अध्याय 15 – प्रायिकता | BSEB 10 Mathematics Solution

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: अध्याय 15 — प्रायिकता (Probability)

प्रश्नावली 15.1 के प्रश्न सं. 1 से 25 तक सम्पूर्ण, सटीक एवं विस्तृत चरणबद्ध हल (NCERT आधारित)

📘 अध्याय परिचय एवं सूत्र संग्रह (Formulae Sheet)

• प्रायिकता की सैद्धांतिक परिभाषा: किसी घटना E की प्रायिकता P(E) = घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्याप्रयोग के सभी संभव परिणामों की कुल संख्या
• प्रायिकता का मान परास: 0 ≤ P(E) ≤ 1 (प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती और 1 से अधिक नहीं हो सकती)।
• निश्चित घटना (Sure Event): जिसकी प्रायिकता सदैव 1 होती है।
• असंभव घटना (Impossible Event): जिसकी प्रायिकता सदैव 0 होती है।
• पूरक घटना (Complementary Event): P(E) + P(E̅) = 1 अर्थात् P(E नहीं) = 1 - P(E)
• ताश की गड्डी (52 पत्ते): 26 लाल (13 पान, 13 ईंट) और 26 काले (13 हुकुम, 13 चिड़ी)। तस्वीर वाले पत्ते (Face Cards) = 12 (4 गुलाम, 4 बेगम, 4 बादशाह)।
• पासा (Dice): एक पासे पर 6 संभव परिणाम (1, 2, 3, 4, 5, 6)। दो पासे फेंकने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36।

प्रश्न 1 : निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ______ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ______ है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता ______ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ______ से छोटी या उसके बराबर होती है।

उत्तर एवं व्याख्या:

(i) 1 [सूत्र: P(E) + P(E̅) = 1]

(ii) 0 , असंभव घटना [जो घटना घटित नहीं हो सकती उसकी प्रायिकता 0 होती है]

(iii) 1 , निश्चित (या निर्धारित) घटना [जिसका होना अनिवार्य हो उसकी प्रायिकता 1 होती है]

(iv) 1 [किसी प्रयोग की सभी परस्पर अपवर्जी प्रारंभिक घटनाओं का योगफल 1 होता है]

(v) 0 , 1 [प्रायिकता की सीमा: 0 ≤ P(E) ≤ 1]

उत्तर: (i) 1  |  (ii) 0, असंभव घटना  |  (iii) 1, निश्चित घटना  |  (iv) 1  |  (v) 0, 1

प्रश्न 2 : निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक (Equally Likely) हैं? स्पष्ट कीजिए।

(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

हल:

(i) समप्रायिक नहीं है: कार का चलना या न चलना कार की दशा, पेट्रोल की उपलब्धता तथा तकनीकी स्थिति पर निर्भर करता है। दोनों परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(ii) समप्रायिक नहीं है: बॉल का बास्केट में जाना खिलाड़ी की दक्षता और कौशल पर निर्भर करता है। अतः परिणाम समप्रायिक नहीं हैं।

(iii) समप्रायिक है: सत्य-असत्य प्रश्न में केवल दो ही संभव परिणाम हैं—सत्य या असत्य। दोनों के आने की संभावना पूर्णतः समान (12) है।

(iv) समप्रायिक है: जन्म लेने वाला शिशु या तो लड़का होगा या लड़की। सामान्य परिस्थितियों में दोनों परिणामों की संभावना बराबर (12) होती है।

निष्कर्ष: भाग (iii) तथा भाग (iv) के परिणाम समप्रायिक हैं।

प्रश्न 3 : फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

हल:

जब एक निष्पक्ष सिक्के को उछाला जाता है, तो केवल दो ही परिणाम संभव होते हैं—चित (Head) या पट (Tail)। ये दोनों परिणाम परस्पर समप्रायिक (Equally Likely) होते हैं, अर्थात् दोनों के आने की संभावना ठीक 12 होती है। सिक्के के गिरने से पहले कोई भी निश्चित भविष्यवाणी नहीं कर सकता। अतः सिक्का उछालना पूरी तरह निष्पक्ष और न्यायसंगत माना जाता है।

उत्तर: क्योंकि चित और पट आना समप्रायिक परिणाम हैं।

प्रश्न 4 : निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?

(A) 23      (B) -1.5      (C) 15%      (D) 0.7

हल:

हम जानते हैं कि किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव 0 से 1 के मध्य होती है (0 ≤ P(E) ≤ 1)।

• (A) 23 ≈ 0.67 (0 और 1 के बीच है)
• (B) -1.5 (ऋणात्मक संख्या है, जो संभव नहीं है)
• (C) 15% = 15100 = 0.15 (0 और 1 के बीच है)
• (D) 0.7 (0 और 1 के बीच है)

सही विकल्प: (B) -1.5

प्रश्न 5 : यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?

हल:

हम जानते हैं कि पूरक घटनाओं का सम्बंध है:
P(E) + P(E नहीं) = 1
⇒ P(E नहीं) = 1 - P(E)
⇒ P(E नहीं) = 1 - 0.05 = 0.95

उत्तर: P(E नहीं) = 0.95

प्रश्न 6 : एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली :

(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?

हल:

(i) संतरे की महक वाली गोली निकालना:
थैले में संतरे की महक वाली कोई गोली नहीं है। अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
यह एक असंभव घटना है।
अतः P(संतरे की महक वाली गोली) = 0

(ii) नींबू की महक वाली गोली निकालना:
थैले की सभी गोलियाँ केवल नींबू की महक वाली हैं। यह एक निश्चित घटना है।
अतः P(नींबू की महक वाली गोली) = 1

उत्तर: (i) 0  |  (ii) 1

प्रश्न 7 : यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

हल:

माना E = दो विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना।
तो E̅ = दो विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन न होने की घटना।
दिया है: P(E̅) = 0.992
सूत्र से: P(E) = 1 - P(E̅)
⇒ P(E) = 1 - 0.992 = 0.008

उत्तर: जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8 : एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद : (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

हल:

थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 + 5 = 8 (कुल संभव परिणाम = 8)

(i) गेंद लाल हो:
लाल गेंदों की संख्या (अनुकूल परिणाम) = 3
P(लाल गेंद) = 38

(ii) गेंद लाल नहीं हो:
P(लाल नहीं) = 1 - P(लाल) = 1 - 38 = 58
(अथवा काली गेंदों की संख्या 5 है, अतः प्रायिकता = 58)

उत्तर: (i) 38  |  (ii) 58

प्रश्न 9 : एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा : (i) लाल है? (ii) सफेद है? (iii) हरा नहीं है?

हल:

कंचों की कुल संख्या = 5 + 8 + 4 = 17 (कुल संभव परिणाम n(S) = 17)

(i) कंचा लाल है:
लाल कंचों की संख्या = 5
P(लाल) = 517

(ii) कंचा सफेद है:
सफेद कंचों की संख्या = 8
P(सफेद) = 817

(iii) कंचा हरा नहीं है:
हरे कंचों की संख्या = 4
हरे नहीं होने वाले कंचे (लाल + सफेद) = 5 + 8 = 13
P(हरा नहीं) = 1317

उत्तर: (i) 517  |  (ii) 817  |  (iii) 1317

प्रश्न 10 : एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का : (i) 50 पैसे का होगा? (ii) ₹ 5 का नहीं होगा?

हल:

पिग्गी बैंक में सिक्कों की कुल संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180 (कुल संभव परिणाम = 180)

(i) सिक्का 50 पैसे का होगा:
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
P(50 पैसे का सिक्का) = 100180 = 59

(ii) सिक्का ₹ 5 का नहीं होगा:
₹ 5 के सिक्के = 10
₹ 5 के नहीं होने वाले सिक्के = 180 - 10 = 170
P(₹ 5 का नहीं) = 170180 = 1718

उत्तर: (i) 59  |  (ii) 1718

प्रश्न 11 : गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल:

टंकी में कुल मछलियाँ = 5 (नर) + 8 (मादा) = 13
नर मछलियों की संख्या (अनुकूल परिणाम) = 5
P(नर मछली) = अनुकूल परिणामकुल परिणाम = 513

उत्तर: प्रायिकता = 513

प्रश्न 12 : संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित :

(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल:

कुल संभव परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ⇒ कुल संख्या = 8

(i) संख्या 8 को इंगित करना: अनुकूल परिणाम = {8} (केवल 1 परिणाम)
P(8) = 18

(ii) विषम संख्या को इंगित करना: विषम संख्याएँ = {1, 3, 5, 7} (कुल 4 परिणाम)
P(विषम संख्या) = 48 = 12

(iii) 2 से बड़ी संख्या को इंगित करना: 2 से बड़ी संख्याएँ = {3, 4, 5, 6, 7, 8} (कुल 6 परिणाम)
P(2 से बड़ी संख्या) = 68 = 34

(iv) 9 से छोटी संख्या को इंगित करना: सभी संख्याएँ 9 से छोटी हैं = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (कुल 8 परिणाम)
P(9 से छोटी संख्या) = 88 = 1

उत्तर: (i) 18  |  (ii) 12  |  (iii) 34  |  (iv) 1

प्रश्न 13 : एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) एक अभाज्य संख्या      (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या      (iii) एक विषम संख्या

हल:

एक पासे को फेंकने पर कुल संभव परिणाम S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ कुल परिणाम = 6

(i) एक अभाज्य संख्या (Prime Number):
अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5} (कुल 3 परिणाम)
P(अभाज्य संख्या) = 36 = 12

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्या:
2 और 6 के बीच की संख्याएँ = {3, 4, 5} (कुल 3 परिणाम)
P(2 और 6 के बीच की संख्या) = 36 = 12

(iii) एक विषम संख्या (Odd Number):
विषम संख्याएँ = {1, 3, 5} (कुल 3 परिणाम)
P(विषम संख्या) = 36 = 12

उत्तर: (i) 12  |  (ii) 12  |  (iii) 12

प्रश्न 14 : 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :

(i) लाल रंग का बादशाह      (ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता      (iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम      (v) हुकुम का पत्ता      (vi) एक ईंट की बेगम

हल:

ताश की गड्डी में कुल पत्ते = 52

(i) लाल रंग का बादशाह: लाल बादशाह = 2 (1 पान + 1 ईंट) ⇒ P = 252 = 126

(ii) एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता): कुल फेस कार्ड = 12 (4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह) ⇒ P = 1252 = 313

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता: लाल फेस कार्ड = 6 (पान व ईंट के 3-3 पत्ते) ⇒ P = 652 = 326

(iv) पान का गुलाम: पान का गुलाम केवल 1 होता है ⇒ P = 152

(v) हुकुम का पत्ता: हुकुम के कुल पत्ते = 13 ⇒ P = 1352 = 14

(vi) एक ईंट की बेगम: ईंट की बेगम केवल 1 होती है ⇒ P = 152

उत्तर: (i) 1/26  |  (ii) 3/13  |  (iii) 3/26  |  (iv) 1/52  |  (v) 1/4  |  (vi) 1/52

प्रश्न 15 : ताश के पाँच पत्तों—ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का—को पलट करके अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।

(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?

हल:

कुल पत्ते = 5 (दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का)

(i) पत्ता एक बेगम है: बेगम की संख्या = 1
P(बेगम) = 15

(ii) बेगम को अलग रखने के बाद:
अब शेष पत्ते = 5 - 1 = 4 (दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का)
(a) एक इक्का है: इक्कों की संख्या = 1 ⇒ P(इक्का) = 14
(b) एक बेगम है: शेष 4 पत्तों में कोई बेगम नहीं है (अनुकूल = 0) ⇒ P(बेगम) = 04 = 0

उत्तर: (i) 1/5  |  (ii)(a) 1/4  |  (ii)(b) 0

प्रश्न 16 : किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

खराब पेनों की संख्या = 12
अच्छे पेनों की संख्या = 132
पेनों की कुल संख्या = 12 + 132 = 144 (कुल संभव परिणाम)
अनुकूल परिणाम (अच्छे पेन) = 132
P(अच्छा पेन) = 132144 = 1112 (12 से भाग देने पर)

उत्तर: प्रायिकता = 1112

प्रश्न 17 : (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दोबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

हल:

(i) पहला भाग:
कुल बल्ब = 20, खराब बल्ब = 4
P(खराब बल्ब) = 420 = 15

(ii) दूसरा भाग:
पहला निकाला गया बल्ब खराब नहीं था (अर्थात् अच्छा था) और उसे बाहर रखा गया।
अब कुल बल्ब = 20 - 1 = 19
शुरुआत में अच्छे बल्ब = 20 - 4 = 16 थे। एक अच्छा बल्ब निकल जाने पर शेष अच्छे बल्ब = 16 - 1 = 15
P(बल्ब खराब नहीं है / अच्छा है) = 1519

उत्तर: (i) 15  |  (ii) 1519

प्रश्न 18 : एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी : (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

हल:

1 से 90 तक कुल डिस्क की संख्या = 90 (कुल संभव परिणाम = 90)

(i) दो अंकों की एक संख्या:
1 से 9 तक एक अंक की 9 संख्याएँ हैं।
दो अंकों की संख्याएँ = 90 - 9 = 81 (संख्या 10 से 90 तक)
P(दो अंकों की संख्या) = 8190 = 910

(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या:
1 से 90 के मध्य पूर्ण वर्ग संख्याएँ = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} (कुल 9 संख्याएँ)
P(पूर्ण वर्ग संख्या) = 990 = 110

(iii) 5 से विभाज्य संख्या:
संख्याएँ = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90} (कुल 18 संख्याएँ, क्योंकि 90/5 = 18)
P(5 से विभाज्य) = 1890 = 15

उत्तर: (i) 9/10  |  (ii) 1/10  |  (iii) 1/5

प्रश्न 19 : एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं : [A, B, C, D, E, A]। इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो? (ii) D प्राप्त हो?

हल:

पासे पर कुल फलक = 6 (कुल परिणाम = 6)

(i) A प्राप्त होना:
'A' अंकित फलकों की संख्या = 2
P(A) = 26 = 13

(ii) D प्राप्त होना:
'D' अंकित फलकों की संख्या = 1
P(D) = 16

उत्तर: (i) 13  |  (ii) 16

प्रश्न 20* : मान लीजिए आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा? (आयत की विमाएँ: 3m × 2m)

हल (ज्यामितीय प्रायिकता):

कुल क्षेत्र (आयत का क्षेत्रफल) = लंबाई × चौड़ाई = 3 m × 2 m = 6 m²
वृत्त का व्यास d = 1 m ⇒ त्रिज्या r = 12 m
वृत्त का क्षेत्रफल (अनुकूल क्षेत्र) = π r² = π × (12)² = π4 m²

P(पासा वृत्त के अंदर गिरे) = वृत्त का क्षेत्रफलआयत का कुल क्षेत्रफल = π / 46 = π24

उत्तर: प्रायिकता = π24

प्रश्न 21 : 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) आप वह पेन खरीदेंगे? (ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?

हल:

पेनों की कुल संख्या = 144
खराब पेन = 20
अच्छे पेन = 144 - 20 = 124

(i) आप वह पेन खरीदेंगे: आप केवल तभी खरीदेंगे जब पेन अच्छा हो।
अनुकूल परिणाम (अच्छे पेन) = 124
P(पेन खरीदना) = 124144 = 3136 (4 से विभाजित करने पर)

(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे: पेन खराब होने पर नहीं खरीदेंगे।
अनुकूल परिणाम (खराब पेन) = 20
P(पेन न खरीदना) = 20144 = 536
[अथवा 1 - 31/36 = 5/36]

उत्तर: (i) 3136  |  (ii) 536

प्रश्न 22 : (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

दो पासों को एक साथ फेंकने पर दोनों पासों की संख्याओं का योग और उनकी प्रायिकता।
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 है।' क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

हल:

दो पासों को एक साथ फेंकने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36

दोनों पासों की संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
अनुकूल परिणाम	(1,1) [1]	(1,2),(2,1) [2]	(1,3),(2,2),(3,1) [3]	(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) [4]	(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) [5]	(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) [6]	(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) [5]	(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) [4]	(4,6),(5,5),(6,4) [3]	(5,6),(6,5) [2]	(6,6) [1]
प्रायिकता P(E)	136	236	336	436	536	636	536	436	336	236	136

