Chapter 7. Coordinate Geometry Notes in Hindi

 

समन्वय ज्यामिति पर संशोधन नोट्स

कार्तीय समन्वय प्रणाली

कार्तीय समन्वय प्रणाली में, एक कार्तीय तल होता है जो दो संख्या रेखाओं से बना होता है जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं, अर्थात  x-अक्ष (क्षैतिज)  और  y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर)  जो दो चरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन दो लंब रेखाओं को निर्देशांक अक्ष कहते हैं।

• इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को   समन्वय तल के केंद्र या मूल के रूप में जाना जाता है। इसके निर्देशांक  (0, 0) हैं।

• इस समन्वय तल पर किसी भी बिंदु को संख्याओं के क्रमित युग्म द्वारा दर्शाया जाता है। माना (a, b) एक क्रमित युग्म है तो a x-निर्देशांक है और b y-निर्देशांक है।

• y-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका  x-निर्देशांक या भुज कहते  हैं और x-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी को उसका  y-निर्देशांक या कोटि कहते हैं।

• कार्तीय तल को चार चतुर्थांश I, II, III और IV में विभाजित किया गया है।

सीधी रेखा का समीकरण

कार्तीय तल पर रेखा के ग्राफ को प्लॉट करने के लिए रेखा के समीकरण का उपयोग किया जाता है।

एक रेखा के समीकरण को  स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म में लिखा  जाता है

वाई = एमएक्स + बी

जहाँ m रेखा का ढलान है और b y अवरोधन है।

रेखा का स्लोप ज्ञात करने के लिए पहले हमें समीकरण को स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म में बदलने की आवश्यकता है, फिर हम स्लोप और वाई इंटरसेप्ट आसानी से प्राप्त कर सकते हैं।

दूरी सूत्र

किन्हीं दो बिंदुओं A(x 1 ,y 1 ) और B(x 2 ,y 2 ) के बीच की दूरी की गणना किसके द्वारा की जाती है

उदाहरण

दी गई आकृति में बिंदुओं D और E के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान

इससे पता चलता है कि यह  पाइथागोरस प्रमेय के समान है । पाइथागोरस प्रमेय के रूप में

उत्पत्ति से दूरी

यदि हमें मूल बिंदु से किसी बिंदु की दूरी ज्ञात करनी है तो एक बिंदु P(x,y) है और दूसरा बिंदु स्वयं मूल बिंदु है, जो O(0,0) है। अतः उपरोक्त दूरी सूत्र के अनुसार होगा

खंड सूत्र

यदि P(x, y) रेखाखंड AB पर कोई बिंदु है, जो AB को m: n के अनुपात में विभाजित करता है, तो बिंदु P(x, y) के निर्देशांक होंगे

मध्य बिंदु सूत्र

यदि P(x, y) रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है, जो AB को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो बिंदु P(x, y) के निर्देशांक होंगे

त्रिभुज का क्षेत्रफल

यहाँ ABC शीर्षों A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) और C(x 3 , y 3 ) वाला एक त्रिभुज है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें क्रमशः A, B और C से x-अक्ष पर AP, BQ और CR लंब खींचने होंगे। अब हम देख सकते हैं कि ABQP, APRC और BQRC सभी समलम्ब हैं।

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = समलंब ABQP का क्षेत्रफल + समलंब APRC का क्षेत्रफल - समलंब BQRC का क्षेत्रफल।

इसलिए,

टिप्पणी : यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है तो दिए गए तीन बिंदु संरेखी होने चाहिए।

उदाहरण

आइए देखें कि चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसके शीर्ष A (-4,-2), B (-3,-5), C (3,-2) और D (2, 3) हैं।

यदि ABCD एक चतुर्भुज है तो A और C को मिलाने पर हमें दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं। चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम ∆ ABC और ∆ ADC का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं और फिर उन्हें जोड़ सकते हैं।

एक बहुभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज की तरह, हम किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं यदि हमें बहुभुज के सभी शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों।

यदि हमारे पास n शीर्षों वाला बहुभुज है, तो क्षेत्रफल का सूत्र होगा

जहाँ x 1  शीर्ष 1 का x निर्देशांक है और y n  , nवें शीर्ष आदि का y निर्देशांक है।

उदाहरण

दिए गए चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

दिए गए चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए-

• प्रत्येक शीर्ष के x और y निर्देशांकों की तालिका बनाएँ। इसे क्लॉकवाइज या एंटी-क्लॉकवाइज करें।

• इसके द्वारा पहली दो पंक्तियों को सरल करें:

  • पहली पंक्ति x को दूसरी पंक्ति y से गुणा करना। (लाल)

  • पहली पंक्ति y को दूसरी पंक्ति x से गुणा करना (नीला)

  • दूसरे उत्पाद को पहले से घटाएं।

• इसे अन्य सभी पंक्तियों के लिए दोहराएं।

• अब इन परिणामों को जोड़ें।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल 45.5 है क्योंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक रहेगा।

त्रिभुज का केन्द्रक

त्रिभुज का केन्द्रक वह बिंदु होता है जहाँ त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ एक दूसरे से मिलती हैं।

यहाँ ABC शीर्षों A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) और C(x 3 , y 3 ) वाला एक त्रिभुज है। त्रिभुज का केन्द्रक निर्देशांक (x, y) वाला बिंदु है।

केन्द्रक के निर्देशांक की गणना इस प्रकार की जाएगी

टिप्पणियों

निर्देशांक ज्यामिति में, इसके शीर्षों के x और y निर्देशांकों से बहुभुज बनते हैं। तो यह साबित करने के लिए कि दी गई आकृति एक है:

नहीं।	चार बिंदुओं से बने आंकड़े	सिद्ध करना
1.	वर्ग	इसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं और विकर्ण भी बराबर होते हैं।
2.	विषमकोण	इसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
3.	रोम्बस लेकिन स्क्वायर नहीं	चार भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण बराबर नहीं हैं।
4.	आयत	इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और विकर्ण भी बराबर होते हैं।
5.	चतुर्भुज	इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
6.	समांतर चतुर्भुज लेकिन आयत नहीं	इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं लेकिन विकर्ण बराबर नहीं होते।

 

नहीं।	तीन बिंदुओं से बने आंकड़े	सिद्ध करना
1.	विषमबाहु त्रिभुज	यदि उसकी कोई भी भुजा बराबर नहीं है।
2.	एक समद्विबाहु त्रिभुज	यदि कोई दो भुजाएँ बराबर हों।
3.	समान भुजाओं वाला त्रिकोण	यदि यह तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
4.	सही त्रिकोण	यदि किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो।

उदाहरण

यदि एक त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक (1, 3) हैं और इसके दो शीर्ष (- 7, 6) और (8, 5) हैं, तो त्रिभुज का तीसरा शीर्ष क्या होगा?

समाधान

माना त्रिभुज का तीसरा शीर्ष P(x, y) है

चूँकि त्रिभुज का केन्द्रक (1, 3) है

इसलिए,

अतः तीसरे शीर्ष के निर्देशांक (2, - 2) हैं।