दो चरों में रैखिक समीकरणों के युग्म पर संशोधन नोट्स
रेखीय समीकरण
एक रेखीय समीकरण सीधी रेखा का एक समीकरण है। यह के रूप में है
कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0
जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं (a≠0 और b≠0) और x और y दो चर हैं,
यहाँ a और b गुणांक हैं और c समीकरण का अचर है।
रैखिक समीकरणों की जोड़ी
दो समान चर वाले दो रैखिक समीकरणों को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म के रूप में जाना जाता है।
ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0
ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0
रैखिक समीकरणों के एक युग्म को हल करने की आलेखीय विधि
जैसा कि हम दो समीकरण दिखा रहे हैं, ग्राफ पर दो रेखाएँ होंगी।
1. यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को एक विशेष बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो वह बिंदु रैखिक समीकरणों के उस युग्म का एकमात्र हल होगा। इसे समीकरणों का एक सुसंगत युग्म कहा जाता है।
2. यदि दो रेखाएँ एक दूसरे के साथ मिलती हैं, तो अनंत समाधान होंगे क्योंकि रेखा के सभी बिंदु रैखिक समीकरणों के युग्म का हल होंगे। इसे समीकरणों का आश्रित या सुसंगत युग्म कहा जाता है।
3. यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं तो कोई हल नहीं होगा क्योंकि रेखाएँ किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं। इसे समीकरणों का एक असंगत युग्म कहा जाता है।
रैखिक समीकरणों के एक युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ
1. प्रतिस्थापन विधि
यदि हमारे पास दो चर x और y के साथ रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी है, तो हमें उन्हें प्रतिस्थापन विधि से हल करने के लिए इन चरणों का पालन करना होगा-
चरण 1 : हमें किसी एक समीकरण को चुनना है और एक चर का मान दूसरे चर के संदर्भ में अर्थात x के संदर्भ में y ज्ञात करना है।
चरण 2 : फिर दूसरे समीकरण में y के परिकलित मान को x के पदों में प्रतिस्थापित करें।
चरण 3 : अब इस रैखिक समीकरण को x के पदों में हल कीजिए क्योंकि यह केवल एक चर iex में है
चरण 4 : दिए गए समीकरणों में x के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करें और y का मान ज्ञात करें।
2. उन्मूलन विधि
इस विधि में, हम किसी एक चर को हटाकर समीकरणों को हल करते हैं।
चरण 1 : दोनों समीकरणों को इतनी संख्या से गुणा करें कि किसी एक चर का गुणांक बराबर हो जाए।
चरण 2 : अब समीकरणों को जोड़ें या घटाएं ताकि एक चर समाप्त हो जाए क्योंकि एक चर के गुणांक समान हैं।
चरण 3 : उस बचे हुए चर में समीकरण को उसका मान ज्ञात करने के लिए हल करें।
चरण 4 : दूसरे चर का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरणों में चर के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करें।
3. क्रॉस गुणन विधि
के रूप में दो समीकरण दिए हैं
a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 और a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, जहां
हम इसे सामान्य रूप में लिखते हैं
क्रॉस गुणन लागू करने के लिए हम इस आरेख का उपयोग करते हैं
तीर जोड़े को गुणा करने का संकेत देते हैं। ऊपर की ओर तीर जोड़े का उत्पाद नीचे की ओर तीर जोड़े के उत्पाद से घटाया जाना है।
इस आरेख का उपयोग करके हमें समीकरणों को सामान्य रूप में लिखना है फिर x और y के मानों को उपरोक्त अंकन में रखकर ज्ञात करना है।
y समीकरणों के युग्म की व्याख्या
दो वेरिएबल्स में रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी के लिए कम करने योग्य समीकरण
समीकरणों के कुछ ऐसे युग्म हैं जो रैखिक नहीं हैं लेकिन प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक रूप में कम किए जा सकते हैं।
दिए गए समीकरण
हम इस प्रकार के समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में परिवर्तित कर सकते हैं
पत्र 
और
अब प्रतिस्थापन के बाद समीकरण होगा
हूँ + बीएन = सी
इसे रैखिक समीकरणों को हल करने की किसी भी विधि द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है।
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