Bihar Board Class 10th Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Solution

 

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 14 भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल
(i) टैक्सी के प्रथम किमी का किराया = ₹ 15
अगले प्रत्येक किमी का किराया = ₹ 8
2 किमी का किराया = ₹ (15 + 8) = ₹ 23
3 किमी का किराया = ₹ (23 + 8) = ₹ 31
4 किमी का किराया = ₹ (31 + 8) = ₹ 39
a1 = ₹ 15, a2 = ₹ 23, a3 = ₹ 31, a4 = ₹ 39
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = ₹ (23 – 15) = ₹ 8
a3 – a2 = ₹ (31 – 23) = ₹ 8
a4 – a3 = ₹ (39 – 31) = ₹ 8
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत है,
अत: किमी में टैक्सी का किराया A.P. में है।

(ii) माना बेलन में हवा का प्रारम्भिक आयतन = V
पहली बार पम्प V4 भाग हवा निकाल देगा।


दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है,
अत: हवा के आयतन A.P. में नहीं हैं।

(iii) कुएं के प्रथम मीटर की खुदाई की लागत = ₹ 150
बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई ₹ 50 बढ़ जाती है।
पहले 2 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50) = ₹ 200
पहले 3 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50) = ₹ 250
पहले 4 मीटर की खुदाई = ₹ (150 + 50 + 50 + 50) = ₹ 300
a1 = ₹ 150, a2 = ₹ 200, a3 = ₹ 250, a4 = ₹ 300
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = ₹ (200 – 150) = ₹ 50
a3 – a2 = ₹ (250 – 200) = ₹ 50
a4 – a3 = ₹ (300 – 250) = ₹ 50
चूँकि दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (₹ 50) है।
अत: कुआँ खोदने में आई लागत ₹ 150, ₹ 200, ₹ 250, ₹ 300, …… A.P. में हैं।

(iv) खाते में जमा किए गए धन के लिए भिन्न वर्षों के मिश्रधन :
मूलधन, P = ₹ 10000, ब्याज की दर, R = 8%
 
निरीक्षण से ही स्पष्ट है कि A2 – A1 ≠ A3 – A2
अत: मिश्रधन A.P. में नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वान्तर d निम्नलिखित हैं-
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = -2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = -1, d = 12
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल
(i) प्रथम पद (a) = 10 तथा सार्वान्तर (d) = 10
दूसरा पद = a + d = 10 + 10 = 20
तीसरा पद = a + 2d = 10 + (2 × 10) = 30
चौथा पद = a + 3d = 10 + (3 × 10) = 40
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 10, 20, 30, 40

(ii) प्रथम पद (a) = -2 तथा सार्वान्तर (d) = 0
दूसरा पद = a + d = -2 + 0 = -2
तीसरा पद = a + 2d = -2 + (2 × 0) = -2
चौथा पद = a + 3d = -2 + (3 × 0) = -2
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -2, -2, -2, -2

(iii) प्रथम पद (a) = 4 तथा सार्वान्तर (d) = -3
दूसरा पद = a + d = 4 + (-3) = 1
तीसरा पद = a + 2d = 4 + 2 × (-3) = 4 + (-6) = -2
चौथा पद = a + 3d = 4 + 3 × (-3) = 4 + (-9) = -5
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : 4, 1, -2, -5

(iv) प्रथम पद (a) = -1 तथा सार्वान्तर (d) = 12
दूसरा पद = a + d = -1 + 12 = −12
तीसरा पद = a + 2d = -1 + (2 × 12) = -1 + 1 = 0
चौथा पद = a + 3d = -1 + (3 × 12) = -1 + 32 = 12
अत: दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1, −12, 0, 12

(v) प्रथम पद (a) = -1.25 तथा सार्वान्तर (d) = -0.25
दूसरा पद = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.50
तीसरा पद = a + 2d = -1.25 + 2 × (-0.25) = -1.25 – 0.50 = -1.75
चौथा पद = a + 3d = -1.25 + 3 × (-0.25) = -1.25 – 0.75 = -2.00
अतः दी गई A.P. के प्रथम चार पद : -1.25, -1.50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1, -1, -3,…….
(ii) -5, -1, 3, 7,……….
(iii) 13,53,93,133,……
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
हल
(i) दी गई A.P. = 3, 1, -1, -3,…….
a1 = 3, a2 = 1, a3 = -1, a4 = -3
प्रथम पद (a) = a1 = 3
सार्वान्तर (d) = a2 – a1 = 1 – 3 = -2
अत: प्रथम पद = 3 तथा सार्वान्तर = -2

