सांख्यिकी पर संशोधन नोट्स
आंकड़े
सांख्यिकी गणित का एक भाग है जिसमें हम आंकड़ों को एकत्र करने, व्यवस्थित करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने और प्रस्तुत करने के बारे में अध्ययन करते हैं।
सांख्यिकी वास्तविक जीवन स्थितियों में बहुत सहायक होती है क्योंकि यह समझना आसान होता है कि क्या हम किसी विशेष संख्या में डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं जो सभी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है। इस संख्या को केंद्रीय प्रवृत्ति का माप कहा जाता है । आमतौर पर उपयोग में आने वाली कुछ केंद्रीय प्रवृत्तियाँ हैं -
अर्थ
यह "n" संख्याओं का औसत है, जिसकी गणना सभी संख्याओं के योग को n से विभाजित करके की जाती है।
n मानों का माध्य x 1 , x 2 , x 3 , ...... x n द्वारा दिया गया है
मंझला
यदि हम संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं तो श्रृंखला की मध्य संख्या माध्यिका होगी। यदि श्रृंखला की संख्या सम है तो माध्यिका दो मध्य संख्याओं का औसत होगी।
यदि n विषम है तो माध्यिका 
प्रेक्षण है।
यदि n सम है तो माध्यिका 
अवलोकन का औसत है।
तरीका
वह संख्या जो श्रृंखला में सबसे अधिक बार आती है तो उसे n संख्याओं का बहुलक कहा जाता है।
समूहीकृत डेटा का माध्य (वर्ग अंतराल के बिना)
यदि आँकड़ों को इस प्रकार व्यवस्थित किया जाए कि कोई वर्ग अंतराल न हो तो हम माध्य की गणना कर सकते हैं
जहाँ, x 1 , x 2 , x 3 ,...... x n प्रेक्षण हैं
f 1 , f 2 , f 3 , ... f n दिए गए प्रेक्षणों की संबंधित बारंबारताएं हैं।
उदाहरण
| समूहीकृत जनसंख्या माध्य | ||
| एक्स | एफ | एफएक्स |
| 20 | 40 | 800 |
| 40 | 60 | 2400 |
| 60 | 30 | 1800 |
| 80 | 50 | 4000 |
| 100 | 20 | 2000 |
| 200 | ∑fx = 11000 | |
यहाँ, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 क्रमशः 20, 40, 60, 80, 100 हैं और f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 क्रमशः 40, 60, 30, 50 हैं , 20 क्रमशः।
समूहीकृत डेटा का माध्य (वर्ग-अंतराल के साथ)
जब आँकड़ों को वर्ग अंतराल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है तो माध्य की गणना तीन विधियों द्वारा की जा सकती है।
1. प्रत्यक्ष विधि
इस पद्धति में, हम एक मध्यबिंदु का उपयोग करते हैं जो पूरी कक्षा का प्रतिनिधित्व करता है। इसे वर्ग चिह्न कहते हैं । यह ऊपरी सीमा और निचली सीमा का औसत है।
उदाहरण
एक शिक्षक गणित के लिए 55 छात्रों की कक्षा का परीक्षा परिणाम अंकित करता है। दिए गए समूह के लिए माध्य ज्ञात कीजिए।
| छात्रों के निशान | 0 - 10 | 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 |
| आवृत्ति | 27 | 10 | 7 | 5 | 4 | 2 |
माध्य ज्ञात करने के लिए हमें प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-बिंदु या वर्ग चिह्न ज्ञात करना होगा जो कि x होगा और फिर आवृत्ति और मध्यबिंदु को गुणा करने पर हमें fx प्राप्त होता है।
| छात्रों के निशान | आवृत्ति (च) | मिडपॉइंट (एक्स) | एफएक्स |
| 0 - 10 | 27 | 5 | 135 |
| 10 - 20 | 10 | 15 | 150 |
| 20 - 30 | 7 | 25 | 175 |
| 30 - 40 | 5 | 35 | 175 |
| 40 - 50 | 4 | 45 | 180 |
| 50 - 60 | 2 | 55 | 110 |
| ∑f = 55 | ∑fx = 925 |
2. विचलन या कल्पित माध्य विधि
यदि हमें बड़ी संख्या की गणना करनी है तो हम अपनी गणना को आसान बनाने के लिए इस विधि का उपयोग कर सकते हैं। इस विधि में, हम x में से किसी एक को कल्पित माध्य के रूप में चुनते हैं और इसे "a" के रूप में रखते हैं। तब हम विचलन पाते हैं जो कल्पित माध्य और x में से प्रत्येक का अंतर है। शेष विधि प्रत्यक्ष विधि के समान ही है।
उदाहरण
यदि हमारे पास कंपनी के कर्मचारियों के घर में होने वाले खर्च का टेबल हो तो उनके खर्च का क्या मतलब होगा?
| व्यय (रु।) | 100 - 150 | 150 - 200 | 200 - 250 | 250 - 300 | 300 - 350 | 350 - 400 |
| आवृत्ति | 24 | 40 | 33 | 28 | 30 | 22 |
समाधान
जैसा कि हम देख सकते हैं कि गणना करने के लिए x के बड़े मान हैं इसलिए हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करेंगे।
यहाँ हम 275 को कल्पित माध्य के रूप में लेते हैं।
| व्यय (रु।) | आवृत्ति (च) | मध्य मान (एक्स) | डी = एक्स - 275 | एफडी |
| 100 - 150 | 24 | 125 | - 150 | - 3600 |
| 150 - 200 | 40 | 175 | - 100 | - 4000 |
| 200 - 250 | 36 | 225 | - 50 | -1650 |
| 250 - 300 | 28 | 275 | 0 | 0 |
| 300 - 350 | 30 | 325 | 50 | 1500 |
| 350 - 400 | 22 | 375 | 100 | 2200 |
| ∑f = 180 | ∑एफडी = - 5550 |
3. चरण विचलन विधि
इस पद्धति में, हम अपनी गणना को आसान बनाने के लिए d के मानों को एक संख्या "h" से विभाजित करते हैं।
उदाहरण
श्रमिकों का वेतन तालिका में दिया गया है। पद विचलन विधि द्वारा माध्य ज्ञात कीजिए।
| वेतन | 20 - 30 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 |
| श्रमिकों की संख्या | 8 | 9 | 12 | 1 1 | 6 |
समाधान
| वेतन | श्रमिकों की संख्या (च) | मध्य-बिंदु (एक्स) | मान लें कि (ए) = 35, डी = एक्स - ए | एच = 10, यू = (एक्स - ए) / एच | फू |
| 10 - 20 | 8 | 15 | -20 | -2 | -16 |
| 20 - 30 | 9 | 25 | -10 | -1 | -9 |
| 30 - 40 | 12 | 35 | 0 | 0 | 0 |
| 40 - 50 | 1 1 | 45 | 10 | 1 | 1 1 |
| 50 - 60 | 6 | 55 | 20 | 2 | 12 |
| ∑f = 46 | ∑फू = -2 |
समूहीकृत डेटा का तरीका
असमूहीकृत डेटा में सबसे अधिक बार होने वाली संख्या। अनुक्रम का मोड है, लेकिन समूहीकृत डेटा में हम केवल वर्ग अंतराल पा सकते हैं जिसमें अधिकतम आवृत्ति संख्या है । मोडल वर्ग।
उस मोडल क्लास में मोड के मान की गणना किसके द्वारा की जाती है
l = बहुलक वर्ग की निम्न वर्ग सीमा
h = वर्ग अंतराल आकार
f 1 = मोडल क्लास की आवृत्ति
f 0 = पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति
f 2 = उत्तरवर्ती वर्ग की बारंबारता
उदाहरण
एक कक्षा के छात्रों के अंकों की तालिका दी गई है। बहुलक वर्ग और बहुलक ज्ञात कीजिए।
| निशान | 0 - 20 | 20 - 40 | 40 - 60 | 60 - 80 | 80 - 100 |
| छात्रों की संख्या | 4 | 8 | 6 | 7 | 5 |
समाधान
यहाँ हम देख सकते हैं कि उच्चतम बारंबारता 8 वाला वर्ग अंतराल 20 – 40 है।
तो यह हमारा मोडल क्लास है।
मोडल क्लास = 20 - 40
मोडल क्लास (एल) की निचली सीमा = 20
वर्ग अंतराल आकार (एच) = 20
मोडल क्लास की आवृत्ति (f 1 ) = 8
पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति (f 0 ) = 4
उत्तरवर्ती वर्ग की बारंबारता (f2 ) = 6
समूहीकृत डेटा का माध्यिका
एक समूहीकृत डेटा का माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमें संचयी आवृत्ति और n/2 ज्ञात करने की आवश्यकता है
फिर हमें माध्यिका वर्ग ज्ञात करना है, जो n/2 के मान के निकट या उससे अधिक संचयी बारंबारता का वर्ग है।
