द्विघात समीकरणों पर संशोधन नोट्स
द्विघात बहुपद
एक बहुपद, जिसकी घात 2 है, द्विघात बहुपद कहलाता है। यह के रूप में है
p(x) = ax 2 + bx + c, जहाँ a ≠ 0
द्विघात समीकरण
जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के बराबर करते हैं तो इसे द्विघात समीकरण कहा जाता है अर्थात यदि
p(x) = 0 , तो इसे द्विघात समीकरण कहते हैं।
द्विघात समीकरण का मानक रूप
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a≠0
द्विघात समीकरणों के प्रकार
1. पूर्ण द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
2. शुद्ध द्विघात समीकरण ax 2 = 0, जहाँ a ≠ 0, b = 0, c = 0
एक द्विघात समीकरण की जड़ें
माना x = α जहाँ α एक वास्तविक संख्या है। यदि α द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 को इस प्रकार संतुष्ट करता है कि aα 2 + bα + c = 0, तो α द्विघात समीकरण का मूल है ।
चूंकि द्विघात बहुपदों की डिग्री 2 होती है, इसलिए द्विघात समीकरणों के दो मूल हो सकते हैं। अतः द्विघात बहुपद p(x) =ax 2 +bx+c के शून्य द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c= 0 के मूल के समान हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके
द्विघात समीकरणों को हल करने की तीन विधियाँ हैं-
1. गुणनखंडन विधि
इस विधि में, हम दिए गए समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए समीकरण को दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित करते हैं और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करते हैं।
चरण 1 : ax 2 + bx + c = 0 के रूप में दिया गया द्विघात समीकरण ।
चरण 2 : मध्य पद bx को mx + nx के रूप में विभाजित करें ताकि m और n का योग b के बराबर हो और m और n का गुणनफल ac के बराबर हो ।
चरण 3 : गुणनखंडन से हमें दो रैखिक गुणनखंड (x + p) और (x + q) प्राप्त होते हैं
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 = (एक्स + पी) (एक्स + क्यू) = 0
चरण 4 : अब हमें x का मान ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करना होगा।
x के ये मान दिए गए द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2. वर्ग विधि को पूरा करना
इस विधि में, हम मूल ज्ञात करने के लिए समीकरण को वर्ग रूप (x + a) 2 - b 2 = 0 में परिवर्तित करते हैं।
चरण 1 : द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मानक रूप में दिया गया है।
चरण 2 : दोनों पक्षों को a से विभाजित करें
चरण 3 : स्थिरांक को दाएँ पक्ष पर स्थानांतरित करें फिर x के गुणांक के आधे भाग का वर्ग जोड़ दें अर्थात 
दोनों पक्षों पर
चरण 4 : अब बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें और दाएँ पक्ष को सरल करें।
चरण 5 : दोनों पक्षों में वर्गमूल लें।
चरण 6 : अब सभी अचर पदों को दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करें और हम x के मान की गणना कर सकते हैं क्योंकि दाएँ पक्ष में कोई चर नहीं है।
3. द्विघात सूत्र विधि
इस विधि में हम द्विघात सूत्र का प्रयोग करके मूल ज्ञात कर सकते हैं। द्विघात सूत्र है
जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और b 2 – 4ac को विविक्तकर कहा जाता है।
समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्र में a, b और c का मान रखें।
जड़ों की प्रकृति
द्विघात सूत्र से हम देख सकते हैं कि द्विघात समीकरण के दो मूल हैं -
जहां डी = बी 2 - 4एसी
समीकरण के मूलों की प्रकृति D के मान पर निर्भर करती है, इसलिए इसे विविक्तकर कहते हैं।
∆ = विविक्तकर
0 Comments