(ii) दी गई A.P. = -5, -1, 3, 7,…….
a1 = -5, a2 = -1, a3 = 3, a4 = 7
प्रथम पद (a) = a1 = -5
सार्वान्तर (d) = a2 – a1 = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
अत: प्रथम पद = -5 तथा सार्वान्तर = 4

(iv) दी गई A.P. = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,……
a1 = 0.6, a2 = 1.7, a3 = 2.8, a4 = 3.9
प्रथम पद (a) = a1 = 0.6
सार्वान्तर (d) = a2 – a1 = 1.7 – 0.6 = 1.1
अतः प्रथम पद = 0.6 तथा सार्वान्तर = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. हैं? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, …….
(ii) 2, 52, 3, 72,……
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,…..
(iv) -10, -6, -2, 2,…….
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2,….
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,….
(vii) 0, -4, -8, -12,……
(viii) −12,−12,−12,−12,……
(ix) 1, 3, 9, 27,……
(x) a, 2a, 3a, 4a,……
(xi) a, a2, a3, a4,……
(xii) √2, √8, √18, √32,……
(xiii) √3, √6, √9, √12,…..
(xiv) 12, 32, 52, 72,…..
(xv) 12, 52, 72, 73,……
हल
यहाँ प्रत्येक अनुक्रम के प्रथम 4 पद ज्ञात हैं। यदि कोई अनुक्रम A.P. में है, तो उसके अगले तीन पद और ज्ञात करने हैं अर्थात् 5 वाँ, छठा और 7 वाँ पद और ज्ञात करना है।
(i) दिया हुआ अनुक्रम : 2, 4, 8, 16, ……..
a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 16
दो क्रमागत पदों के अन्तर,
a2 – a1 = 4 – 2 = 2
a3 – a2 = 8 – 4 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(ii) दिया हुआ अनुक्रम,
2, 52, 3, 72,……
a1 = 2, a2 = 52, a3 = 3, a4 = 72
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (12) है।
सार्वान्तर (d) = 12
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d)
=72+12=7+12=82=4
छठा पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d)
=4+12=8+12=92
सातवाँ पद (a7) = छठा पद (a6) + सार्वान्तर (d)
=92+12=9+12=102=5
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 4, 92 , 5 होंगे।

(iii) दिया हुआ अनुक्रम : -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ……
a1 = -1.2, a2 = -3.2, a3 = -5.2, a4 = -7.2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = -3.2 – (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2.0
a3 – a2 = -5.2 – (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2.0
a4 – a3 = -7.2 – (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2.0
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-2.0) है।
सार्वान्तर d = -2.0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d) = -7.2 + (-2) = -9.2
छठा पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d) = -9.2 + (-2) = -11.2
सातवाँ पद (a7) = छठा पद (a6) + सार्वान्तर (d) = -11.2 + (-2)= -13.2
अत: दिए गए अ6नुक्रम के अगले तीन पद : -9.2, -11.2, -13.2 होंगे।

(iv) दिया हुआ अनुक्रम : -10, -6, -2, 2,…..
a1 = -10, a2 = -6, a3 = -2, a4 = 2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
a3 – a2 = -2 – (-6) = -2 + 6 = 4
a4 – a3 = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (4) है।
सार्वान्तर (d) = 4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d) = 2 + 4 = 6
छठा पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d) = 6 + 4 = 10
सातवाँ पद (a7) = छठा पद (a6) + सार्वान्तर (d) = 10 + 4 = 14
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 6, 10, 14 होंगे।

(v) दिया हुआ अनुक्रम : 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2, ……
a1 = 3, a2 = 3 + √2, a3 = 3 + 2√2, a4 = 3 + 3√2
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = (3 + √2) – 3 = √2
a3 – a2 = (3 + 2√2) – (3 + √2) = √2
a4 – a3 = (3 + 3√2) – (3 + 2√2) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a5 ) = a4 + d = 3 + 3√2 + √2 = 3 + √2(3 + 1) = 3 + 4√2
छठा पद (a6) = a5 + d = 3 + 4√2 + √2 = 3 + √2(4 + 1) = 3 + 5√2
सातवाँ पद (a7) = a6 + d = 3 + 5√2 + √2 = 3 + √2(5 + 1) = 3 + 6√2
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद हैं :
3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2

(vi) दिया हुआ अनुक्रम : 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ….
a1 = 0.2, a2 = 0.22, a3 = 0.222, a4 = 0.2222
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 0.22 – 0.2 = 0.02
a3 – a2 = 0.222 – 0.22 = 0.002
a4 – a3 = 0.222 – 0.222 = 0.0002
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम A.P. में नहीं है।

