Chapter 8. Introduction to Trigonometry Notes in Hindi

 

त्रिकोणमिति के परिचय पर संशोधन नोट्स

त्रिकोणमिति

दूरियाँ और ऊँचाई ज्ञात करने के लिए हम गणितीय तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं, जो  त्रिकोणमिति के अंतर्गत आती हैं । यह त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंध को दर्शाता है। आम तौर पर, इसका उपयोग समकोण त्रिभुज के मामले में किया जाता है।

त्रिकोणमितीय अनुपात

एक समकोण त्रिभुज में, उसकी भुजाओं और न्यून कोणों का अनुपात कोणों का त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।

इस समकोण त्रिभुज में ∠B = 90° है। यदि हम ∠A को न्यूनकोण मान लें तो -

AB आधार है , तीव्र कोण के निकटवर्ती भुजा के रूप में।

BC लंब है , तीव्र कोण के विपरीत भुजा के रूप में।

Ac कर्ण है , समकोण के विपरीत भुजा के रूप में।

∠A के संबंध में त्रिकोणमितीय अनुपात 

अनुपात	सूत्र	संक्षिप्त रूप	मूल्य
नहीं ए		पी / एच	बीसी / एसी
कॉस ए		बी/एच	एबी/एसी
तो ए		पी/बी	बीसी/एबी
कोसेक ए		एच / पी	एसी/बीसी
सेकंड ए		एच/बी	एसी/एबी
खाट ए		बी/पी	एबी/बीसी

टिप्पणी

• यदि हम ∠C को न्यूनकोण मान लें तो BC आधार होगा और AB लंब होगा। कर्ण वही रहता है अर्थात एसी। तो अनुपात उसी के अनुसार होगा।
• यदि कोण समान है तो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों का मान समान रहता है चाहे भुजा की लंबाई घटे या बढ़े।
• एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है इसलिए sin A या cos A हमेशा 1 से कम या उसके बराबर होगा और sec A या cosec A का मान हमेशा 1 से अधिक या उसके बराबर होगा।

त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच पारस्परिक संबंध

Cosec A, sec A, और cot A क्रमशः sin A, cos A और tan A के व्युत्क्रम हैं।

संबंध

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

समस्याओं को हल करने में त्रिकोणमितीय अनुपात और तालिका का उपयोग

उदाहरण

त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हुए, ∆ ABC में भुजाओं BC और AC की लंबाई ज्ञात कीजिए, जो B पर समकोण है, जहाँ AB = 25 सेमी और ∠ACB = 30° है।

समाधान

भुजा BC की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें BC और दी गई भुजा AB वाले अनुपात को चुनना होगा। जैसा कि हम देख सकते हैं कि BC, कोण C की संलग्न भुजा है और AB, कोण C की विपरीत भुजा है, इसलिए

टैन 30°

बीसी = 25√3 सेमी

भुजा AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम विचार करते हैं

एसी = 50 सेमी

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

यदि दो कोणों का योग 90° हो तो उसे  पूरक कोण कहते हैं । एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° का होता है, अत: अन्य दो कोणों का योग भी 90° होता है या वे पूरक कोण होते हैं। इसलिए पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात होंगे -

sin (90° – A) = cos A,

cos (90° – A) = sin A,

tan (90° – A) = cot A,

cot (90° – A) = tan A,

सेकंड (90° - A) = cosec A,

cosec (90° – A) = sec A

त्रिकोणमितीय पहचान (पाइथागोरस पहचान)

एक समीकरण को एक त्रिकोणमितीय पहचान कहा जाता है यदि इसमें एक कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात होते हैं और दिए गए त्रिकोणमितीय अनुपातों के सभी मूल्यों के लिए इसे संतुष्ट करते हैं।

∆PQR में, जिसका कोण Q समकोण है, हम यह कह सकते हैं

PQ2  + QR2  = PR2 _

प्रत्येक पद को PR 2 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

 (sin R) 2  + (cos R) 2  = 1

sin 2  R + cos 2  R =1

इसी प्रकार अन्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ भी सिद्ध की जा सकती हैं। तो पहचान हैं-

sin 2  R + cos 2  R = 1

1 + तन 2  आर = सेकंड 2  आर

cot 2  R + 1 = cosec 2  R

त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिका से संबंधित समस्याओं को कैसे हल करें?

साबित करें कि

एलएचएस

(पारस्परिक पहचान और भागफल पहचान द्वारा)

(हर को सरल करके और पाइथागोरस सर्वसमिका द्वारा)

अत: बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष