अध्याय 14 – सांख्यिकी | BSEB 10 Mathematics Solution

बिहार बोर्ड (BSEB) कक्षा 10 गणित

अध्याय 14: सांख्यिकी (Statistics) — सम्पूर्ण प्रश्नावली 14.1, 14.2 एवं 14.3 हल सहित

📌 अध्याय परिचय एवं महत्वपूर्ण सूत्र (Quick Revision)

सांख्यिकी बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा के लिए एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। इससे वस्तुनिष्ठ (Objective) और दीर्घ उत्तरीय (Long Answer) दोनों प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं।

• वर्ग चिह्न (Class Mark, x_i): x_i = ऊपरी सीमा + निचली सीमा2
• प्रत्यक्ष विधि से माध्य (Mean by Direct Method): x̄ = ∑ f_i x_i∑ f_i
• कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method): x̄ = a + ∑ f_i d_i∑ f_i (जहाँ d_i = x_i - a)
• पद-विचलन विधि (Step-Deviation Method): x̄ = a + ∑ f_i u_i∑ f_i × h (जहाँ u_i = x_i - ah)
• बहुलक (Mode): बहुलक = l + f₁ - f₀2f₁ - f₀ - f₂ × h
• माध्यक (Median): माध्यक = l + n2 - cff × h
• अनुभवजन्य सम्बंध (Empirical Formula): 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

प्रश्नावली 14.1 — माध्य (Mean) के सभी प्रश्न एवं हल

प्रश्न 1:

विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत 20 घरों के पौधों से संबंधित आंकड़े एकत्रित किए गए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए। माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?

हल:

चूँकि वर्ग चिह्न (x_i) तथा बारंबारता (f_i) के मान बहुत छोटे हैं, इसलिए प्रत्यक्ष विधि (Direct Method) सबसे उपयुक्त है।

पौधों की संख्या (वर्ग अंतराल)	घरों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	fi xi
0 - 2	1	1	1
2 - 4	2	3	6
4 - 6	1	5	5
6 - 8	5	7	35
8 - 10	6	9	54
10 - 12	2	11	22
12 - 14	3	13	39
योग (Total)	∑ fi = 20	—	∑ fi xi = 162

माध्य (x̄) = ∑ f_i x_i∑ f_i = 16220 = 8.1

उत्तर: प्रति घर माध्य पौधों की संख्या = 8.1 पौधे (प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया गया क्योंकि संख्यात्मक मान छोटे हैं।)

प्रश्न 2:

किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए। एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ वर्ग माप h = 20 है। कल्पित माध्य a = 150 लेते हैं। हम पद-विचलन विधि का उपयोग करेंगे (u_i = (x_i - 150)/20):

दैनिक मज़दूरी (₹)	श्रमिकों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui = (xi - 150)/20	fi ui
100 - 120	12	110	-2	-24
120 - 140	14	130	-1	-14
140 - 160	8	150 (a)	0	0
160 - 180	6	170	1	6
180 - 200	10	190	2	20
योग	∑ fi = 50	—	—	∑ fi ui = -12

सूत्र: x̄ = a + ∑ f_i u_i∑ f_i × h

x̄ = 150 + -1250 × 20 = 150 - 24050 = 150 - 4.80 = 145.20

उत्तर: माध्य दैनिक मज़दूरी = ₹ 145.20

प्रश्न 3:

निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च ₹ 18 है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए :

हल:

दिया गया है: माध्य (x̄) = 18। कल्पित माध्य a = 18 लेते हैं (d_i = x_i - 18):

दैनिक जेब भत्ता (₹)	बच्चों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	di = xi - 18	fi di
11 - 13	7	12	-6	-42
13 - 15	6	14	-4	-24
15 - 17	9	16	-2	-18
17 - 19	13	18 (a)	0	0
19 - 21	f	20	2	2f
21 - 23	5	22	4	20
23 - 25	4	24	6	24
योग	∑ fi = 44 + f	—	—	∑ fi di = 2f - 40

माध्य x̄ = a + ∑ f_i d_i∑ f_i

18 = 18 + 2f - 4044 + f

0 = 2f - 4044 + f ⟹ 2f - 40 = 0 ⟹ 2f = 40 ⟹ f = 20

उत्तर: अज्ञात बारंबारता f = 20

प्रश्न 4:

किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके संक्षेप में लिखी गई। उपयुक्त विधि द्वारा महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ वर्ग माप h = 3 है। कल्पित माध्य a = 75.5 लेते हैं। पद-विचलन विधि (u_i = (x_i - 75.5)/3):

हृदय स्पंदन प्रति मिनट	महिलाओं की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui	fi ui
65 - 68	2	66.5	-3	-6
68 - 71	4	69.5	-2	-8
71 - 74	3	72.5	-1	-3
74 - 77	8	75.5 (a)	0	0
77 - 80	7	78.5	1	7
80 - 83	4	81.5	2	8
83 - 86	2	84.5	3	6
योग	∑ fi = 30	—	—	∑ fi ui = 4

x̄ = a + ∑ f_i u_i∑ f_i × h = 75.5 + 430 × 3 = 75.5 + 0.4 = 75.9

उत्तर: माध्य प्रति मिनट हृदय स्पंदन = 75.9

प्रश्न 5:

किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। पेटियों की संख्या के अनुसार आमों का बंटन दिया गया है। एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग अंतराल असतत (discontinuous) हैं (50-52, 53-55,...)। इन्हें सतत बनाने पर (49.5-52.5, 52.5-55.5,...), वर्ग माप h = 3 प्राप्त होता है।
माना कल्पित माध्य a = 57, h = 3:

आमों की संख्या	पेटियों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui = (xi - 57)/3	fi ui
50 - 52	15	51	-2	-30
53 - 55	110	54	-1	-110
56 - 58	135	57 (a)	0	0
59 - 61	115	60	1	115
62 - 64	25	63	2	50
योग	∑ fi = 400	—	—	∑ fi ui = 25

x̄ = a + ∑ f_i u_i∑ f_i × h = 57 + 25400 × 3 = 57 + 75400 = 57 + 0.1875 ≈ 57.19

उत्तर: प्रति पेटी आमों की माध्य संख्या = 57.19 (पद-विचलन विधि का प्रयोग किया गया)

प्रश्न 6:

निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है। एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ a = 225 और h = 50 लेकर पद-विचलन विधि का प्रयोग करते हैं:

दैनिक व्यय (₹)	परिवारों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui = (xi - 225)/50	fi ui
100 - 150	4	125	-2	-8
150 - 200	5	175	-1	-5
200 - 250	12	225 (a)	0	0
250 - 300	2	275	1	2
300 - 350	2	325	2	4
योग	∑ fi = 25	—	—	∑ fi ui = -7

x̄ = 225 + -725 × 50 = 225 - 14 = 211

उत्तर: भोजन पर हुआ माध्य व्यय = ₹ 211

प्रश्न 7:

वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) ज्ञात करने के लिए 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए। SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग सुविधाजनक है:

SO2 की सांद्रता	बारंबारता (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	fi xi
0.00 - 0.04	4	0.02	0.08
0.04 - 0.08	9	0.06	0.54
0.08 - 0.12	9	0.10	0.90
0.12 - 0.16	2	0.14	0.28
0.16 - 0.20	4	0.18	0.72
0.20 - 0.24	2	0.22	0.44
योग	∑ fi = 30	—	∑ fi xi = 2.96

x̄ = ∑ f_i x_i∑ f_i = 2.9630 ≈ 0.0986 ppm ≈ 0.099 ppm

उत्तर: SO₂ की सांद्रता का माध्य = 0.099 ppm

प्रश्न 8:

किसी कक्षा अध्यापिका ने 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति रिकॉर्ड की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

ध्यान दें कि यहाँ वर्ग अंतराल समान चौड़ाई के नहीं हैं (वर्ग माप क्रमशः 6, 4, 4, 6, 8, 10, 2 हैं)। अतः हम प्रत्यक्ष विधि का उपयोग करेंगे:

दिनों की संख्या	विद्यार्थियों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	fi xi
0 - 6	11	3	33
6 - 10	10	8	80
10 - 14	7	12	84
14 - 20	4	17	68
20 - 28	4	24	96
28 - 38	3	33	99
38 - 40	1	39	39
योग	∑ fi = 40	—	∑ fi xi = 499

x̄ = ∑ f_i x_i∑ f_i = 49940 = 12.475 ≈ 12.48 दिन

उत्तर: अनुपस्थित दिनों की माध्य संख्या = 12.48 दिन

प्रश्न 9:

निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए :

हल:

यहाँ a = 70 तथा h = 10 लेकर पद-विचलन विधि लागू करते हैं:

साक्षरता दर (% में)	नगरों की संख्या (fi)	वर्ग चिह्न (xi)	ui = (xi - 70)/10	fi ui
45 - 55	3	50	-2	-6
55 - 65	10	60	-1	-10
65 - 75	11	70 (a)	0	0
75 - 85	8	80	1	8
85 - 95	3	90	2	6
योग	∑ fi = 35	—	—	∑ fi ui = -2

x̄ = a + ∑ f_i u_i∑ f_i × h = 70 + -235 × 10 = 70 - 2035 = 70 - 0.57 = 69.43%

उत्तर: माध्य साक्षरता दर = 69.43%

प्रश्नावली 14.2 — बहुलक (Mode) एवं माध्य के सभी प्रश्न एवं हल

प्रश्न 1:

निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है। उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए तथा दोनों की तुलना कीजिए।

हल:

1. बहुलक (Mode) की गणना:
अधिकतम बारंबारता 23 है, जो वर्ग 35-45 के संगत है। अतः बहुलक वर्ग = 35 - 45
यहाँ l = 35, f₁ = 23, f₀ = 21, f₂ = 14, h = 10

बहुलक = l + f₁ - f₀2f₁ - f₀ - f₂ × h

बहुलक = 35 + 23 - 212(23) - 21 - 14 × 10 = 35 + 246 - 35 × 10 = 35 + 2011 = 35 + 1.82 = 36.82 वर्ष

2. माध्य (Mean) की गणना: (a = 30, h = 10)

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या (fi)	xi	ui = (xi - 30)/10	fi ui
5 - 15	6	10	-2	-12
15 - 25	11	20	-1	-11
25 - 35	21	30 (a)	0	0
35 - 45	23	40	1	23
45 - 55	14	50	2	28
55 - 65	5	60	3	15
योग	∑ fi = 80	—	—	∑ fi ui = 43

x̄ = 30 + 4380 × 10 = 30 + 5.375 ≈ 35.38 वर्ष

तुलना व व्याख्या: अस्पताल में भर्ती होने वाले अधिकतम रोगियों की आयु लगभग 36.82 वर्ष (बहुलक) है, जबकि सभी रोगियों की औसत आयु 35.38 वर्ष (माध्य) है।

उत्तर: बहुलक = 36.82 वर्ष, माध्य = 35.38 वर्ष

प्रश्न 2:

निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं। उपकरणों का बहुलक जीवन काल ज्ञात कीजिए :

हल:

सारणी में अधिकतम बारंबारता 61 है, जो वर्ग 60 - 80 के अंतर्गत है।
अतः बहुलक वर्ग = 60 - 80
यहाँ l = 60, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38, h = 20

सूत्र: बहुलक = l + f₁ - f₀2f₁ - f₀ - f₂ × h

बहुलक = 60 + 61 - 522(61) - 52 - 38 × 20

= 60 + 9122 - 90 × 20 = 60 + 18032 = 60 + 5.625 = 65.625 घंटे

उत्तर: उपकरणों का बहुलक जीवन काल = 65.625 घंटे

प्रश्न 3:

निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। परिवारों का बहुलक मासिक व्यय तथा माध्य मासिक व्यय ज्ञात कीजिए :

हल:

1. बहुलक (Mode):
अधिकतम बारंबारता = 40, अतः बहुलक वर्ग = 1500 - 2000
यहाँ l = 1500, f₁ = 40, f₀ = 24, f₂ = 33, h = 500

बहुलक = 1500 + 40 - 242(40) - 24 - 33 × 500 = 1500 + 16 × 50080 - 57 = 1500 + 800023 ≈ 1500 + 347.83 = ₹ 1847.83

2. माध्य (Mean): (a = 2750, h = 500 लेकर)