(vii) दिया हुआ अनुक्रम : 0, -4, -8, -12, ……
a1 = 0, a2 = -4, a3 = -8, a4 = -12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = -4 – 0 = -4
a3 – a2 = -8 – (-4) = -8 + 4 = -4
a4 – a3 = -12 – (-8) = -12 + 8 = -4
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (-4) है।
सार्वान्तर (d) = -4 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d) = -12 + (-4) = -16
छठा पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d) = -16 + (-4) = -20
सातवाँ पद (a7) = छठा पद (a6) + सार्वान्तर (d) = -20 + (-4) = -24
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : -16, -20, -24 होंगे।

(viii) दिया हुआ अनक्रम :
−12,−12,−12,−12,……
a1 = −12, a2 = −12, a3 = −12, a4 = −12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,

दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (शून्य) है।
सार्वान्तर (d) = 0 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
सार्वान्तर (d) = 0 है; अत: इस A.P. का प्रत्येक पद −12 ही होगा।
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : −12,−12,−12 होंगे।

(ix) दिया हुआ अनुक्रम : 1, 3, 9, 27,……
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 9 – 3 = 6
a4 – a3 = 27 – 9 = 18
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(x) दिया हुआ अनुक्रम : a, 2a, 3a, 4a, ……
a1 = a, a2 = 2a, a3 = 3a, a4 = 4a
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 2a – a = a
a3 – a2 = 3a – 2a = a
a4 – a3 = 4a – 3a = a
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (a) है।
अतः सार्वान्तर (d) = a और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d) = 4a + a = 5a
छठा पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d) = 5a + a = 6a
सातवाँ पद (a7) = छठा पद (a6) + सान्तिर (d) = 6a + a = 7a
अतः दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 5a, 6a, 7a होंगे।

(xi) दिया हुआ अनुक्रम : a, a2, a3, a4,……
a1 = a, a2 = a2, a3 = a3, a4 = a4
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = a2 – a = a(a – 1)
a3 – a2 = a3 – a2 = a2(a – 1)
a4 – a3 = a4 – a3 = a3(a – 1)
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अतः दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xii) दिया हुआ अनुक्रम : √2, √8, √18, √32,……
a1 = √2, a2 = √8, a3 = √18, a4 = √32
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = √8 – √2 = √2(√4 – 1) = √2(2 – 1) = √2
a3 – a2 = √18 – √8 = √2(√9 – √4) = √2(3 – 2) = √2
a4 – a3 = √32 – √18 = √2(√16 – √9) = √2(4 – 3) = √2
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (√2) है।
अत: सार्वान्तर (d) = √2 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद (a5) = चौथा पद (a4) + सार्वान्तर (d)
= √32 + √2
= √2(√16 + 1)
= √2(4 + 1)
= 5√2
= √25 × √2
= √50
छठाँ पद (a6) = पाँचवाँ पद (a5) + सार्वान्तर (d)
= √50 + √2
= √2 (√25 + 1)
= √2(5 + 1)
= 6√2
= √36 × √2
= √72
सातवाँ पद (a7) = छठाँ पद (a6) + सार्वान्तर (d)
= √72 + √2
= √2(√36 + 1)
= √2(6 + 1)
= 7√2
= √49 × √2
= √98
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : √50, √72, √98 होंगे।

(xiii) दिया हुआ अनुक्रम : √3, √6, √9, √12,…..
a1 = √3, a2 = √6, a3 = √9, a4 = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a3 – a2 = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a4 – a3 = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) दिया हुआ अनुक्रम : 12, 32, 52, 72,…..
a1 = 12, a2 = 32, a3 = 52, a4 = 72
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8
a3 – a2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16
a4 – a3 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xv) दिया हुआ अनुक्रम : 12, 52, 72, 73, ……
a1 = 12, a2 = 52, a3 = 72, a4 = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 52 – 12 = 25 – 1 = 24
a3 – a2 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24
a4 – a3 = 73 – 72 = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)2
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)2 + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 112, 145 होंगे।

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Bihar Board Class 10 Math प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद an है:

हल
(i) दिया है, a = 7, d = 3, n = 8, an = ?
n वाँ पद (an) = a + (n – 1)d
= 7 + (8 – 1) × 3
= 7 + (7 × 3)
= 7 + 21
= 28
अत: an = 28

(ii) दिया है, a = -18, n = 10, an = 0, d = ?
n वाँ पद (an) = a + (n – 1)d
⇒ 0 = -18 + (10 – 1)d
⇒ -18 + 9d = 0
⇒ 9d = 18
⇒ d = 2
अतः d = 2

(iii) दिया है, d = -3, n = 18, an = -5, a = ?
n वाँ पद (an) = a + (n – 1)d
⇒ -5 = a + (18 – 1) × (-3)
⇒ -5 = a + (-51)
⇒ a = -5 + 51 = 46
अत: a = 46

(iv) दिया है, a = -18.9, d = 2.5, an = 3.6, n = ?
n वाँ पद (an) = a + (n – 1)d
⇒ 3.6 = -18.9 + (n – 1) (2.5)
⇒ 18.9 + 3.6 = (n – 1) (2.5)
⇒ (n – 1)(2.5) = 22.5
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 1 + 9 = 10
अतः n = 10

(v) दिया है, a = 3.5, d = 0, n = 10.5, an = ?
n वाँ पद (an) = a + (n – 1)d
= 3.5 + (10.5 – 1) (0)
= 3.5 + 0
= 3.5
अत: an = 3.5

Exercise 5.2 Class 10 Solutions In Hindi Bihar Board प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10, 7, 4,……, का 30 वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) A.P.: -3, −12, 2,….. का 11 वाँ पद है :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -4812
हल
(i) दी हुई A.P. : 10, 7, 4, …….
यहाँ a = 10 तथा d = 7 – 10 = -3
A.P. का 30 वाँ पद (a30) = a + (n – 1)d
= 10 + (30 – 1) × (-3)
= 10 + (-87)
= -77
अत: विकल्प (C) सही है।

(ii) दी हुई A.P. : -3, −12, 2,…….
यहाँ a = -3 तथा d = −12 – (-3) = 52
A.P.का 11वाँ पद (a11) = a + (n – 1)d
= -3 + (11 – 1) × 52
= -3 + 10 × 5
= -3 + 25
= 22
अतः विकल्प (B) सही है।

Bihar Board Class 10th Math Solution प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल
(i) पहला पद (a) = 2, तीसरा पद = 26, दूसरा पद = ?
माना सार्वान्तर (d) है,
तब, तीसरा पद (a3) = a + 2d = 26
⇒ 2 + 2d = 26
⇒ 2d = 24
⇒ d = 12
दूसरा पद = a + d = 2 + 12 = 14
अत: रिक्त बॉक्स का पद (a2) = 14

(ii) पहला पद = ?, दूसरा पद = 13, तीसरा पद = ?, चौथा पद = 3
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
प्रश्नानुसार, a + d = 13 …….(1)
और चौथा पद = a + 3d
प्रश्नानुसार, a + 3d = 3 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
2d = -10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + d = 13
⇒ a + (-5) = 13
⇒ a = 13 + 5 = 18
और तीसरा पद = a + 2d = 18 + 2(-5) =18 – 10 = 8
अत: रिक्त बॉक्सों के पद क्रमशः 18 व 8 हैं।

(iv) -4, a2, a3 , a4, a5, 6
पहला पद (a) = -4
माना सार्वान्तर d है।
तब, छठा पद = a + 5d
परन्तु छठा पद = 6
a + 5d = 6
⇒ -4 + 5d = 6
⇒ 5d = 10
⇒ d = 2
दूसरा पद (a2) = a + d = -4 + 2 = -2
तीसरा पद (a3) = a + 2d = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
चौथा पद (a4) = a + 3d = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
पाँचवाँ पद (a5) = a + 4d = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः -2, 0, 2, 4 हैं।

(v) a, 38, a3, a4, a5, -22
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
परन्तु a + d = 38 ……..(1)
और छठा पद = a + (6 – 1)d = a + 5d
परन्तु a + 5d = -22 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = -22 – 38
⇒ 4d = -60
⇒ d = -15
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + (-15) = 38
⇒ a = 38 + 15
⇒ a = 53
तीसरा पद (a3) = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 – 30 = 23
चौथा पद (a4) = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 – 45 = 8
पाँचवाँ पद (a5) = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 हैं।

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 4.
A.P.: 3, 8, 13, 18, …… का कौन-सा पद 78 है?
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, 18, ……..
पहला पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
माना n वा पद (an) 78 है।
n वाँ पद (an) = 78
⇒ a + (n – 1)d = 78
⇒ 3 + (n – 1)5 = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = 16
अत: 16 वाँ पद 78 है।

