Bihar Board Class 10th Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Solution

 

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

Bihar Board 10th Class Maths Book Solution In Hindi प्रश्न 1.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C


हल
समकोण ΔABC में ∠B = 90°
तब पाइथागोरस प्रमेय से,
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = (24)2 + (7)2 = 576 + 49 = 625
AC = √625 = 25 सेमी

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 2.
आकृति में, tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।

हल
समकोण ΔPQR में,
पाइथागोरस प्रमेय से,
PQ2 + QR2 = PR2
⇒ (12)2 + QR2 = (13)2
⇒ QR2 = (13)2 – (12)2 = 169 – 144 = 25
⇒ QR = 5 सेमी

Class 10th Math Solution In Hindi Bihar Board Pdf प्रश्न 3.
यदि sin A = 34, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।

हल
दिया है, किसी समकोण त्रिभुज में, sin A = 34

Bihar Board Math Solution Class 10 प्रश्न 4.
यदि 15 cot A = 8 हो, तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

हल

Bihar Board Solution Class 10 Math प्रश्न 5.
यदि sec θ = 1312 हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

हल

Bihar Board Class 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 6.
यदि ∠A तथा ∠B न्यूनकोण हों और cos A = cos B हो, तो दिखाइए कि: ∠A = ∠B

हल
माना त्रिभुज ABC में ∠C समकोण है।
दिया है, ∠A तथा ∠B न्यूनकोण हैं।

Class 10 Maths Bihar Board प्रश्न 7.
यदि cot θ = 78, तो (i) (1+sinθ)(1−sinθ), (ii) cot2θ का मान निकालिए।
हल

Bihar Board 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि 1−tan2A = cos2 A – sin2 A है या नही।
हल

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 13√, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल

Bihar Board Class 10 Math Solution प्रश्न 10.
ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 सेमी और PQ = 5 सेमी है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, समकोण ΔPQR में, ∠Q = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से,
PQ2 + QR2 = PR2
⇒ (5)2 + QR2 = PR2
⇒ 25 = PR2 – QR2
⇒ 25 = (PR + QR) (PR – QR) [∵ a2 – b2 = (a + b)(a – b)]
⇒ 25 = 25 (PR – QR) (∵ PR + QR = 25, दिया है)
⇒ PR – QR = 1 ……..(1)
और PR + QR = 25 ……(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
PR = 13 सेमी तथा QR = 12 सेमी
समकोण ΔPQR में,

Class 10th Math Bihar Board प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्या कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 125
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 43
हल

tan A का मान 1 से कम तभी हो सकता है जब ∠A की सम्मुख भुजा, ∠A की आधार भुजा से छोटी हो।
परन्तु ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है।
अत: कथन “tan A का मान सदैव 1 से कम होता है” असत्य है।

जिसका आशय है कि किसी ∠A के लिए समकोण त्रिभुज के कर्ण और ∠A के आधार का अनुपात 12 : 5 होता है।
परन्तु ऐसा सदैव होना आवश्यक नहीं है।
अत: कथन “कोण A के किसी मान के लिए sec A = 125” असत्य है।

(iii) हम जानते हैं कि cos A, कोण A की cosine का संक्षिप्त रूप होता है जबकि cosecant A का अर्थ है cosec A
अतः दिया हुआ कथन असत्य है।

(iv) cot A का अर्थ ∠A के cotangent से है।
स्वतन्त्र रूप में cot का कोई अस्तित्व ही नहीं है। अत cot A, और cot A का गुणनफल कभी नहीं है।
अत: दिया हुआ कथन असत्य है।

(v) किसी समकोण त्रिभुज में कोण θ के लिए,
यदि sin θ = 43 तो इसका अर्थ है कि θ की सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात 4 : 3 है।
परन्तु कर्ण, समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होती है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°

हल

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए-
(i) 2tan30∘1+tan230∘=
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

(ii) 1−tan245∘1+tan245∘=
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0

(iii) sin 2A = 2sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

(iv) 2tan30∘ बराबर है :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल

प्रश्न 3.
यदि tan(A + B) = √3 और tan(A – B) = 13√; 0° < A + B < 90°; A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan (A + B) = √3
⇒ tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° ……(1)
तथा tan (A – B) = 13√
⇒ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
अत: A = 45° तथा B = 15°

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल
(i) माना A = 30° तथा B = 30°, तब
sin (A + B) = sin (30° + 30° ) = sin 60° = 3√2
और sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = 12+12 = 1
sin (A + B) ≠ sin A + sin B
अत: दिया गया कथन असत्य है।

