संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: π का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-repeating) होता है, इसलिए π सदैव एक अपरिमेय संख्या होती है।

4. 22/7 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) अभाज्य संख्या

(D) अपरिभाषित

उत्तर: (A) परिमेय संख्या

व्याख्या: 22/7 स्पष्ट रूप से p/q के रूप में व्यक्त है जहाँ p = 22, q = 7 (q ≠ 0) दोनों पूर्णांक हैं, अतः यह एक परिमेय संख्या है।

5. दो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं का म०स० (HCF) क्या होता है?

(A) 2

(B) 0

(C) 1

(D) अनन्त

उत्तर: (C) 1

व्याख्या: सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः उनका HCF सदैव 1 होता है।

6. यदि दो धनात्मक पूर्णांक a और b हों, तो HCF(a, b) × LCM(a, b) बराबर होता है:

(A) a + b

(B) a - b

(C) a × b

(D) a / b

उत्तर: (C) a × b

व्याख्या: आधारभूत सूत्रानुसार किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों के HCF और LCM का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

7. सबसे छोटी अभाज्य (Prime) संख्या कौन-सी है?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

उत्तर: (C) 2

व्याख्या: सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। यह एकमात्र ऐसी अभाज्य संख्या भी है जो सम (Even) है। (नोट: 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य)।

8. सबसे छोटी भाज्य (Composite) संख्या कौन-सी है?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (D) 4

व्याख्या: सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है (जिसके गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं)।

9. सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का गुणनफल क्या होगा?

(A) 10

(B) 8

(C) 6

(D) 4

उत्तर: (B) 8

व्याख्या: सबसे छोटी अभाज्य संख्या = 2, सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4। गुणनफल = 2 × 4 = 8।

10. सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: HCF(2, 4) = 2 होता है।

11. भिन्न 17/8 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

(A) शांत (Terminating)

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (A) शांत (Terminating)

व्याख्या: हर = 8 = 2³ = 2³ × 5⁰। चूँकि हर का अभाज्य गुणनखंड 2^m × 5ⁿ के रूप का है, अतः दशमलव प्रसार शांत होगा।

12. भिन्न 6/15 का दशमलव प्रसार क्या है?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) अपरिमेय

उत्तर: (A) शांत

व्याख्या: 6/15 को सरलतम रूप में लिखने पर: 6/15 = 2/5। अब हर = 5 = 2⁰ × 5¹ है, अतः इसका दशमलव प्रसार शांत (0.4) होगा।

13. निम्नलिखित में से किसका दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती (Non-terminating repeating) है?

(A) 17/8

(B) 3/8

(C) 169/(2² × 5²)

(D) 77/210

उत्तर: (D) 77/210

व्याख्या: 77/210 = 11/30 = 11 / (2 × 3 × 5)। हर में 3 उपस्थित है जो 2 और 5 के अतिरिक्त है, अतः प्रसार अशांत आवर्ती होगा।

14. दो लगातार संख्याओं का म०स० (HCF) क्या होता है?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 4

उत्तर: (B) 1

व्याख्या: किन्हीं भी दो लगातार प्राकृत संख्याओं (जैसे 4 और 5, 14 और 15) का म०स० सदैव 1 होता है।

15. दो लगातार सम संख्याओं का म०स० (HCF) क्या होता है?

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: किन्हीं भी दो क्रमागत सम संख्याओं (जैसे 2 और 4, 6 और 8, 18 और 20) का म०स० सदैव 2 होता है।

16. संख्या 0.7̄ (0.7 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

(A) 7/10

(B) 7/9

(C) 7/99

(D) 7/90

उत्तर: (B) 7/9

व्याख्या: शॉर्ट ट्रिक: 0.ā = a/9। अतः 0.7̄ = 7/9।

17. संख्या 0.23̅ (23 पर बार) का परिमेय रूप क्या है?