Bihar Board Class 10 Math Solution In Hindi प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ……, 205
(ii) 18, 1512, 13, ….., -47
हल
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 7, 13, 19, …… , 205
पहला पद (a) = 7 तथा सार्वान्तर (d) = 13 – 7 = 6
माना दी गई A.P. में n पद हैं जिसमें n वाँ पद (an) = 205
n वाँ पद (an) = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = 34
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 18, 1512, 13, ….., -47
पहला पद (a) = 18
तथा सार्वान्तर (d) = 1512 – 18
= 312 – 18
= 31−362
= −52
माना दी गई श्रेढ़ी में n पद हैं।
n वाँ पद 4 (an) = -47
⇒ a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1)(−52) = -47
⇒ −5(n−1)2 = -47 – 18 = -65
⇒ (n – 1) = 65×25 = 26
⇒ n = +1 + 26 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2 का एक पद -150 है? क्यों?
हल
दी गई A.P. : 11, 8, 5, 2
पहला पद (a) = 11 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 11 = -3
माना n वाँ पद (an) = -150 है।
n वाँ पद (an) = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × -3 = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = 53.6 (लगभग)
⇒ n = 53.6 + 1 = 54.6
n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P. का कोई पद -150 नहीं है।

Bihar Board 10th Class Math Solution प्रश्न 7.
उस A.P. का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
दिया है, A.P. का 11 वाँ पद (a11) = 38
⇒ a + (n – 1)d = 38
⇒ a + (11 – 1)d = 38
⇒ a + 10d = 38 ………(1)
पुनः दिया है, A.P. का 16 वाँ पद (a16) = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 38
⇒ 5d = 35
⇒ d = 7
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = -32
श्रेढ़ी का 31 वाँ पद (a31) = a + (31 – 1)d
= -32 + 30 × 7
= -32 + 210
= 178
अतः A.P. का 31 वाँ पद = 178

10 Class Ka Math Bihar Board प्रश्न 8.
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का प्रथम पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, तीसरा पद = a + (3 – 1)d = a + 2d
और अन्तिम 50 वाँ पद = a + (50 – 1)d = a + 49d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 12 ………(1)
a + 49d = 106 ……(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 49d) – (a + 2d) = 106 – 12
⇒ 47d = 94
⇒ d = 2
तब समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 8
A.P. का 29 वाँ पद = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2
= 8 + 56
= 64
अतः दी गई A.P. का 29 वाँ पद 64 है।

Bihar Board Math Solution प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल
माना श्रेढ़ी का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
A.P. का तीसरा पद (a3) = a + 2d
तथा नौवाँ पद (a9) = a + (9 – 1) d = a + 8d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 4 ……(1)
a + 8d = -8 ……(2)
समीकण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 8d) – (a + 2d) = -8 – 4
या 6d = -12
या d = -2
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 x (-2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य होगा, अर्थात्
an = 0
n वाँ पद (an) = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ -2(n – 1) = -8
⇒ (n – 1) = 4
⇒ n = 5
अतः दी गई A.P. का 5 वाँ पद शून्य होगा।

Bihar Board Class 5 Math Solution In Hindi प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, 17 वाँ पद (a17) = a + (17 – 1)d = a + 16d
10 वा पद (a10) = a + (10 – 1)d = a + 9d
प्रश्नानुसार, 17 वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
17 वाँ पद (a17) – 10 वाँ पद (a10) = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
अत: श्रेढ़ी का सार्वान्तर (d) = 1

Bihar Board Math Solution Class 10 प्रश्न 11.
A.P. : 3, 15, 27, 39, ….. का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
हल
माना अभीष्ट पद n वाँ पद है।
दी गई A.P. : 3, 15, 27, 39, …..
प्रथम पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 15 – 3 = 12
तब, श्रेढ़ी का 54 वाँ पद (a54) = a + (54 – 1)d
= 3 + (53 × 12)
= 3 + 636
= 639
n वॉ पद (an) = 54 वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132
= 771
n वाँ पद (an) = 771
a + (n – 1)d = 771
3 + (n – 1) 12 = 771
(n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = 64
n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढ़ी का 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक है।

Bihar Board Class 5 Math Solution प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल
माना पहली A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है और दूसरी A.P. का पहला पद A तथा सार्वान्तर d है क्योंकि सार्वान्तर समान है।
तब, पहली श्रेढ़ी का 100 वाँ पद = a + (100 – 1)d = a + 99d
दूसरी श्रेढ़ी का 100 वा पद = A + (100 – 1) d = A + 99d
दोनों श्रेढ़ियों के 100 वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d) = A – a
तब, प्रश्नानुसार, A – a = 100 ……(1)
अब, पहली श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = a + (1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = A – a = 100 [समीकरण (1) से]
अत: 1000 वें पदों का अन्तर = 100