(ii) ∵ sin 0° = 0, sin 30° = 12, sin 45° = 12√, sin 60° = 3√2, sin 90° = 1
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर sin θ का मान भी बढ़ता है परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

(iii) ∵ cos 0° = 1 और cos 90° = 0
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर cos θ में वृद्धि नहीं होती।
अत: दिया गया कथन असत्य है।

(iv) ∵ sin θ = cos θ
⇒ sinθ = 1
⇒ tan θ = 1
⇒ θ = 45°
θ के सभी मानों के लिए sin θ ≠ cos θ
अतः दिया गया कथन असत्य है।

(v) त्रिकोणमितीय अनुपातों के विभिन्न मानों के लिए संकलित सारणी को देखने से स्पष्ट है कि cot A = अनिर्धारित
∴ A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं (not defined) है।
अत: दिया गया कथन सत्य है।

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मान निकालिए :
(i) sin18∘
(ii) tan26∘
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
हल

(iii) cos 48° – sin 42°
= cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0 [∵ cos (90° – A) = sin A]
अतः cos 48° – sin 42° = 0

(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0 [∵ cosec (90° – A) = sec A]
अतः cosec 31° – sec 59° = 0

प्रश्न 2.
दिखाईये की
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल
(i) L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan A tan B tan (90° – A) tan (90° – B) [माना A = 48°, B = 23°]
= tan A tan B cot A cot B
= tan A tan B . 1tanA⋅1tanB [∵ cot A = tanA, cot B = tanB]
= 1
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.

(ii) L.H.S. = cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos A cos (90° – A) sin A sin (90° – A) [यदि 38° = A हो]
= cos A sin A – sin A cos A [∵ cos (90° – A) = sin A और sin (90° – A) = cos A]
= sin A cos A – sin A cos A
= 0
= R.H.S.
L.H.S.= R.H.S.

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot(A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan 2A = cot(A – 18°)
⇒ tan θ = cot(A – 18°) [माना 2A = θ]
⇒ cot (90° – θ) = cot (A – 18°) [∵ tan θ = cot(90° – θ)]
⇒ 90° – θ = A – 18°
⇒ 90° – 2A = A – 18° [θ = 2A रखने पर]
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°
अत: A का मान = 36°

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
हल
दिया है, tan A = cot B
⇒ tan A = tan(90° – B) [∵ cot θ = tan (90° – θ)]
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
अत: स्पष्ट है कि tan A = cot B होने पर A + B = 90° होगा।

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, sec 4A = cosec(A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [∵ sec θ = cosec (90° – θ)]
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ A + 4A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°
अत: A का मान = 22°

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि sin(B+C2)=cosA2
हल
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग = 180°
A + B + C = 180°
⇒ (B + C) = 180° – A

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल
दिया है, sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अत: sin 67° + cos 75° = cos 23° + sin 15°

Bihar Board Class 10 Maths त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए
हल
हम जानते हैं कि cot A और cosec A में सम्बन्ध ‘cosec2 A = 1 + cot2 A’ है और cosec A और sin A में सम्बन्ध प्रतिलोम का है।

Bihar Board Class 10 Math Solution In Hindi प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल

Class 10 Maths 8.4 Solution In Hindi Bihar Board प्रश्न 3.

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल

(ii) दिया है, sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= sin 25° cos (90° – 25°) + cos 25° sin (90° – 25°)
= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°
[∵ cos (90° – 25°) = sin 25° तथा sin(90° – 25°) = cos 25°]
= sin2 25° + cos2 25°
= 1 [∵ sin2 A+ cos2 A = 1]
अतः sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65° = 1

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए-
(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A बराबर है-
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(C) 0

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है-
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1

(iii) (sec A + tan A)(1 – sin A) बराबर है-
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A

(iv) 1+tan2A बराबर है-
(A) sec2 A
(B) -1
(C) cot2 A
(D) tan2 A
हल
(i) यहाँ 9 sec2 A – 9 tan2 A
= 9 (sec2 A – tan2 A)
= 9 (1 + tan2 A – tan2 A) [∵ sec2 A = 1 + tan2 A]
= 9 × (1)
= 9
अत: विकल्प (B) सही है।

(ii) यहाँ (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

Class 10th Math Solution In Hindi Bihar Board Pdf प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं-

हल