अंकगणितीय प्रगति पर संशोधन नोट्स
अंकगणितीय प्रगति
एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें हम प्रत्येक पद को पिछले पद में एक विशेष संख्या जोड़कर प्राप्त करते हैं, पहले पद को छोड़कर।
अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को पद के रूप में जाना जाता है ।
नियत संख्या अर्थात प्रत्येक पद और उसके पूर्ववर्ती पद का अंतर सार्व अंतर कहलाता है । यह सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। इसे ' डी ' के रूप में दर्शाया गया है।
अंकगणितीय प्रगति के कुछ उदाहरण
| सामान्य अंतर | डी का मूल्य | उदाहरण |
| डी > 0, सकारात्मक | 10 | 20, 30, 40, 50,… |
| डी <0, नकारात्मक | -25 | 100, 75, 50, 25, 0 |
| डी = 0, शून्य | 0 | 5, 5, 5, 5,.. |
अंकगणितीय प्रगति का सामान्य रूप
जहाँ पहला पद 'a' है और सार्व अंतर 'd' है ।
उदाहरण
दिया गया क्रम 2, 5, 8, 11, 14,…
यहाँ, a = 2 और d = 3
डी = 5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 3
पहला पद a = 2 है
दूसरा पद a + d = 2 + 3 = 5 है
तीसरा पद a + 2d = 2 + 6 = 8 और इसी प्रकार आगे भी है।
परिमित या अनंत अंकगणितीय प्रगति
1. परिमित अंकगणितीय प्रगति
यदि अनुक्रम में केवल सीमित संख्या में पद हैं तो इसे परिमित अंकगणितीय प्रगति के रूप में जाना जाता है।
229, 329, 429, 529, 629
2. अनंत अंकगणितीय प्रगति
यदि अनुक्रम में अपरिमित संख्या में पद हैं तो इसे अनंत अंकगणितीय श्रेढ़ी के रूप में जाना जाता है।
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…..…
अंकगणितीय श्रेढ़ी का n वाँ पद
यदि a n n वाँ पद है, a 1 पहला पद है, n अनुक्रम में पदों की संख्या है और d एक सामान्य अंतर है तो अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद होगा
उदाहरण
AP का 11वाँ पद ज्ञात कीजिए: 24, 20, 16,…
समाधान
a = 24, n = 11, d = 20 - 24 = - 4 दिया है
और एन = ए + (एन - 1) डी
एक 11 = 24 + (11-1) - 4
= 24 + (10) - 4
= 24 - 40
= -16
अंकगणित श्रृंखला
अंकगणितीय श्रृंखला अंकगणितीय अनुक्रम की सभी शर्तों का योग है।
अंकगणितीय श्रृंखला के रूप में है
{ए + (ए + डी) + (ए + 2डी) + (ए + 3डी) +........}
अंकगणितीय श्रृंखला के पहले n पदों का योग
अनुक्रम के प्रथम n पदों के योग की गणना किसके द्वारा की जाती है
उदाहरण
यदि राधा अपने गुल्लक में हर महीने कुछ पैसे बचाती है, तो 12 महीने बाद उसके गुल्लक में कितने पैसे होंगे, यदि धन क्रमशः 100, 150, 200, 250,… के क्रम में है?
समाधान
दिया गया क्रम है-
100, 150, 200, 250, …
ए = 100 (पहला कार्यकाल)
डी = 50 (सामान्य अंतर)
n = 12 (जैसा कि हमें 12 महीनों के पैसे की गणना करनी है)
अब हम मूल्यों को सूत्र में रखेंगे
तो 12 महीनों में उसके बैंक में एकत्रित धन रुपये है। 4500.
