अध्याय 14 – सांख्यिकी | BSEB 10 Mathematics Book PDF Download

BSEB मैट्रिक परीक्षा कक्षा 10

अध्याय 14: सांख्यिकी (Statistics) - गणित Book PDF & सम्पूर्ण सूत्र

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित – वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक, बहुलक एवं तोरण

अध्याय 14 का संक्षिप्त परिचय (Chapter Overview)

सांख्यिकी (Statistics) में वर्गीकृत आँकड़ों (Grouped Data) का विश्लेषण किया जाता है। केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन प्रमुख माप हैं:

1. माध्य (Mean): सभी प्रेक्षणों के मानों का औसत मान।
2. बहुलक (Mode): वह मान जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
3. माध्यक (Median): वह केंद्रीय मान जो व्यवस्थित आँकड़ों को दो बराबर भागों में बाँटता है।

1. माध्य ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to Find Mean - x̄)

वर्ग चिह्न (Class Mark):

x_i = ऊपरी वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा 2

(A) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):

x̄ = ∑ f_i x_i ∑ f_i

(B) कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method):

x̄ = a + ∑ f_i d_i ∑ f_i

• a = कल्पित माध्य (Assumed Mean)
• d_i = विचलन (Deviation) = x_i − a
• f_i = संगत बारंबारता

(C) पद-विचलन विधि (Step-Deviation Method):

x̄ = a + [ ∑ f_i u_i ∑ f_i ] × h

• u_i = (x_i − a) / h
• h = वर्ग माप (Class Size / Width)

2. बहुलक एवं माध्यक सूत्र (Mode and Median Formulas)

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक (Mode):

बहुलक = l + [ f₁ − f₀ 2f₁ − f₀ − f₂ ] × h

• l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
• h = बहुलक वर्ग का माप (वर्ग अंतराल का आकार)
• f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
• f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
• f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक (Median):

माध्यक = l + [ (n / 2) − cf f ] × h

• l = माध्यक वर्ग की निचली सीमा
• n = प्रेक्षणों की कुल संख्या = ∑ f_i
• cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)
• f = माध्यक वर्ग की बारंबारता
• h = वर्ग माप

केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापकों में आनुभविक संबंध (Empirical Relationship):

3 × माध्यक = बहुलक + 2 × माध्य

( 3 Median = Mode + 2 Mean )

3. संचयी बारंबारता वक्र या तोरण (Ogive)

तोरण का प्रकार	X-अक्ष पर मान	Y-अक्ष पर मान
'से कम' प्रकार का तोरण	वर्ग अंतरालों की उच्च सीमाएँ	संगत संचयी बारंबारता (cf)
'से अधिक' प्रकार का तोरण	वर्ग अंतरालों की निम्न सीमाएँ	संगत संचयी बारंबारता (cf)

नोट: 'से कम प्रकार' और 'से अधिक प्रकार' के दोनों तोरण वक्र जिस बिंदु पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं, उस बिंदु का X-निर्देशांक ही आँकड़ों का माध्यक (Median) होता है।

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