Chapter 9. Some Applications of Trigonometry Notes in Hindi

 

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोगों पर संशोधन नोट्स

त्रिकोणमिति का उपयोग हमारे आस-पास की चीजों में कई तरह से किया जा सकता है जैसे कि हम इसका उपयोग वास्तविक गणना किए बिना कुछ वस्तुओं की ऊंचाई और दूरी की गणना के लिए कर सकते हैं।

ऊँचाई और दूरियाँ

किसी वस्तु की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए या किसी वस्तु की दूसरे से दूरी ज्ञात करने के लिए हमें कुछ बिन्दुओं का अर्थ ज्ञात करना चाहिए -

नजर

जब हम किसी वस्तु को देखते हैं तो हमारी दृष्टि द्वारा वस्तु को बनाई गई रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं।

क्षैतिज रेखा

एक क्षैतिज रेखा पर्यवेक्षक और वस्तु के बीच की दूरी है।

ऊंचाई का कोण

ऊंचाई का कोण दृष्टि रेखा द्वारा वस्तु के शीर्ष और क्षैतिज रेखा द्वारा बनाया गया कोण है। यह क्षैतिज रेखा के ऊपर होता है अर्थात उत्कर्ष का कोण तब बनता है जब हम वस्तु की ओर देखते हैं।

अवसाद का कोण

अवनमन कोण तब बनाया जाता है जब पर्यवेक्षक को वस्तु को देखने के लिए नीचे देखने की आवश्यकता होती है। क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण होता है जब क्षैतिज रेखा कोण के ऊपर होती है।

कुछ हल उदाहरण

उन्नयन कोण और अवनमन कोण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए हमें त्रिकोणमितीय अनुपातों, त्रिकोणमितीय तालिका और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को याद रखना चाहिए।

उदाहरण 1

ध्वज स्तंभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए यदि उन्नयन कोण 30° है और पर्यवेक्षक से ध्वज की दूरी 15 मीटर है।

समाधान:

मान लीजिए झंडे के खंभे की ऊंचाई x है।

क्षैतिज रेखा 15 मी है।

अब, x की गणना करने के लिए, हमें त्रिकोणमितीय अनुपात लेना होगा जिसमें लंब और आधार शामिल हैं।

अतः, ध्वजस्तम्भ 9 मीटर है।

उदाहरण: 2

एक बच्चा पहाड़ी की चोटी पर खेल रहा था। उसने पहाड़ी से झील में एक पत्थर फेंका था, पत्थर द्वारा तय की गई दूरी 150 मीटर थी और अवनमन कोण 30° था, तो पहाड़ी की ऊंचाई कितनी है?

समाधान:

माना कि पहाड़ी की ऊँचाई h है।

कर्ण 150 मीटर और अवनमन कोण 30° है।

अतः पहाड़ी की ऊँचाई 75 मीटर है।

उदाहरण: 3

बिंदु A पर खड़ा एक व्यक्ति 100 मीटर की ऊंचाई पर स्थित हवाई जहाज को 45° के उन्नयन कोण पर देख रहा है। जैसे ही हवाई जहाज ऊपर की ओर जा रहा था, कुछ देर बाद वह व्यक्ति 60° के उन्नयन कोण की ओर देख रहा था। तो 60° के कोण पर जमीन से हवाई जहाज की ऊंचाई में कितनी वृद्धि होगी?

समाधान:

दिया गया

∠CAB = 45°, ∠DAB = 60°

जमीन से हवाई जहाज की दूरी = x + 100 मीटर

∆ABC में

एबी = बीसी = 100 मीटर

∆ABD में

बीडी = बीसी + सीडी

100√3m = 100 + x

x = 100(√3 - 1) मी

इसलिए, हवाई जहाज की ऊंचाई में वृद्धि 100 (√3 -1) मीटर है।

उदाहरण: 4

एक लड़की जो 1.2 मीटर लंबी है, जमीन से 88.2 मीटर की ऊंचाई पर एक क्षैतिज रेखा में एक गुब्बारे को चलते हुए देख रही है। उसकी आँखों से उन्नयन कोण 60° से 30° हो जाता है। गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी की गणना करें।

समाधान:

डेस में

ΔBCG में

सीजी = 87√3 मीटर

बैलन द्वारा तय की गई दूरी = EG = CG - CE

87√3 - 29√3 = 58√3 मी