लेकिन जब हमारे पास अंकगणितीय श्रेढ़ी परिमित है या हम अनुक्रम के अंतिम पद को जानते हैं तो श्रेढ़ी के सभी दिए गए पदों के योग की गणना इस प्रकार की जाएगी
जहाँ l = a + (n – 1)d अर्थात परिमित समांतर श्रेढ़ी का अंतिम पद।
टिप्पणी: अनंत अंकगणितीय अनुक्रम का योग मौजूद नहीं है।
उदाहरण
अनुक्रम 38, 36, 34, 32, 30 का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान
दिया गया
ज्यामितीय अनुक्रम
एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें हम प्रत्येक पद को पहले पद को छोड़कर किसी विशेष संख्या को पिछले पद से गुणा या विभाजित करके प्राप्त करते हैं।
प्रत्येक पद का अगले पद से अनुपात नियत रहता है।
ज्यामितीय अनुक्रम का n वाँ पद
एक एन = एक 1 आर एन - 1
ज्यामितीय श्रृंखला का योग
हार्मोनिक प्रगति
यह अंकगणितीय प्रगति का उल्टा है। यदि a, a + d, a + 2d ….. एक अंकगणितीय प्रगति है तो हार्मोनिक प्रगति है
हार्मोनिक प्रगति की n वीं अवधि
टिप्पणी: हार्मोनिक श्रृंखला का योग खोजने के लिए कोई विशेष सूत्र नहीं है इसलिए हम अंकगणितीय श्रृंखला के योग की गणना कर सकते हैं और फिर इसका व्युत्क्रम ले सकते हैं जो हार्मोनिक श्रृंखला का योग होगा।
हार्मोनिक श्रृंखला अनंत तक भिन्न होती है।
अंकगणित औसत
अंकगणितीय माध्य दो संख्याओं का औसत है। यदि ए, बी और सी अंकगणितीय प्रगति में हैं तो ए और सी का अंकगणितीय माध्य होगा
कुछ महत्वपूर्ण बिंदु
प्रथम n धनात्मक पूर्णांकों का योग किसके द्वारा दिया जाता है
पहले n पदों और पहले (n - 1) पदों के योग के बीच का अंतर भी दी गई समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद है।
एन = एस एन - एस एन -1
जियोमेट्रिक माध्य
ज्यामितीय माध्य दो संख्याओं का औसत है। यदि a और b दो संख्याएँ हैं, तो ज्यामितीय माध्य होगा
एएम और जीएम के बीच संबंध
जैसा कि हमने अंकगणितीय माध्य के सूत्र के ऊपर देखा है और ज्यामितीय माध्य इस प्रकार हैं-
जहाँ a और b दो धनात्मक संख्याएँ हैं।
माना A और G AM और GM हैं
इसलिए
अब दोनों साधनों को एक दूसरे से घटाते हैं
इससे पता चलता है कि A ≥ G
AM और GM के संबंध के गुण
संपत्ति I: यदि दो धनात्मक संख्याओं a और b का अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य क्रमशः A और G हैं, तो
ए> जी
ए - जी> 0 के रूप में
संपत्ति II: यदि A अंकगणितीय माध्य हो और G दो सकारात्मक संख्याओं a और b के बीच ज्यामितीय माध्य हो, तो द्विघात समीकरण जिसकी जड़ें a, b हैं
x 2 - 2Ax + G 2 = 0
गुण III: यदि A अंकगणितीय माध्य है और G दो धनात्मक संख्याओं के बीच का ज्यामितीय माध्य है, और तब संख्याएँ हैं
ए ± √ए 2 - जी 2
अनुकूल माध्य
हरात्मक माध्य की गणना सभी मदों के व्युत्क्रमों के योग से मदों की संख्या को भाग देकर की जाती है।
हार्मोनिक माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब अत्यधिक अवलोकन होते हैं। पसंद करना
इस स्थिति में यदि हम औसत ज्ञात करने के लिए अंकगणितीय माध्य का उपयोग करेंगे तो हमें गलत औसत प्राप्त होगा।
AM, GM और HM के बीच संबंध
यदि a और b दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो
पूर्वाह्न ≥ जीएम
जीएम ≥ एचएम
उपरोक्त दो असमानताओं का संयोजन यह दर्शाता है
एएम ≥ जीएम ≥ एचएम
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