(ii) विद्यार्थी के तर्क की समीक्षा:
नहीं, हम इस तर्क से सहमत नहीं हैं। कारण यह है कि ये 11 परिणाम समप्रायिक (Equally Likely) नहीं हैं। उदाहरण के लिए, योग 2 प्राप्त होने का केवल 1 तरीका (1,1) है, जबकि योग 7 प्राप्त होने के 6 तरीके हैं। अतः प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/11 नहीं हो सकती।

उत्तर: सारणी पूर्ण की गई एवं तर्क असत्य (असहमत) है।

प्रश्न 23 : एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

हल:

एक सिक्के को 3 बार उछालने पर कुल संभव परिणाम S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
कुल परिणामों की संख्या = 2³ = 8

हनीफ के जीतने के अनुकूल परिणाम (तीनों परिणाम समान) = {HHH, TTT} = 2 परिणाम
अतः हनीफ के हारने के परिणाम = 8 - 2 = 6 परिणाम
(हारने वाले परिणाम: HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH)

P(हनीफ के हार जाने की प्रायिकता) = 68 = 34

उत्तर: हारने की प्रायिकता = 34

प्रश्न 24 : एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि : (i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?

हल:

पासे को दो बार फेंकने पर कुल संभव परिणाम = 6 × 6 = 36

वे परिणाम जिनमें '5' कम से कम एक बार आता है:
पहली बार 5 आने वाले: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) = 6 परिणाम
दूसरी बार 5 आने वाले: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) = 5 परिणाम [(5,5) पहले ही गिना जा चुका है]
अतः '5' आने के कुल परिणाम = 6 + 5 = 11

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा:
अनुकूल परिणाम = 36 - 11 = 25
P(5 किसी भी बार नहीं आएगा) = 2536

(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा:
अनुकूल परिणाम = 11
P(5 कम से कम एक बार आएगा) = 1136
[अथवा 1 - 25/36 = 11/36]

उत्तर: (i) 2536  |  (ii) 1136

प्रश्न 25 : निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम—दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/3 है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम—एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता 1/2 है।

हल:

(i) यह तर्क असत्य है।
कारण: जब दो सिक्कों को उछाला जाता है, तो कुल 4 संभव परिणाम होते हैं: (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)।
यहाँ 'प्रत्येक एक बार' (एक चित और एक पट) आने के अनुकूल 2 परिणाम हैं: (H, T) और (T, H)।
अतः P(प्रत्येक एक बार) = 24 = 12, न कि 1/3। चूँकि परिणाम समप्रायिक नहीं हैं, इसलिए प्रायिकता 1/3 कहना गलत है।

(ii) यह तर्क सत्य है।
कारण: एक पासे को फेंकने पर कुल 6 समप्रायिक परिणाम होते हैं: {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
विषम संख्याएँ = {1, 3, 5} (कुल 3)
सम संख्याएँ = {2, 4, 6} (कुल 3)
P(विषम संख्या) = 36 = 12। चूँकि दोनों परिणाम समप्रायिक हैं, अतः प्रायिकता 12 बिल्कुल सही है।

उत्तर: (i) असत्य  |  (ii) सत्य

🎯 बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा 2025-26 के लिए 'प्रायिकता' के टिप्स

• वस्तुनिष्ठ प्रश्न (MCQ): P(E) + P(E̅) = 1 तथा "प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है" पर हर साल 2-3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न निश्चित पूछे जाते हैं।
• पासे और ताश के प्रश्न: प्रश्न संख्या 14 (ताश की गड्डी) और प्रश्न संख्या 22 व 24 (दो पासे) 2 अंक अथवा 5 अंक के लघु/दीर्घ उत्तरीय प्रश्नों में बार-बार दोहराए जाते हैं।
• ऋणात्मक मान: कभी भी प्रायिकता का उत्तर ऋणात्मक या 1 से अधिक न लिखें; ऐसा आने पर अपनी गणना दोबारा जाँचें।

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