संचयी आवृत्ति की गणना दिए गए वर्ग से पहले सभी वर्गों की आवृत्तियों को जोड़कर की जाती है।
फिर सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें
जहाँ l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
एन = नहीं। टिप्पणियों का
cf = माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
f = माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
एच = वर्ग का आकार
उदाहरण
दी गई तालिका की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति (एफसी) | |
| 1 - 5 | 4 | 4 | 4 |
| 6 - 10 | 3 | 7 | 4 + 3 = 7 |
| 11 - 15 | 6 | 13 | 7 + 6 = 13 |
| 16 - 20 | 5 | 18 | 13 + 5 = 18 |
| 21 - 25 | 2 | 20 | 18 + 2 = 20 |
| एन = 20 |
समाधान
आइए एन/2 खोजें।
n = 20, इसलिए n/2 = 20/2 = 10
माध्यिका वर्ग 11 - 15 है क्योंकि इसकी संचयी आवृत्ति 13 है जो 10 से अधिक है।
13.5
टिप्पणी: केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापों के बीच अनुभवजन्य संबंध है
3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य
संचयी आवृत्ति वितरण का चित्रमय प्रतिनिधित्व
ग्राफ़ डेटा को समझने में आसान बनाता है। अतः संचयी बारंबारता बंटन का आलेख बनाने के लिए हमें दी गई तालिका की संचयी बारंबारता ज्ञात करनी होगी। फिर हम ग्राफ़ पर बिंदुओं को प्लॉट कर सकते हैं।
संचयी आवृत्ति बंटन दो प्रकार का हो सकता है -
1. तोरण से कम
तोरण से कम का ग्राफ बनाने के लिए हम वर्ग अंतराल की निचली सीमा लेते हैं और संबंधित से कम बारंबारता को चिह्नित करते हैं। फिर डॉट्स को एक चिकने कर्व से जोड़ें।
2. ओजाइव से अधिक
तोरण से अधिक का ग्राफ बनाने के लिए हम x-अक्ष पर वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा लेते हैं और संबंधित से अधिक बारंबारता को चिह्नित करते हैं। फिर डॉट्स में शामिल हों।
उदाहरण
निम्न सारणी के लिए संचयी बारंबारता बंटन वक्र बनाइए।
| छात्रों के निशान | 0 - 10 | 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 |
| छात्रों की संख्या | 7 | 10 | 14 | 20 | 6 | 3 |
समाधान
से कम और अधिक तोरण निकालने के लिए, हमें संचयी आवृत्ति से कम और संचयी आवृत्ति से अधिक ज्ञात करने की आवश्यकता है।
| निशान | छात्रों की संख्या | संचयी आवृत्ति से कम | संचयी आवृत्ति से अधिक | ||
| 0 - 10 | 7 | 10 से कम | 7 | 0 से अधिक | 60 |
| 10 - 20 | 10 | 20 से कम | 17 | 10 से अधिक | 53 |
| 20 - 30 | 14 | 30 से कम | 31 | 20 से अधिक | 43 |
| 30 - 40 | 20 | 40 से कम | 51 | 30 से अधिक | 29 |
| 40 - 50 | 6 | 50 से कम | 57 | 40 से अधिक | 9 |
| 50 - 60 | 3 | 60 से कम | 60 | 50 से अधिक | 3 |
| 60 से अधिक | 0 | ||||
अब हम ग्राफ पर सभी बिंदुओं को अंकित करते हैं और हमें दो वक्र मिलते हैं।
टिप्पणी
तोरण वक्र बनाने के लिए वर्ग अंतराल सतत होना चाहिए।
कम से कम और अधिक तोरण के चौराहे पर एक्स-निर्देशांक दिए गए डेटा का माध्यिका है।
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