Bihar Board Class 5 Math Book Solution प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल
तीन अंकों की संख्याओं की सूची : 100, 101, 102, ……., 999
3 अंकों की 7 से विभाज्य पहली संख्या = 105
और अन्तिम संख्या = 994
तब, 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची :
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7), ……….., 994
= 105, 112, 119,…….,994
माना कुल संख्याएँ n हैं।
पहली संख्या (a) = 105, सार्वान्तर (d) = 7, n वाँ पद (an) = 994
n वा पद (an) = 994
a + (n – 1)d = 994
105 + (n – 1) × 7 = 994
(n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
(n – 1) = 8897 = 127
n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकीय संख्याएँ 128 हैं।

Bihar Board Class 5th Math Solution In Hindi प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गणज हैं?
हल
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची :
12, 12 + 4, (12 + 4 + 4),……., 248
12, 16, 20, 24, …….., 248.
माना गुणजों की संख्या n है।
यहाँ, पहला पद (a) = 12, सार्वान्तर (d) = 16 – 12 = 4
n वा पद (an) = 248
⇒ a + (n – 1)d = 248
⇒ 12 + (n -1) 4 = 248
⇒ 12 + 4n – 4 = 248
⇒ 4n = 248 + 4 – 12 = 240
⇒ n = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60

Bihar Board Class 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, ….. और 3, 10, 17,…..के n वें पद बराबर होंगे?
हल
पहली समान्तर श्रेढ़ी : 63, 65, 67,……
पहला पद (a) = 63, सार्वान्तर (d) = 65 – 63 = 2
श्रेढ़ी का n वा पद = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढ़ी : 3, 10, 17, ……
पहला पद (A) = 3 सार्वान्तर (D) = 10 – 3 = 7
श्रेढ़ी का n वाँ पद = A + (n – 1)D
= 3 + (n – 1)7
= 3 + 7 n – 7
= 7n – 4
दोनों श्रेढ़ियों के n वें पद बराबर हैं।
7n – 4 = 61 + 2n
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13
अतः दी गई दोनों श्रेढ़ियों के 13 वें पद समान हैं।

Bihar Board Class 10 Math Solution प्रश्न 16.
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
हल
माना पहला पद a है तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, A.P. का तीसरा पद = 16
a + 2d = 16 ……(1)
श्रेढ़ी का 7 वाँ पद (a7) = a + (7 – 1)d = a + 6d
तथा 5 वाँ पद (a5) = a + (5 – 1)d = a + 4d
7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है
(a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 4
श्रेढ़ी का पहला पद (a) = 4
दूसरा पद (a2) = a + d = 4 + 6 = 10
तीसरा पद (a3) = a + 2d = 4 + 2 × 6 = 4 + 12 = 16
चौथा पद (a4) = a + 3d = 4 + 3 × 6 = 4 + 18 = 22
अत: अभीष्ट A.P. : 4, 10, 16, 22, …….. है।

Bihar Board 10th Math Solution प्रश्न 17.
A.P. : 3, 8, 13, ….., 253 में अन्तिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, ………, 253
पहला पद (a) = 3, सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
यदि श्रेढ़ी को अवरोही क्रम में लिखें तो यह निम्नवत् होगी
253, (253 – 5), (253 – 10), (253 – 15), ……., 3
या 253, 248, 243, 238, ………, 3
पहला पद (a) = 253 तथा सार्वान्तर (d) = 248 – 253 = -5
श्रेढ़ी का 20 वाँ पद = a + (20 – 1)d
= 253 + 19 × (-5)
= 253 – 95
= 158
अतः दी गई A.P. के अन्तिम पद से 20 वाँ पद = 158
वैकल्पिक विधिः A.P. का अन्त से n वाँ पद = l – (n – 1)d
जहाँ, पर l = अन्तिम पद यहाँ, l = 253, d = 8 – 3 = 5, n = 20
A.P. का अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1) (5)
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95
= 158

Bihar Board Class 5th Math Solution प्रश्न 18.
किसी A.P. के चौथे और 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्नानुसार, 4वाँ पद (a4) + 8 वाँ पद (a8) = 24
⇒ a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 ……..(1)
तथा 6वाँ पद (a6) + 10वाँ पद (a10) = 44
⇒ a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a +7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ 2d = 10
⇒ d = 5
d का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
⇒ a = -13
तब, श्रेढ़ी का पहला पद (a1) = -13
दूसरा पद (a2) = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद (a3) = a + 2d = -13 + 2 × 5 = -13 + 10 = -3
अतः दी गई A.P. के प्रथम तीन पद = -13, -8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रतिमास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5000 + 200) = ₹ 5200
प्रतिमास तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5200 + 200) = ₹ 5400 प्रतिमास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (₹)
5000, 5200, 5400, …….. एक समान्तर श्रेढ़ी बनाते हैं।
जिसका पहला पद (a) = 5000 तथा सार्वान्तर (d) = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब, n वाँ पद = 7000
a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = 10
⇒ n = 10 + 1 = 11
अत: 11 वें वर्ष में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 हो जायेगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रत्येक सप्ताह की बचत में उत्तरोत्तर ₹ 1.75 की वृद्धि होती है।
प्रत्येक सप्ताह की बचतें एक A.P. का निर्माण करती हैं जिसका पहला पद (a) = 5 तथा सार्वान्तर (d) = ₹ 1.75
n वें सप्ताह में बचत = 20.75
a + (n – 1)d = 20.75
⇒ 5 + (n – 1) 1.75 = 20.75
⇒ (n – 1) × 1.75 = 20.75 – 5
⇒ (n – 1) × 1.75 = 15.75
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 9 + 1 = 10
अत: n = 10