(A) 23/100

(B) 23/90

(C) 23/99

(D) 23/9

उत्तर: (C) 23/99

व्याख्या: दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है: 0.ab̅ = ab/99 = 23/99।

18. संख्या 0.13̄ (केवल 3 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

(A) 13/99

(B) 12/90 = 2/15

(C) 13/90

(D) 13/100

उत्तर: (B) 12/90 = 2/15

व्याख्या: ट्रिक: (13 - 1)/90 = 12/90 = 2/15।

19. 5 - √3 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक

(D) प्राकृतिक संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का अंतर सदैव अपरिमेय होता है।

20. (3 + √3)(3 - √3) किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) भिन्न

(D) काल्पनिक संख्या

उत्तर: (A) परिमेय संख्या

व्याख्या: (a + b)(a - b) = a² - b² = 3² - (√3)² = 9 - 3 = 6, जो एक परिमेय संख्या है।

21. 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक (Exponent) क्या है?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

उत्तर: (C) 4

व्याख्या: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2⁴ × 3²। अतः 2 का घातांक 4 है।

22. 5005 के कितने अभाज्य गुणनखंड हैं?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

उत्तर: (C) 4

व्याख्या: 5005 = 5 × 7 × 11 × 13। इसके कुल 4 अभाज्य गुणनखंड हैं।

23. यदि p और q दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनका म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) p × q

(B) 1

(C) p

(D) q

उत्तर: (B) 1

व्याख्या: किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं में केवल 1 ही सार्व गुणनखंड होता है, अतः HCF सदैव 1 होता है।

24. प्रश्न 23 में p और q का ल०स० (LCM) क्या होगा?

(A) 1

(B) p × q

(C) p + q

(D) p / q

उत्तर: (B) p × q

व्याख्या: दो अभाज्य संख्याओं का LCM उनके गुणनफल pq के बराबर होता है।

25. प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक किस रूप का होता है? (जहाँ q एक पूर्णांक है)

(A) 2q

(B) 2q + 1

(C) q + 1

(D) 2q - 1

उत्तर: (A) 2q

व्याख्या: सम संख्याएँ सदैव 2 से पूर्णतः विभाज्य होती हैं, अतः प्रत्येक सम पूर्णांक 2q के रूप का होता है।

26. प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक का सामान्य रूप क्या होता है?

(A) 2q

(B) 2q + 1

(C) 4q

(D) 2q + 2

उत्तर: (B) 2q + 1

व्याख्या: विषम पूर्णांक में 2 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है, अतः इसका रूप 2q + 1 होता है।

27. निम्नलिखित में से कौन-सा विषम धनात्मक पूर्णांक का रूप हो सकता है?

(A) 6q + 2

(B) 6q + 4

(C) 6q + 1

(D) 6q

उत्तर: (C) 6q + 1

व्याख्या: 6q, 6q + 2, 6q + 4 सम संख्याएँ हैं। केवल 6q + 1 (और 6q + 3, 6q + 5) विषम पूर्णांक हैं।

28. संख्या 2.13113111311113... किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) शांत संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: यह प्रसार न तो समाप्त हो रहा है और न ही किसी निश्चित ब्लॉक की पुनरावृत्ति हो रही है (अनवसानी अनावर्ती), अतः यह अपरिमेय है।

29. √(64/81) का सरलतम मान किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) प्राकृत संख्या नहीं है

(D) अवास्तविक

उत्तर: (A) परिमेय संख्या

व्याख्या: √(64/81) = 8/9, जो कि p/q रूप की एक परिमेय संख्या है।

30. 11/25 का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद समाप्त होगा?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) कभी नहीं

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: हर = 25 = 5²। 2 और 5 में अधिकतम घात 2 है, अतः यह दशमलव के 2 स्थानों (0.44) के बाद समाप्त होगा।

31. 13/(2³ × 5⁴) का दशमलव प्रसार कितने स्थानों के बाद शांत होगा?

(A) 3

(B) 4

(C) 7

(D) 12

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: 2 और 5 की घातों में अधिकतम घात max(3, 4) = 4 है, अतः प्रसार 4 स्थानों बाद शांत होगा।

32. यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं और a = bq + r है, तो HCF(a, b) किसके बराबर होगा?

(A) HCF(b, r)

(B) HCF(q, r)

(C) HCF(a, q)

(D) HCF(a, r)

उत्तर: (A) HCF(b, r)

व्याख्या: यूक्लिड विभाजन कलन विधि (एल्गोरिद्म) का मूल सिद्धांत है: HCF(a, b) = HCF(b, r)।

33. 96 और 404 का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

उत्तर: (B) 4

व्याख्या: 96 = 2⁵ × 3 तथा 404 = 2² × 101। उभयनिष्ठ निम्नतम घात = 2² = 4।

34. यदि HCF(96, 404) = 4 है, तो LCM(96, 404) का मान क्या होगा?