मासिक व्यय (₹)	परिवारों की संख्या (fi)	xi	ui	fi ui
1000 - 1500	24	1250	-3	-72
1500 - 2000	40	1750	-2	-80
2000 - 2500	33	2250	-1	-33
2500 - 3000	28	2750 (a)	0	0
3000 - 3500	30	3250	1	30
3500 - 4000	22	3750	2	44
4000 - 4500	16	4250	3	48
4500 - 5000	7	4750	4	28
योग	∑ fi = 200	—	—	∑ fi ui = -35

x̄ = 2750 + -35200 × 500 = 2750 - 1752 = 2750 - 87.50 = ₹ 2662.50

उत्तर: बहुलक = ₹ 1847.83, माध्य = ₹ 2662.50

प्रश्न 4:

निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में राज्यों के अनुसार शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए :

हल:

1. बहुलक (Mode):
अधिकतम बारंबारता = 10, अतः बहुलक वर्ग = 30 - 35
l = 30, f₁ = 10, f₀ = 9, f₂ = 3, h = 5

बहुलक = 30 + 10 - 92(10) - 9 - 3 × 5 = 30 + 18 × 5 = 30 + 0.625 = 30.63

2. माध्य (Mean): (a = 32.5, h = 5)

प्रति शिक्षक विद्यार्थी	क्षेत्रों की संख्या (fi)	xi	ui	fi ui
15 - 20	3	17.5	-3	-9
20 - 25	8	22.5	-2	-16
25 - 30	9	27.5	-1	-9
30 - 35	10	32.5 (a)	0	0
35 - 40	3	37.5	1	3
40 - 45	0	42.5	2	0
45 - 50	0	47.5	3	0
50 - 55	2	52.5	4	8
योग	∑ fi = 35	—	—	∑ fi ui = -23

x̄ = 32.5 + -2335 × 5 = 32.5 - 237 = 32.5 - 3.285 ≈ 29.22

उत्तर: बहुलक = 30.63, माध्य = 29.22

प्रश्न 5:

दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है। बहुलक ज्ञात कीजिए :

हल:

अधिकतम बारंबारता = 18 है, जो वर्ग 4000 - 5000 की है।
अतः बहुलक वर्ग = 4000 - 5000
यहाँ l = 4000, f₁ = 18, f₀ = 4, f₂ = 9, h = 1000

बहुलक = l + f₁ - f₀2f₁ - f₀ - f₂ × h

बहुलक = 4000 + 18 - 42(18) - 4 - 9 × 1000

= 4000 + 1436 - 13 × 1000 = 4000 + 1400023 ≈ 4000 + 608.695 = 4608.7 रन

उत्तर: बहुलक = 4608.7 रन

प्रश्न 6:

एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ 100 अंतरालों में प्रेक्षित कीं। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :

हल:

अधिकतम बारंबारता = 20, अतः बहुलक वर्ग = 40 - 50
यहाँ l = 40, f₁ = 20, f₀ = 12, f₂ = 11, h = 10

बहुलक = 40 + 20 - 122(20) - 12 - 11 × 10 = 40 + 840 - 23 × 10 = 40 + 8017 ≈ 40 + 4.71 = 44.7 कारें

उत्तर: बहुलक = 44.7 कारें

प्रश्नावली 14.3 — माध्यक (Median) के सभी प्रश्न एवं हल

प्रश्न 1:

निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:

मासिक खपत (इकाई)	उपभोक्ता (fi)	संचयी बारंबारता (cf)	xi	ui = (xi-135)/20	fi ui
65 - 85	4	4	75	-3	-12
85 - 105	5	9	95	-2	-10
105 - 125	13	22	115	-1	-13
125 - 145	20	42	135 (a)	0	0
145 - 165	14	56	155	1	14
165 - 185	8	64	175	2	16
185 - 205	4	68	195	3	12
योग	n = 68	—	—	—	∑ fi ui = 7

1. माध्यक (Median):
n/2 = 68/2 = 34। यह संचयी बारंबारता 42 के अंतर्गत आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 125 - 145
यहाँ l = 125, n/2 = 34, cf = 22, f = 20, h = 20

माध्यक = l + n2 - cff × h = 125 + 34 - 2220 × 20 = 125 + 12 = 137 इकाई

2. माध्य (Mean):
x̄ = a + ∑ f_i u_in × h = 135 + 768 × 20 = 135 + 2.06 = 137.06 इकाई