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 1.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, ….., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ……, 100 पदों तक
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}\)….., 11 पदों तक
हल
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : 2, 7, 12, …….., 10 पदों तक
पहला पद (a) = 2, सार्वान्तर (d) = 7 – 2 = 5, पदों की संख्या (n) = 10
n पदों का योग, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
10 पदों तक योग, S10 = \(\frac{10}{2}\) [2 × 2 + (10 – 1)5]
= 5[4 + (9 × 5)]
= 5[4 + 45]
= 5 × 49
= 245
अत: 10 पदों तक का योग = 245

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : -37, -33, -29, ….., 12 पदों तक
पहला पद (a) = -37, सार्वान्तर (d) = (-33) – (-37) = -33 + 37 = 4,
पदों की संख्या (n) = 12
पदों का योग, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
12 पदों का योग, S12 = \(\frac{12}{2}\) [(2 × -37) + (12 – 1) × 4]
= 6[-74 + (11 × 4)]
= 6[-74 + 44]
= 6 × (-30)
= -180
अत: 12 पदों तक का योग = -180

(iii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी : 0.6, 1.7, 2.8, …… , 100 पदों तक
पहला पद (a) = 0.6, सार्वान्तर (d) = 1.7 – 0.6 = 1.1, पदों की संख्या (n) = 100
पदों तक योग, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
100 पदों तक योग, S100 = \(\frac{100}{2}\) [(2 × 0.6) + (100 – 1) × 1.1]
= 50[1.2 + 99 × 1.1]
= 50[1.2 + 108.9]
= 50 × 110.1
= 5505
अत: 100 पदों तक का योग = 5505

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\(\frac{1}{2}\) + 14 +…..+ 84
(ii) 34 + 32 + 30 +………+10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230)
हल

Bihar Board Math Solution प्रश्न 3.
एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। n और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल
(i) दिया है, a = 5, d = 3 और an = 50
अनुक्रम A.P. में है और an = 50
a + (n – 1)d = 50
⇒ 5 + (n – 1) 3 = 50
⇒ 5 + 3n – 3 = 50
⇒ 3n = 50 + 3 – 5
⇒ 3n = 48
⇒ n = 16
सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] से,
S16 = \(\frac{16}{2}\) [(2 × 5) + (16 – 1) × 3]
= 8 [10 + (15 × 3)]
= 8 [10 + 45]
= 8 × 55
= 440
अत: n = 16 तथा Sn = 440

(ii) दिया है, a = 7 और a13 = 35
यहाँ, a13 = 35

= \(\frac {13}{2}\) × 42
= 13 × 21
= 273
अत: d = \(\frac{7}{3}\) तथा S13 = 273

(iii) दिया है, a12 = 37 और d = 3
यहाँ, a12 = 37
⇒ a + (12 – 1)d = 37
⇒ a + 11d = 37
⇒ a + 11 x 3 = 37
⇒ a + 33 = 37
⇒ a = 4
तब, S12 = \(\frac{12}{2}\) [2a + (12 – 1)d]
= 6 [(2 × 4) + 11 × 3]
= 6[8 + 33]
= 6 × 41
= 246
अत: a = 4 तथा S12 = 246

(iv) दिया है, a3 = 15 और S10 = 125
a3 = 15
a + (3 – 1)d = 15
a + 2d = 15 …… (1)
और S10 = 125
\(\frac{10}{2}\) [2a + (10 – 1)d] = 125
2a + 9d = \(\frac{125 \times 2}{10}\) = 25
2a + 9d = 25 …….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने पर,
(2a + 9d) – (2a + 4d) = 25 – 30
5d = -5
d = -1
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2(-1) = 15
a = 15 + 2 = 17
a10 = a + (10 – 1)d
= 17 + 9 × (-1)
= 17 – 9
= 8
a10 = 8
अतः d = -1 और a10 = 8

