Circles से संबंधित क्षेत्रों पर संशोधन नोट
परिधि और एक वृत्त का क्षेत्रफल
सभी समतल आकृतियों की परिधि आकृति की बाहरी सीमा है। इसी तरह, वृत्त की बाहरी सीमा वृत्त की परिधि है। वृत्त की परिधि को वृत्त की परिधि भी कहते हैं ।
परिधि = 2πr = πd (π = 22/7)
आर = त्रिज्या और डी = 2आर
क्षेत्र परिधि से घिरा क्षेत्र है।
वृत्त का क्षेत्रफल = πr 2
उदाहरण
यदि एक पिज़्ज़ा को इस प्रकार काटा जाता है कि वह आकृति में दर्शाए अनुसार 8 बराबर भागों में विभाजित हो जाता है, तो पिज़्ज़ा के प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल क्या है? गोल आकार के पिज़्ज़ा की त्रिज्या 7 सेमी.
समाधान
पिज्जा को 8 बराबर भागों में बांटा गया है, इसलिए प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल बराबर है।
1 टुकड़े का क्षेत्रफल = वृत्त के क्षेत्रफल का 1/8
अर्धवृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल
अर्धवृत्त का परिमाप दिए गए वृत्त की परिधि का आधा और व्यास की लंबाई है क्योंकि परिमाप आकृति की बाहरी सीमा है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल का केवल आधा है।
एक अंगूठी का क्षेत्र
वलय का क्षेत्रफल अर्थात ऊपर की आकृति में रंगीन भाग की गणना आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से घटाकर की जाती है।
जहाँ, R = बाहरी वृत्त की त्रिज्या
r = आंतरिक वृत्त की त्रिज्या
एक सर्कल के क्षेत्रों के क्षेत्र
एक चाप द्वारा निर्मित क्षेत्र और चाप के अंतबिंदुओं को मिलाने वाली दो त्रिज्याओं को त्रिज्यखंड कहा जाता है ।
लघु क्षेत्र
बिंदु C के साथ ∠AOB सहित क्षेत्रफल लघु त्रिज्यखंड कहलाता है । अतः OACB लघु क्षेत्र है। ∠AOB लघु त्रिज्यखंड का कोण है।
प्रमुख सेक्टर
बिंदु D के साथ ∠AOB सहित क्षेत्र को प्रमुख त्रिज्यखंड कहा जाता है । तो OADB प्रमुख क्षेत्र है। प्रमुख त्रिज्यखंड का कोण 360° - ∠AOB है।
प्रमुख त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = πr 2 - लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
टिप्पणी: लघु सेक्टर का क्षेत्रफल + प्रमुख सेक्टर का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल
θ कोण वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई
एक चाप वृत्त की परिधि का टुकड़ा है इसलिए एक चाप की गणना परिधि के θ भाग के रूप में की जा सकती है।
सर्कल के खंडों के क्षेत्र
एक चाप और एक जीवा द्वारा बनाए गए क्षेत्र को वृत्त का खंड कहा जाता है ।
लघु खंड
जीवा AB और चाप X द्वारा बनाया गया क्षेत्रफल लघु वृत्तखंड है। लघु खंड के क्षेत्र की गणना किसके द्वारा की जा सकती है
लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु खंड का क्षेत्रफल - ∆ABO का क्षेत्रफल
प्रमुख खंड
छोटे खंड के क्षेत्र को छोड़कर वृत्त के अन्य भाग को एक प्रमुख खंड कहा जाता है ।
प्रमुख खंड का क्षेत्रफल = πr 2 - लघु खंड का क्षेत्रफल
टिप्पणी: प्रमुख खंड का क्षेत्रफल + लघु खंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल
समतल आकृतियों के संयोजन का क्षेत्रफल
जैसा कि हम जानते हैं कि विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है, इसलिए हम विभिन्न आकृतियों के संयोजन से बनी आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण
रंगीन भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि दिया गया त्रिभुज समबाहु है और इसका क्षेत्रफल 17320.5 सेमी 2 है । त्रिभुजों के शीर्ष को वृत्त का केंद्र मानकर तीन वृत्त बनाए जाते हैं और वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की भुजा की लंबाई की आधी होती है। (π = 3.14 और √3 = 1.73205)
समाधान
दिया गया
ABC एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए ∠A, ∠B, ∠C = 60°
इसलिए 60° कोण वाले तीन त्रिज्यखंड बराबर हैं।
आवश्यक
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – 3 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
∆ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 सेमी 2
भुजा = 200 सेमी
चूंकि वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की लंबाई की आधी है, इसलिए
त्रिज्या = 100 सेमी
3 सेक्टरों का क्षेत्रफल = 3 × 15700/3 सेमी 2 सेमी 2
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल – 3 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= 17320.5 - 15700 सेमी 2
= 1620.5 सेमी 2
उदाहरण
छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वर्ग की भुजा 8 सेमी और 44 सेमी है।
समाधान
आवश्यक क्षेत्र = वृत्त का क्षेत्रफल - वर्ग का क्षेत्रफल
= πr 2 - (पक्ष) 2
वृत्त की परिधि = 2πr = 44
वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल = πr 2
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा) 2 = (8) 2 = 64 सेमी 2
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - वर्ग का क्षेत्रफल
= 154 सेमी 2 - 64 सेमी 2
= 90 सेमी 2
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