3. बहुलक (Mode):
अधिकतम बारंबारता = 20 (वर्ग 125 - 145)
बहुलक = 125 + 20 - 132(20) - 13 - 14 × 20 = 125 + 7 × 2013 = 125 + 10.77 = 135.77 इकाई

उत्तर: माध्यक = 137 इकाई, माध्य = 137.06 इकाई, बहुलक = 135.77 इकाई

प्रश्न 2 (अति महत्वपूर्ण प्रश्न):

यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए :

हल:

वर्ग अंतराल	बारंबारता (f)	संचयी बारंबारता (cf)
0 - 10	5	5
10 - 20	x	5 + x
20 - 30	20	25 + x
30 - 40	15	40 + x
40 - 50	y	40 + x + y
50 - 60	5	45 + x + y
योग	n = 60	—

दिया है: कुल बारंबारता n = 60
⟹ 45 + x + y = 60 ⟹ x + y = 15 --- (समीकरण 1)

चूँकि माध्यक = 28.5 है, जो वर्ग 20 - 30 में स्थित है।
अतः माध्यक वर्ग = 20 - 30
यहाँ l = 20, f = 20, cf = 5 + x, h = 10, n/2 = 30

माध्यक = l + n2 - cff × h

28.5 = 20 + 30 - (5 + x)20 × 10

28.5 - 20 = 25 - x2

8.5 × 2 = 25 - x ⟹ 17 = 25 - x ⟹ x = 8

समीकरण (1) में x का मान रखने पर:
8 + y = 15 ⟹ y = 7

उत्तर: x = 8 तथा y = 7

प्रश्न 3:

एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के आँकड़े एकत्र करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए (पॉलिसी केवल 18 से 60 वर्ष के व्यक्तियों को दी जाती है) :

हल:

प्रश्न में "से कम" प्रकार की संचयी बारंबारता दी गई है। सर्वप्रथम हम वर्ग अंतराल और साधारण बारंबारता ज्ञात करते हैं:

आयु (वर्षों में)	पॉलिसी धारक (cf)	बारंबारता (f)
18 - 20	2	2
20 - 25	6	6 - 2 = 4
25 - 30	24	24 - 6 = 18
30 - 35	45	45 - 24 = 21
35 - 40	78	78 - 45 = 33
40 - 45	89	89 - 78 = 11
45 - 50	92	92 - 89 = 3
50 - 55	98	98 - 92 = 6
55 - 60	100	100 - 98 = 2

कुल n = 100 ⟹ n/2 = 50। संचयी बारंबारता 78 वर्ग 35 - 40 में पड़ती है।
अतः माध्यक वर्ग = 35 - 40
l = 35, n/2 = 50, cf = 45, f = 33, h = 5

माध्यक = 35 + 50 - 4533 × 5 = 35 + 2533 = 35 + 0.76 = 35.76 वर्ष

उत्तर: माध्यक आयु = 35.76 वर्ष

प्रश्न 4:

एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं। पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए। (संकेत: वर्ग अंतरालों को 117.5-126.5 में बदलें)

हल:

वर्ग अंतराल असतत हैं। प्रत्येक निचली सीमा में 0.5 घटाकर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर इन्हें सतत बनाते हैं:

लंबाई (mm में)	पत्तियों की संख्या (f)	संचयी बारंबारता (cf)
117.5 - 126.5	3	3
126.5 - 135.5	5	8
135.5 - 144.5	9	17
144.5 - 153.5	12	29
153.5 - 162.5	5	34
162.5 - 171.5	4	38
171.5 - 180.5	2	40

यहाँ n = 40 ⟹ n/2 = 20। संचयी बारंबारता 29 वर्ग 144.5 - 153.5 में है।
l = 144.5, cf = 17, f = 12, h = 9

माध्यक = 144.5 + 20 - 1712 × 9 = 144.5 + 3 × 912 = 144.5 + 2.25 = 146.75 mm

उत्तर: पत्तियों की माध्यक लंबाई = 146.75 mm

प्रश्न 5:

निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों को प्रदर्शित करती है। एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए :

हल:

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या (f)	संचयी बारंबारता (cf)
1500 - 2000	14	14
2000 - 2500	56	70
2500 - 3000	60	130
3000 - 3500	86	216
3500 - 4000	74	290
4000 - 4500	62	352
4500 - 5000	48	400

यहाँ n = 400 ⟹ n/2 = 200। संचयी बारंबारता 216 वर्ग 3000 - 3500 में है।
l = 3000, n/2 = 200, cf = 130, f = 86, h = 500

माध्यक = 3000 + 200 - 13086 × 500 = 3000 + 70 × 50086 = 3000 + 3500086 ≈ 3000 + 406.98 = 3406.98 घंटे

उत्तर: माध्यक जीवन काल = 3406.98 घंटे

प्रश्न 6:

एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए। कुलनामों में माध्यक, माध्य और बहुलक तीनों ज्ञात कीजिए :

हल:

अक्षरों की संख्या	fi	cf	xi	fi xi
1 - 4	6	6	2.5	15.0
4 - 7	30	36	5.5	165.0
7 - 10	40	76	8.5	340.0
10 - 13	16	92	11.5	184.0
13 - 16	4	96	14.5	58.0
16 - 19	4	100	17.5	70.0
योग	n = 100	—	—	∑ fi xi = 832

1. माध्यक (Median):
n/2 = 50। माध्यक वर्ग = 7 - 10 (l = 7, cf = 36, f = 40, h = 3)
माध्यक = 7 + 50 - 3640 × 3 = 7 + 14 × 340 = 7 + 1.05 = 8.05

2. माध्य (Mean):
x̄ = ∑ f_i x_i∑ f_i = 832100 = 8.32

3. बहुलक (Mode):
अधिकतम बारंबारता = 40 (वर्ग 7 - 10)
l = 7, f₁ = 40, f₀ = 30, f₂ = 16, h = 3
बहुलक = 7 + 40 - 302(40) - 30 - 16 × 3 = 7 + 10 × 380 - 46 = 7 + 3034 = 7 + 0.88 = 7.88

उत्तर: माध्यक = 8.05, माध्य = 8.32, बहुलक = 7.88

प्रश्न 7:

नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए :

हल:

भार (किग्रा में)	विद्यार्थियों की संख्या (f)	संचयी बारंबारता (cf)
40 - 45	2	2
45 - 50	3	5
50 - 55	8	13
55 - 60	6	19
60 - 65	6	25
65 - 70	3	28
70 - 75	2	30

यहाँ n = 30 ⟹ n/2 = 15। संचयी बारंबारता 19 वर्ग 55 - 60 के अंतर्गत आती है।
अतः माध्यक वर्ग = 55 - 60
l = 55, n/2 = 15, cf = 13, f = 6, h = 5

सूत्र: माध्यक = l + n2 - cff × h

माध्यक = 55 + 15 - 136 × 5 = 55 + 2 × 56 = 55 + 106 = 55 + 1.67 = 56.67 किग्रा

उत्तर: विद्यार्थियों का माध्यक भार = 56.67 किग्रा

💡 बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षा उपयोगी टिप्स (Exam Special Tips)

• अज्ञात बारंबारता (x और y): प्रश्नावली 14.3 का प्रश्न 2 बोर्ड परीक्षा में बार-बार 5 अंक में पूछा जाता है। इसे कम-से-कम 2-3 बार हल करके अभ्यास करें।
• असतत वर्ग अंतराल: जब वर्ग अंतराल 118-126, 127-135 प्रकार के हों, तो 0.5 घटाकर और जोड़कर सतत (continuous) बनाना न भूलें, अन्यथा उत्तर गलत हो जाएगा।
• संचयी बारंबारता में सावधानी: माध्यक निकालते समय सूत्र में प्रयुक्त 'cf' माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता होती है, जबकि 'f' माध्यक वर्ग की बारंबारता होती है।
• अनुभवजन्य सम्बंध: 3 × माध्यक = बहुलक + 2 × माध्य पर हर वर्ष 1 अंक का वस्तुनिष्ठ (MCQ) प्रश्न पूछा जाता है।

© bseb10exam.blogspot.com — बिहार बोर्ड कक्षा 10 परीक्षा की सर्वश्रेष्ठ तैयारी हेतु समर्पित।