(A) 9696

(B) 4040

(C) 9640

(D) 38784

उत्तर: (A) 9696

व्याख्या: LCM = (a × b) / HCF = (96 × 404) / 4 = 96 × 101 = 9696।

35. दो संख्याओं का गुणनफल 2166 है एवं उनका म०स० (HCF) 19 है। उनका ल०स० (LCM) क्या होगा?

(A) 38

(B) 57

(C) 114

(D) 214

उत्तर: (C) 114

व्याख्या: LCM = गुणनफल / HCF = 2166 / 19 = 114।

36. 11/15 का दशमलव प्रसार क्या होगा?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (B) अशांत आवर्ती

व्याख्या: हर = 15 = 3 × 5। हर में 3 उपस्थित होने के कारण दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती होगा।

37. √3 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) प्राकृत

(D) पूर्णांक

उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: 3 एक अभाज्य संख्या है, और किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।

38. 1/√2 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) सम संख्या

(D) पूर्ण संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: 1 (शून्येतर परिमेय) और √2 (अपरिमेय) का भागफल सदैव अपरिमेय होता है।

39. 2√3 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) भिन्न संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: एक शून्येतर परिमेय संख्या (2) और अपरिमेय संख्या (√3) का गुणनफल अपरिमेय होता है।

40. निम्नलिखित में से कौन परिमेय संख्या है?

(A) √3

(B) 2√2 / √2

(C) 4 + √5

(D) √6

उत्तर: (B) 2√2 / √2

व्याख्या: 2√2 / √2 = 2 = 2/1, जो कि एक परिमेय संख्या है।

41. 6, 72 और 120 का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 6

(B) 12

(C) 24

(D) 360

उत्तर: (A) 6

व्याख्या: 6 = 2 × 3; 72 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5। उभयनिष्ठ गुणनखंड = 2 × 3 = 6।

42. प्रश्न 41 में 6, 72 और 120 का ल०स० (LCM) क्या होगा?

(A) 72

(B) 120

(C) 360

(D) 720

उत्तर: (C) 360

व्याख्या: अधिकतम घातों का गुणनफल = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360।

43. यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 6ⁿ का अंतिम अंक कभी शून्य (0) पर समाप्त हो सकता है?

(A) हाँ, n = 5 पर

(B) कभी नहीं

(C) केवल n = 0 पर

(D) n = 10 पर

उत्तर: (B) कभी नहीं

व्याख्या: 0 पर समाप्त होने के लिए अभाज्य गुणनखंड में 2 × 5 होना अनिवार्य है। 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ में 5 उपस्थित नहीं है, अतः यह कभी 0 पर समाप्त नहीं हो सकता।

44. 4ⁿ का अंतिम अंक कभी शून्य हो सकता है (जहाँ n ∈ N)?

(A) हाँ

(B) कभी नहीं

(C) n = 2 पर

(D) n = 4 पर

उत्तर: (B) कभी नहीं

व्याख्या: 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ। इसके गुणनखंड में 5 नहीं आता, अतः यह कभी शून्य पर समाप्त नहीं होगा।

45. 7 × 11 × 13 + 13 किस प्रकार की संख्या है?

(A) भाज्य संख्या

(B) अभाज्य संख्या

(C) विषम अभाज्य संख्या

(D) अपरिमेय संख्या

उत्तर: (A) भाज्य संख्या

व्याख्या: 13 कॉमन लेने पर: 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78। इसके 2 से अधिक गुणनखंड हैं, अतः यह भाज्य (Composite) संख्या है।

46. 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 किस प्रकार की संख्या है?

(A) अभाज्य संख्या

(B) भाज्य संख्या

(C) अपरिमेय संख्या

(D) ऋणात्मक संख्या

उत्तर: (B) भाज्य संख्या

व्याख्या: 5(7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × 1009। यह 5 से विभाज्य है, अतः यह भाज्य संख्या है।

47. संख्या 0.32̄ (केवल 2 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

(A) 32/99

(B) 29/90

(C) 32/90

(D) 29/99

उत्तर: (B) 29/90

व्याख्या: ट्रिक: (32 - 3)/90 = 29/90।

48. संख्या 0.6̄ (6 पर बार) का सरलतम परिमेय रूप क्या है?

(A) 3/5

(B) 2/3

(C) 6/10

(D) 1/3

उत्तर: (B) 2/3

व्याख्या: 0.6̄ = 6/9 = 2/3।

49. √2 और √3 के बीच एक परिमेय संख्या क्या हो सकती है?

