Chapter 13. Surface Areas and Volumes Notes in Hindi

 

भूतल क्षेत्रों और वॉल्यूम पर संशोधन नोट्स

भूतल क्षेत्र और वॉल्यूम

भूतल  क्षेत्रफल किसी भी 3D आकृति के बाहरी भाग का क्षेत्रफल होता है और  आयतन आकृति  की क्षमता अर्थात ठोस के अंदर का स्थान होता है। ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन को अलग-अलग जानना होगा।  ठोसों के कुछ  सूत्र हैं -

नाम	आकृति	पार्श्व या घुमावदार सतह क्षेत्र	कुल सतह क्षेत्रफल	आयतन	विकर्ण और नामकरण की लंबाई
घनक्षेत्र		4 एल 2	6 एल 2	एल 3	√3 एल = घन का किनारा
घनाभ		2 ह (एल + बी)	2 (एलबी + बीएच + एचएल)	अधिक	एल = लंबाई बी = चौड़ाई एच = ऊंचाई
सिलेंडर		2πrh	2πr 2  +  2πh = 2πr(आर  + एच )	πr 2 घंटे	आर = त्रिज्या एच = ऊंचाई
खाली सिलिंडर		2πh (आर + आर)	2πh (आर + आर) + 2πh (आर 2  - आर 2 )	-	आर = बाहरी त्रिज्या आर = आंतरिक त्रिज्या
शंकु			πr 2  + πrl = πr(आर + एल)	1/3 πr 2 घंटे	आर = त्रिज्या एच = ऊंचाई एल = तिरछी ऊंचाई
वृत्त		4πr 2	4πr 2	4/3 पीआर 3	आर = त्रिज्या
गोलार्द्ध		2πr 2	3πr 2	2/3 पीआर 3	आर = त्रिज्या
गोलाकार खोल		4πR 2  (बाहरी सतह का क्षेत्रफल)	4πr 2  (बाहरी सतह का क्षेत्रफल)	4/3 π(आर 3  – आर 3 )	आर = बाहरी त्रिज्या आर = आंतरिक त्रिज्या
चश्मे		आधार × ऊंचाई की परिधि	पार्श्व सतह क्षेत्र + 2 (अंतिम सतह का क्षेत्रफल)	आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई	-
पिरामिड		1/2 (आधार की परिधि) × तिरछी ऊंचाई	पार्श्व सतह क्षेत्र + आधार का क्षेत्रफल	आधार × ऊंचाई का 1/3 क्षेत्र	-

ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

यदि एक ठोस को दो या दो से अधिक ठोसों से ढाला जाता है तो हमें इसके सतह क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इसे अलग-अलग ठोसों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण

दी गई आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह ठोस तीन ठोसों यानी शंकु, बेलन और अर्धगोले का संयोजन है।

ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

दिया गया है, h = 5cm, r = 3cm (गोले के व्यास का आधा)

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

दिया गया है, h = 8cm (कुल ऊँचाई - शंकु की ऊँचाई - अर्धगोले की ऊँचाई), r = 3cm

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr 2

दिया गया है, r = 3 सेमी

ठोस का कुल सतह क्षेत्र

ठोस पदार्थों के संयोजन का आयतन

दिए गए ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान

दिया गया ठोस दो ठोसों अर्थात पिरामिड और घनाभ से मिलकर बना है।

ठोस का कुल आयतन = पिरामिड का आयतन + घनाभ का आयतन

 पिरामिड का आयतन = 1/3 आधार x ऊँचाई का क्षेत्रफल

दिया गया है, ऊँचाई = 6 इंच और भुजा की लंबाई = 4 इंच।

घनाभ का आयतन = lbh

दिया गया है, l = 4 in., b = 4 in, h = 5 in.

ठोस का कुल आयतन = 1/3 आधार का क्षेत्रफल x ऊँचाई + lbh

= 1/3 x 4 x 4 x 6 + (4) (4) (5)

= 32 + 80

= 112 में 3

ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपांतरण

जब हम किसी आकार के ठोस को पिघलाकर या फिर से ढालकर दूसरे आकार में बदलते हैं तो आकार बदलने के बाद भी ठोस का आयतन अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण

यदि हम 20 मीटर x 22 मीटर के घनाभ के आकार के कंटेनर से पानी को 2 मीटर व्यास और 3.5 मीटर की ऊंचाई वाले बेलनाकार कंटेनर में स्थानांतरित करते हैं। तो घनाभ पात्र में जल स्तर की ऊँचाई कितनी होगी यदि पानी स्थानांतरित करने के बाद बेलनाकार टंकी भर जाती है। 

समाधान

हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है।

घनाभ का आयतन = बेलन का आयतन

lxbxh = πr 2 घंटे

20 x 22 xh = 22/7 x 1 x 3.5

440 × एच =11

एच = 2.5 सेमी

एक शंकु का टुकड़ा

यदि हम शंकु को उसके आधार के समांतर तल से काटकर हटा दें तो शेष भाग शंकु का छिन्नक होगा।

शंकु के छिन्नक का आयतन
शंकु के छिन्नक का घुमावदार या पार्श्व सतह क्षेत्र
शंकु के छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल	आधार का क्षेत्रफल + शीर्ष का क्षेत्रफल + पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
छिन्नक की तिरछी ऊंचाई

उदाहरण

एक सम वृत्तीय शंकु के दिए गए छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

समाधान

दिया गया है, r =1.8 इंच।

आर = 4 इंच।

एल = 4.5 इंच।

शंकु के छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πl (R + r)

= π x 4.5 (4 +1.8)

=3.14 x 4.5 x 5.8

= 81.95 वर्ग इंच।