Chapter 6. Triangles Notes in Hindi

 

त्रिकोण पर संशोधन नोट्स

कोई भी बहुभुज जिसकी तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष हों,  त्रिभुज कहलाता है ।

त्रिभुजों के प्रकार

1. भुजाओं की लंबाई के आधार पर त्रिभुज तीन प्रकार के होते हैं।

2. कोणों के आधार पर त्रिभुज तीन प्रकार के होते हैं।

त्रिकोण के केंद्र

त्रिभुज के चार अलग-अलग केंद्र हैं

1. त्रिभुज का केन्द्रक

त्रिभुज की तीनों भुजाओं की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उस त्रिभुज का केन्द्रक होता है। यह हमेशा त्रिभुज के अंदर रहेगा।

2. त्रिभुज का अंतःकेंद्र

त्रिभुज के तीनों कोणों के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु उस त्रिभुज का अंतःकेन्द्र कहलाता है। यह वह बिंदु है जहां से वृत्त को त्रिभुज में अंकित किया गया है। त्रिभुज के किसी भी ओर के केंद्र से लंब खींचकर त्रिज्या का पता लगाया जाता है।

3. त्रिभुज का परिकेंद्र

त्रिभुज के तीन शीर्षों के लंब समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु को उस त्रिभुज का परिकेंद्र कहा जाता है। यह हमेशा त्रिभुज के अंदर नहीं होता है। यह अधिक त्रिभुज के लिए त्रिभुज के बाहर हो सकता है और समकोण त्रिभुज के कर्ण के मध्य बिंदु पर गिर सकता है।

4. ऑर्थोसेंटर

त्रिभुज की ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु उस त्रिभुज का लंबकेन्द्र होता है। परिकेन्द्र की तरह, यह अधिक त्रिभुज के मामले में भी त्रिभुज के बाहर पड़ता है और समकोण त्रिभुज के मामले में यह त्रिभुज के शीर्ष पर पड़ता है।

सर्वांगसम बनाम समान आंकड़े

	अनुकूल	समान
कोणों	संगत कोण समान होते हैं।	संगत कोण समान होते हैं।
पक्षों	संगत भुजाएँ समान होती हैं।	संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
उदाहरण
व्याख्या	दोनों वर्गों के समान कोण और समान भुजाएँ हैं।	दोनों वर्गों के कोण समान हैं लेकिन समान भुजाएँ नहीं हैं।
प्रतीक

उपरोक्त व्याख्या से पता चलता है कि यदि दो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं तो वे समरूप भी होंगी लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि यदि दो आकृतियाँ समरूप हैं तो वे सर्वांगसम भी होंगी।

त्रिभुजों की समानता

त्रिभुजों में भी हम इसी शर्त का प्रयोग करेंगे कि दोनों त्रिभुज समरूप होंगे यदि-

• दो त्रिभुजों के संगत कोण समान हैं और

• दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं।

उपरोक्त दो त्रिभुज ∆ABC और ∆DEF समान हैं-

यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण समान हों तो वे समबाहु त्रिभुज कहलाते हैं।

मूल आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)

थेल्स प्रमेय के अनुसार  , यदि किसी दिए गए त्रिभुज में त्रिभुज की किसी भी भुजा के समानांतर एक रेखा इस प्रकार खींची जाती है कि अन्य दो भुजाएँ किसी विशिष्ट बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो यह दोनों भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है।

∆KMN में, यदि PQ║MN और KM को P पर और KN को Q पर प्रतिच्छेद करता है, तो,

बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय का विलोम

यह बुनियादी आनुपातिकता प्रमेय के विपरीत है, जो कहता है कि यदि किसी दिए गए त्रिभुज में एक सीधी रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है तो वह सरल रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

त्रिभुजों की समानता के लिए मानदंड

मूल रूप से, दो त्रिभुजों की समानता ज्ञात करने के लिए तीन मापदंड हैं।

1. एएए (कोण-कोण-कोण) समानता का मानदंड

यदि दिए गए दो त्रिभुजों में सभी संगत कोण बराबर हों तो उनकी संगत भुजाएँ भी समानुपात में होंगी।

इससे पता चलता है कि ∆ABC और ∆PQR में सभी संगत कोण समान हैं इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपात में हैं, इसलिए दोनों त्रिभुज समान हैं।

अत: ∆ABC ~ ∆PQR

टिप्पणी : यदि दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तो त्रिभुज के कोणों के योग के अनुसार तीसरा कोण भी बराबर होगा। तो दो त्रिभुज समान होंगे यदि उनके दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों। इसे  AA (कोण-कोण) मानदंड के रूप में जाना जाता है ।

2. एसएसएस (साइड-साइड-साइड) समानता का मानदंड

यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं के अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः दोनों त्रिभुज समरूप हैं।

∆ABC और ∆DEF में

अत: ∆ABC ~ ∆DEF

टिप्पणी : उपरोक्त दोनों कसौटियों से पता चलता है कि यदि दोनों में से कोई एक कसौटी पर खरी उतरती है तो दूसरी का तात्पर्य स्वयं ही हो जाता है। इसलिए हमें दोनों त्रिभुजों की समानता ज्ञात करने के लिए संतुष्ट करने के लिए दोनों स्थितियों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है। यदि सभी कोण समान हैं तो सभी भुजाएँ समानुपात में होंगी और इसके विपरीत भी।

3. एसएएस (साइड-एंगल-साइड) समानता का मानदंड

यदि दो त्रिभुजों में, दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के साथ समान अनुपात में हों और उन भुजाओं को मिलाकर कोण बराबर हो, तो ये दोनों त्रिभुज समरूप होंगे।

∆ABC और ∆KLM में

इसलिए, ∆ABC ~ ∆KLM

समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल

यदि दो समरूप त्रिभुज दिए हों तो उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग उनके क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर होगा।

यदि ∆ABC ~ ∆PQR, तो

Pythagoras Theorem (Baudhayan Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अर्थात समकोण के विपरीत भुजा त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्ग के योग के बराबर होती है।

यदि एक कोण 90° का है, तो a 2  + b 2  = c 2 है

उदाहरण

दिए गए समकोण त्रिभुज में, कर्ण ज्ञात कीजिए।

समाधान

AB और BC समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं।

BC = 12 सेमी और AB = 5 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से, हमारे पास:

सीए 2  = एबी 2  + बीसी  2

= (5) 2  + (12) 2

= 25+144

अत: एसी 2  = 169

एसी = 13 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

एक त्रिभुज में, यदि दो भुजाओं के वर्ग का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है तो दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

यदि a 2  + b 2  = c 2  तो एक कोण 90° का होता है।

समकोण त्रिभुज में बने दो त्रिभुजों की समानता

एक समकोण त्रिभुज में, यदि हम समकोण से त्रिभुज के कर्ण पर लंब खींचें, तो दोनों नए त्रिभुज पूरे त्रिभुज के समरूप होंगे।

उपरोक्त समकोण त्रिभुज में CP कर्ण पर शीर्ष है, इसलिए

∆एसीपी ~ ∆एसीबी

∆पीसीबी ~ ∆एसीबी

∆पीसीबी ~ ∆एसीपी

त्रिभुज में साइन और कोसाइन के नियम

साइन और कोसाइन के नियमों का उपयोग तिरछे त्रिभुज के अज्ञात पक्ष या कोण को खोजने के लिए किया जाता है। ओलिग त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जो समकोण त्रिभुज नहीं है।

1. ज्या का नियम

यह कोण और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है।

इसका उपयोग कब किया जाता है

i) दो कोण और एक भुजा दी हुई है (AAS या ASA)

ii) दो भुजाएँ और एक गैर-शामिल कोण (SSA)

ज्या के नियम से पता चलता है कि एक त्रिभुज की भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्या के समानुपाती होती हैं।

2. कोज्या का नियम

इसका उपयोग कब किया जाता है

i) दो भुजाएँ और एक सम्मिलित कोण दिया गया है (SAS)

ii) तीन भुजाएँ दी गई हैं (SSS)

हम ऐसे कानूनों का उपयोग कब कर सकते हैं?