(A) 1.5

(B) 1.2

(C) 1.8

(D) 2.0

उत्तर: (A) 1.5

व्याख्या: √2 ≈ 1.414 तथा √3 ≈ 1.732। इनके बीच 1.5 स्थित है, जो 3/2 (परिमेय संख्या) है।

50. यदि दो संख्याओं का म०स० (HCF) 25 और ल०स० (LCM) 50 है, तो संख्याओं का गुणनफल क्या होगा?

(A) 1250

(B) 1150

(C) 1350

(D) 1050

उत्तर: (A) 1250

व्याख्या: संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM = 25 × 50 = 1250।

51. 35/50 का दशमलव प्रसार क्या होगा?

(A) 0.7 (शांत)

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) 0.07

उत्तर: (A) 0.7 (शांत)

व्याख्या: 35/50 = 7/10 = 0.7, जो कि शांत है।

52. 129 / (2² × 5⁷ × 7⁵) का दशमलव प्रसार कैसा है?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) पूर्णांक

उत्तर: (B) अशांत आवर्ती

व्याख्या: हर में 7⁵ उपस्थित है जो 129 से नहीं कटता, अतः प्रसार अशांत आवर्ती होगा।

53. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) किसका संग्रह हैं?

(A) केवल परिमेय संख्याओं का

(B) केवल अपरिमेय संख्याओं का

(C) परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं का

(D) केवल पूर्णांकों का

उत्तर: (C) परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं का

व्याख्या: सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संपूर्ण संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

54. 23 / (2³ × 5²) का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) अनिर्धारित

उत्तर: (A) शांत

व्याख्या: हर केवल 2 और 5 की घातों से बना है, अतः दशमलव प्रसार शांत होगा।

55. प्रश्न संख्या 54 का दशमलव मान क्या होगा?

(A) 0.115

(B) 0.0115

(C) 1.15

(D) 0.23

उत्तर: (A) 0.115

व्याख्या: 23 / (8 × 25) = 23 / 200 = (23 × 5) / (200 × 5) = 115 / 1000 = 0.115।

56. यदि दो संख्याओं का गुणनफल 8670 है और उनका HCF 17 है, तो उनका LCM क्या होगा?

(A) 510

(B) 520

(C) 410

(D) 500

उत्तर: (A) 510

व्याख्या: LCM = 8670 / 17 = 510।

57. किसी पूर्णांक m के लिए प्रत्येक सम पूर्णांक का रूप क्या होगा?

(A) m

(B) m + 1

(C) 2m

(D) 2m + 1

उत्तर: (C) 2m

व्याख्या: सम पूर्णांक हमेशा 2 का गुणज होता है, अतः इसका रूप 2m होगा।

58. किसी पूर्णांक m के लिए प्रत्येक विषम पूर्णांक का रूप क्या होगा?

(A) 2m

(B) 2m + 1

(C) m

(D) 2m - 2

उत्तर: (B) 2m + 1

व्याख्या: विषम पूर्णांक का रूप सदैव 2m + 1 (या 2m - 1) होता है।

59. n² - 1, 8 से विभाज्य होता है यदि n एक:

(A) पूर्णांक है

(B) प्राकृत संख्या है

(C) विषम पूर्णांक है

(D) सम पूर्णांक है

उत्तर: (C) विषम पूर्णांक है

व्याख्या: यदि n विषम हो (उदा. n = 3 ⇒ 3² - 1 = 8; n = 5 ⇒ 5² - 1 = 24), तो मान सदैव 8 से पूर्णतः विभाज्य होता है।

60. √12 का परिमेयकरण गुणांक (Rationalising factor) क्या होगा?

(A) √3

(B) √2

(C) √6

(D) 2√3

उत्तर: (A) √3

व्याख्या: √12 = 2√3। इसे परिमेय बनाने के लिए √3 से गुणा करना होगा, अतः परिमेयकरण गुणांक √3 है।

61. 45 तथा 60 का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 45

(B) 15

(C) 3

(D) 5

उत्तर: (B) 15

व्याख्या: 45 = 15 × 3 तथा 60 = 15 × 4। अधिकतम सार्व भाजक 15 है।

62. एक अशून्य (Non-zero) परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल क्या होता है?

(A) हमेशा परिमेय

(B) हमेशा अपरिमेय

(C) एक

(D) दोनों हो सकते हैं

उत्तर: (B) हमेशा अपरिमेय

व्याख्या: अशून्य परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम सदैव अपरिमेय ही आता है।

63. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म दो धनात्मक पूर्णांकों के क्या परिकलित करने की तकनीक है?

(A) ल०स० (LCM)

(B) म०स० (HCF)

(C) भागफल

(D) शेषफल

उत्तर: (B) म०स० (HCF)

व्याख्या: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिद्म मुख्य रूप से दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए प्रयुक्त होता है।

64. संख्या 0.29̅ (29 पर बार) बराबर है:

(A) 29/90

(B) 29/99

(C) 29/100

(D) 27/99

उत्तर: (B) 29/99

व्याख्या: 0.ab̅ = ab/99 = 29/99।

65. 1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

(A) 10

(B) 100

(C) 504

(D) 2520

उत्तर: (D) 2520

व्याख्या: LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 2520 होता है।

66. √10 × √15 बराबर है:

(A) 5√6

(B) 6√5

(C) √30

(D) √25

उत्तर: (A) 5√6

व्याख्या: √(10 × 15) = √150 = √(25 × 6) = 5√6।

67. 3 + 2√5 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) प्राकृत

उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योगफल सदैव अपरिमेय संख्या होता है।

68. 23.43̅ (43 पर बार) को p/q के रूप में व्यक्त करने पर क्या प्राप्त होगा?

(A) 2320/99

(B) 2343/100

(C) 2320/90

(D) 2343/99

उत्तर: (A) 2320/99

व्याख्या: (2343 - 23)/99 = 2320/99।

69. √8 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) शांत

उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: √8 = 2√2, जिसमें √2 अपरिमेय है, अतः √8 भी अपरिमेय संख्या है।

70. दो क्रमिक सम संख्याओं का ल०स० (LCM) हमेशा किससे विभाज्य होता है?

(A) 2 से

(B) 4 से

(C) 8 से

(D) 16 से

उत्तर: (B) 4 से

व्याख्या: क्रमिक सम संख्याएँ 2k और 2(k+1) होती हैं, जिनमें से एक 4 से विभाज्य होगी, अतः LCM सदैव 4 से विभाज्य होता है।

71. 35/50 के हर का अभाज्य गुणनखंड क्या होगा?

(A) 2 × 5²

(B) 2² × 5

(C) 5²

(D) 2 × 5

उत्तर: (A) 2 × 5²

व्याख्या: 50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 5²।

72. 12, 15 और 21 का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 3

(B) 5

(C) 7

(D) 15

उत्तर: (A) 3

व्याख्या: 12 = 3 × 4; 15 = 3 × 5; 21 = 3 × 7। तीनों में उभयनिष्ठ 3 है।

73. प्रश्न संख्या 72 में 12, 15 और 21 का ल०स० (LCM) क्या होगा?

(A) 420

(B) 210

(C) 140

(D) 840

उत्तर: (A) 420

व्याख्या: LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 4 × 15 × 7 = 420।

74. 64 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का अधिकतम घातांक क्या है?

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 8

उत्तर: (C) 6

व्याख्या: 64 = 2⁶, अतः घातांक 6 है।

75. संख्या (2³ × 3 × 5) तथा (2⁴ × 5 × 7) का म०स० (HCF) क्या होगा?

(A) 40

(B) 560

(C) 1120

(D) 80

उत्तर: (A) 40

व्याख्या: उभयनिष्ठ न्यूनतम घातें = 2³ × 5 = 8 × 5 = 40।

76. संख्या 1.34 को परिमेय संख्या के रूप में लिखने पर प्राप्त होगा:

(A) 134/100 = 67/50

(B) 134/99

(C) 134/90

(D) 67/100

उत्तर: (A) 134/100 = 67/50

व्याख्या: 1.34 = 134/100 = 67/50।

77. क्या दो अभाज्य संख्याओं का म०स० कभी 2 हो सकता है?

(A) हाँ

(B) नहीं, कभी नहीं

(C) केवल सम अभाज्य में

(D) निश्चित नहीं

उत्तर: (B) नहीं, कभी नहीं

व्याख्या: दो भिन्न अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः HCF सदैव 1 ही होगा।

78. यदि a = 2³ × 3 तथा b = 2 × 3 × 5 हो, तो LCM(a, b) क्या होगा?

