BSEB Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Subjective Questions

 

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि -2 बहुपद 9x3 + 18x2 – x – 2 का एक शून्यक हो तो इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
यदि -2 बहुपद 9x3 + 18x2 – x – 2 का एक शून्यक हो तो x + 2 बहुपद 9x3 + 18x2 – x – 2 का एक गुणनखण्ड होगा।
तब, 9x3 + 18x2 – x – 2
= 9x2 (x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2) (9x2 – 1)
= (x + 2) (3x + 1) (3x -1)
3x + 1 और 3x – 1 को शून्य के बराबर करने पर,
x = −13 तथा x = 13
अतः दिए गए बहुपद 9x3 + 18x2 – x – 2 के शून्यक = -2, 13 व −13 हैं।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि बहुपद के साथ दी गई संख्या उसकी शून्यक है अथवा नहीं?
x2 – 2√3x – 9, x = 3√3, x = -√3
हल
दिया गया बहुपद
= x2 – 2√3x – 9
= x2 – (3√3 – √3)x – 9
= x2 – 3√3x + √3x – (3√3 × √3)
= x(x – 3√3) + √3(x – 3√3)
= (x – 3√3) (x + √3)
उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x – 3√3 = 0 अर्थात् x = 3√3 हो
या फिर उक्त बहुपद शून्य तब होगा जब x + √3 = 0 हो अर्थात् x = -√3 हो।
अत: संख्याएँ x = 3√3 व x = -√3 दिए बहुपद x2 – 2√3x – 9 की शून्यक हैं।

प्रश्न 3.
बहुपद x3 + 2x2 – x – 2 का एक शून्यक (-2) है तो सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x3 + 2x2 – x – 2 का एक शून्यक (-2) है
(x + 2) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
x3 + 2x2 – x – 2 = x2(x + 2) – 1(x + 2)
= (x + 2)(x2 – 1)
= (x + 2)(x + 1) (x – 1)
बहुपद x3 + 2x2 – x – 2 के शून्य होने के लिए
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 0
अत: बहुपद x3 + 2x2 – x – 2 के शून्यक = -2, -1 व 1 हैं।

प्रश्न 4.
बहुपद x2 – 9 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x2 – 9 के गुणनखण्ड करने पर,
x2 – 9 = (x)2 – (3)2 = (x + 3) (x – 3)
x2 – 9 के शून्य होने के लिए।
x + 3 = 0 ⇒ x = -3
तथा x – 3 = 0 ⇒ x = 3
अत: x2 – 9 के शून्यक = -3 व 3

प्रश्न 5.
चित्र में, बहुपद y = f(x) का आलेख दिया गया है। इसके शून्यकों की संख्या बताइए।

हल
बहुपद y = f(x) का आलेख X-अक्ष को 3 बिन्दुओं पर काटता है। अत: शून्यकों की संख्या 3 है।

प्रश्न 6.
यदि बहुपद ax2 – 6x – 6 के शून्यकों का गुणनफल 6 हो तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया बहुपद = ax2 – 6x – 6
तथा शून्यकों का गुणनफल = 6

प्रश्न 7.
बहुपद x3 – 3x2 + 5x – 3 को x – 1 से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद x3 – 3x2 + 5x – 3 = p(x), भाजक = x – 1 = g(x)
माना भागफल q(x) तथा शेषफल r(x) है।
अब, बहुपद को भाजक से भाग देने पर,

अत: भागफल q(x) = x2 – 2x + 3 तथा शेषफल r(x) = शून्य।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योगफल तथा गुणनफल क्रमशः 0 तथा √5 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है और इसके शून्यक α व β हैं।
तब, α + β = −ba और αβ = ca
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = −ba
तथा शून्यकों का गुणनफल (αβ) = ca = √5
यदि a = 1 हो तो b = 0, तथा c = √5
अत: एक मानक द्विघात बहुपद ax2 + bx + c में
a = 1, b = 0 तथा c = √5
प्रतिस्थापित करने पर,
बहुपद = x2 + 0 . x + √5 = x2 + √5
अत: अभीष्ट बहुपद = x2 + √5
उक्त प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करने वाला व्यापक द्विघात व्यंजक = k(x2 + √5), जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः संख्याएँ -1, 1 हैं।
हल
माना द्विघात बहुपद के शून्यक α तथा β हैं।
तब, शून्यकों का योगफल = α + β
तथा शून्यकों का गुणनफल = αβ
प्रश्नानुसार, शून्यकों का योगफल (α + β) = -1
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = +1
द्विघात बहुपद = (x – α) (x – β)
= x2 – (α + β) x + αβ
= x2 – (-1) . x + (+1)
= x2 + x + 1
अतः अभीष्ट बहुपद = x2 + x + 1

प्रश्न 3.
द्विघात बहुपद 6x2 – 7x – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x2 – 7x – 3
गुणनखण्ड करने पर,
6x2 – 7x – 3
= 6x2 – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
इसलिए 6x2 – 7x – 3 शून्य होगा यदि
2x – 3 = 0 अथवा 3x + 1 = 0
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = 32
अथवा 3x + 1 = 0 ⇒ x = −13
अत: बहुपद 6x2 – 7x – 3 के शून्यक 32 व −13 हैं।

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद 2x2 – 50 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल
बहुपद 2x2 – 50 के गुणनखण्ड करने पर,
2x2 – 50 = 2(x2 – 25)
= 2[(x)2 – (5)2]
= 2(x + 5) (x – 5)
2x2 – 50 के शून्य होने के लिए
x + 5 = 0 ⇒ x = -5
तथा x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अत: 2x2 – 50 के शून्यक -5 व 5 हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक √2 और -√2 ज्ञात हैं।
हल
बहुपद 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 के दो शून्यक √2 व -√2 हैं और माना दो अन्य शून्यक α व β हैं।
(x – α) (x – β) (x – √2) (x – (-√2)) = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x – √2) (x + √2) = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2
(x – α) (x – β) (x2 – 2) = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2

प्रश्न 2.
द्विघात बहुपद 6x2 – 13x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल
दिया गया द्विघात बहुपद = 6x2 – 13x + 6
गुणनखण्ड करने पर,
6x2 – 13x + 6 = 6x2 – (9 + 4)x + 6
= 6x2 – 9x – 4x + 6
= 3x(2x – 3) – 2(2x – 3)
= (2x – 3) (3x – 2)
इसलिए 6x2 – 13x + 6 शून्य होगा, यदि 2x – 3 = 0 है तथा 3x – 2 = 0 है।
अर्थात् 2x – 3 = 0 ⇒ x = 32
तथा 3x – 2 = 0 ⇒ x = 23
बहुपद 6×2 – 13x + 6 के शून्यक 32 तथा 23 हैं।

तब, समीकरण (1) व (3) से,

तथा समीकरण (2) व (4) से,

अत: बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के उपर्युक्त सम्बन्ध सत्य हैं।