(A) 120

(B) 60

(C) 240

(D) 30

उत्तर: (A) 120

व्याख्या: LCM = 2³ × 3 × 5 = 8 × 15 = 120।

79. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय किस गणितज्ञ ने प्रतिपादित की थी?

(A) यूक्लिड

(B) कार्ल फ्रेडरिक गॉस

(C) पाइथागोरस

(D) आर्यभट्ट

उत्तर: (B) कार्ल फ्रेडरिक गॉस

व्याख्या: कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक 'Disquisitiones Arithmeticae' में इसका संपूर्ण प्रमाण प्रस्तुत किया था।

80. 156 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात क्या है?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13। घात = 2।

81. 3.27̅ (27 पर बार) किस प्रकार की संख्या है?

(A) एक पूर्णांक

(B) एक परिमेय संख्या

(C) एक अपरिमेय संख्या

(D) एक प्राकृत संख्या

उत्तर: (B) एक परिमेय संख्या

व्याख्या: प्रत्येक अशांत आवर्ती (Non-terminating repeating) संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह परिमेय संख्या है।

82. किसी परिमेय संख्या p/q का दशमलव प्रसार शांत होने के लिए q के अभाज्य गुणनखंडन का रूप होना चाहिए:

(A) 2^m × 3ⁿ

(B) 2^m × 5ⁿ

(C) 3^m × 5ⁿ

(D) केवल 7ⁿ

उत्तर: (B) 2^m × 5ⁿ

व्याख्या: परिमेय संख्या का हर केवल 2 और 5 के गुणनखंडों से बना होना चाहिए (2^m × 5ⁿ)।

83. √5 - 3 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक संख्या

(D) शांत संख्या

उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या

व्याख्या: अपरिमेय संख्या में से परिमेय संख्या घटाने पर परिणाम सदैव अपरिमेय रहता है।

84. 1/7 का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) अपरिमेय

उत्तर: (B) अशांत आवर्ती

व्याख्या: हर में 7 है जो 2 या 5 नहीं है, अतः प्रसार अशांत आवर्ती (0.142857...) होगा।

85. 13/125 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) शून्य

उत्तर: (A) शांत

व्याख्या: 125 = 5³ = 2⁰ × 5³, अतः दशमलव प्रसार शांत होगा।

86. 0.12112111211112... किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) पूर्णांक

(D) भिन्न

उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार सदैव अपरिमेय संख्याओं का होता है।

87. 2, 10 और 20 के ल०स० (LCM) और म०स० (HCF) का अनुपात क्या होगा?

(A) 1 : 10

(B) 10 : 1

(C) 4 : 3

(D) 11 : 1

उत्तर: (B) 10 : 1

व्याख्या: HCF = 2, LCM = 20। अनुपात = 20 / 2 = 10 / 1 = 10 : 1।

88. किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, (a × b) / LCM(a, b) किसके बराबर होता है?

(A) HCF(a, b)

(B) 1

(C) LCM(a, b)

(D) a + b

उत्तर: (A) HCF(a, b)

व्याख्या: सूत्रानुसार HCF = (a × b) / LCM।

89. 17/25 का दशमलव प्रसार शांत है। दशमलव के कितने स्थानों के बाद यह शांत होगा?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

उत्तर: (B) 2

व्याख्या: 25 = 5², अतः 2 स्थानों के बाद (0.68) शांत होगा।

90. यदि b = 3 हो, तो a = bq + r में r के संभावित मान क्या हो सकते हैं?

(A) 0, 1, 2

(B) 1, 2, 3

(C) 0, 1, 2, 3

(D) केवल 0

उत्तर: (A) 0, 1, 2

व्याख्या: 0 ≤ r < b से: r के मान 0, 1, 2 हो सकते हैं।

91. √81 / 2 किस प्रकार की संख्या है?

(A) परिमेय संख्या

(B) अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक

(D) सम संख्या

उत्तर: (A) परिमेय संख्या

व्याख्या: √81 = 9, अतः 9/2 एक परिमेय संख्या (p/q रूप) है।

92. √3 / √12 किस प्रकार की संख्या है?

(A) अपरिमेय संख्या

(B) परिमेय संख्या

(C) अभाज्य संख्या

(D) अनिश्चित

उत्तर: (B) परिमेय संख्या

व्याख्या: √3 / √12 = √(3/12) = √(1/4) = 1/2, जो कि एक परिमेय संख्या है।

93. यदि दो संख्याओं का LCM 36 और HCF 2 है तथा एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 1

उत्तर: (C) 4

व्याख्या: दूसरी संख्या = (LCM × HCF) / पहली संख्या = (36 × 2) / 18 = 4।

94. 1/3 का दशमलव प्रसार कैसा होता है?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) अपरिमेय

उत्तर: (B) अशांत आवर्ती

व्याख्या: 1/3 = 0.333... = 0.3̄, जो अशांत आवर्ती है।

95. संख्या 3.2463 किस प्रकार की संख्या है?

(A) एक परिमेय संख्या

(B) एक अपरिमेय संख्या

(C) पूर्णांक

(D) प्राकृत संख्या

उत्तर: (A) एक परिमेय संख्या

व्याख्या: यह एक शांत दशमलव है (32463/10000), अतः यह परिमेय संख्या है।

96. 0 और 50 के बीच कुल कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?

(A) 14

(B) 15

(C) 16

(D) 25

उत्तर: (B) 15

व्याख्या: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (कुल 15 अभाज्य संख्याएँ)।

97. यदि a एक परिमेय संख्या और b एक अपरिमेय संख्या हो, तो a + b हमेशा क्या होगी?

(A) परिमेय

(B) अपरिमेय

(C) दोनों हो सकती है

(D) शून्य

उत्तर: (B) अपरिमेय

व्याख्या: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योगफल सदैव अपरिमेय संख्या होता है।

98. निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म सह-अभाज्य (Co-prime) है?

(A) (14, 35)

(B) (18, 25)

(C) (31, 93)

(D) (32, 62)

उत्तर: (B) (18, 25)

व्याख्या: HCF(18, 25) = 1 है। अन्य सभी में उभयनिष्ठ गुणनखंड (7, 31, 2) उपस्थित हैं।

99. 0.49̅ (49 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?

(A) 49/99

(B) 49/90

(C) 49/100

(D) 45/99

उत्तर: (A) 49/99

व्याख्या: दो अंकों की आवृति है: 0.ab̅ = ab/99 = 49/99।

100. 12/35 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

(A) शांत

(B) अशांत आवर्ती

(C) अशांत अनावर्ती

(D) अपरिमेय

उत्तर: (B) अशांत आवर्ती

व्याख्या: हर = 35 = 5 × 7। हर में अभाज्य गुणनखंड 7 उपस्थित है, अतः दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती होगा।

परीक्षा उपयोगी महत्वपूर्ण टिप्स (BSEB Exam Tips)

• शांत प्रसार पहचानने की सरल विधि: सबसे पहले भिन्न को सरलतम रूप (काटकर) में लिखें। उसके बाद ही हर के अभाज्य गुणनखंड करें (जैसे 6/15 = 2/5 शांत है, 6/15 देखकर सीधे अशांत न समझें)।
• यूक्लिड प्रमेयिका संबंध: 0 ≤ r < b को ध्यान रखें, परीक्षा में भ्रमित करने के लिए 0 < r ≤ b जैसे विकल्प दिए जाते हैं।
• अपरिमेय संख्याओं का नियम: किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल सदैव अपरिमेय होता है (जैसे √2, √3, √5, √7 आदि)।
• ल०स० × म०स० = दोनों संख्याओं का गुणनफल: यदि तीन मान दिए हों और चौथा निकालना हो, तो इसी सूत्र का प्रयोग करें।

निष्कर्ष (Conclusion)

कक्षा 10 बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा में 'वास्तविक संख्याएँ' अध्याय से वस्तुनिष्ठ प्रश्न अत्यंत सरल, स्पष्ट और सूत्र-आधारित पूछे जाते हैं। ऊपर दिए गए सभी 100 वस्तुनिष्ठ प्रश्न विगत 10 वर्षों के BSEB मैट्रिक बोर्ड प्रश्न-पत्रों, आधिकारिक मॉडल पेपर्स और NCERT/BTBC पाठ्यक्रम का संपूर्ण विश्लेषण करके तैयार किए गए हैं। इन सभी 100 प्रश्नों और सूत्रों का नियमित अभ्यास आपको परीक्षा में इस अध्याय से शत-प्रतिशत सही अंक प्राप्त करने में पूर्णतः सक्षम बनाएगा।