(v) दिया है, d = 5 और S9 = 75
S9 = \(\frac{9}{2}\) [2a + (9 – 1)d]
= \(\frac{9}{2}\) [2a + 8d]
= 9a + 36d
= 9(a + 4d)
परन्तु S9 = 75 दिया है
9(a + 4d) = 75

(viii) दिया है, an = 4, d = 2 और Sn = -14
यहाँ, an = 4
⇒ a + (n – 1)d = 4
⇒ a + (n – 1)2 = 4
⇒ a + 2n – 2 = 4
⇒ a + 2n = 6 ……..(1)
Sn = -14
\(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) 2] = -14
⇒ n[a + n – 1] = -14 ……..(2)
समीकरण (1) से, a = 6 – 2n
तब, समीकरण (2) में a का मान रखने पर,
n(6 – 2n + n – 1) = -14
⇒ n(5 – n) = -14
⇒ 5n – n2 = -14
⇒ n2 – 5n – 14 = 0
⇒ n2 – 7n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2 (n – 7) = 0
⇒ (n – 7) (n + 2) = 0
⇒ n = 7 या n = -2
n एक धन पूर्णांक होना चाहिए।
n = 7
तब, a = 6 – 2n = 6 – (2 × 7) = 6 – 14 = -8
a = -8 तथा n = 7

(ix) दिया है, a = 3, n = 8 और Sn = 192
Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d] से,
⇒ \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 192 [∵ S = 192, दिया है]
⇒ \(\frac{8}{2}\) [(2 × 3) + (8 – 1) d] = 192
⇒ 4[6 + 7d] = 192
⇒ 24 + 28d = 192
⇒ 28d = 192 – 24 = 168
⇒ d = 6
अत: d = 6

(x) दिया है, अन्तिम पद, l = 28, S = 144 और कुल पद = 9
सूत्र, S = \(\frac{n}{2}\) [a + l] से,
⇒ 144 = \(\frac{9}{2}\) [a + 28]
⇒ 288 = 9[a + 28]
⇒ 288 = 9a + 252
⇒ 9a = 288 – 252
⇒ 9a = 36
⇒ a = 4
अतः a = 4

Class 10 Maths Bihar Board प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए A.P.: 9, 17, 25,….. के कितने पद लेने चाहिए?
हल
दी गई A.P. : 9, 17, 25, ……..
यहाँ a = 9 तथा d = 17 – 9 = 8
माना पदों की संख्या n है। .
Sn = 636 (दिया है)
⇒ \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\) [2 × 9 + (n – 1)8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\) [18 + 8n – 8] = 636
⇒ \(\frac{n}{2}\) [8n + 10] = 636
⇒ n(4n + 5) = 636
⇒ 4n2 + 5n – 636 = 0
⇒ 4n2 + 53n – 48n – 636 = 0
⇒ n(4n + 53) – 12(4n + 53) = 0
⇒ (4n + 53) (n – 12) = 0
⇒ n – 12 = 0 या 4n + 53 = 0
⇒ n = 12 या \(-\frac{53}{4}\)
परन्तु n एक धन पूर्णांक होना चाहिए।
n = 12
अत: 12 पद लेने चाहिए।

Bihar Board Class 10th Math Solution प्रश्न 5.
किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, प्रथम पद (a) = 5, अन्तिम पद (l) = 45 योग (S) = 400
माना पदों की संख्या n है।
सूत्र, S = \(\frac{n}{2}\) (a + l) से,
400 = \(\frac{n}{2}\) [5 + 45]
400 = \(\frac{n}{2}\) × 50
25n = 400
n = 16
अन्तिम पद (l) = 45 परन्तु 16 वाँ पद भी अन्तिम पद है।
a16 = 45
a + (16 – 1)d = 45
5 + 15d = 45
15d = 45 – 5 = 40
d = \(\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः पदों की संख्या n = 16 तथा सार्वान्तर = \(\frac{8}{3}\)

Bihar Board Class 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 6.
किसी A.P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल
दिया है, प्रथम पद (a) = 17 अन्तिम पद (l) = 350 तथा सार्वान्तर (d) = 9
माना दी गई A.P. में पदों की संख्या n हैं।
तब, अन्तिम पद, l = n वाँ पद
l = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)9
350 – 17 = 9n – 9
350 – 17 + 9 = 9n
9n = 342
n = 38
तब, 38 पदों का योग, S38 = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
= \(\frac{38}{2}\) (17 + 350)
= 19 × 367
= 6973
अतः पदों की संख्या = 38 तथा पदों का योग = 6973

Bihar Board Class 10th Math Book प्रश्न 7.
उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22 वाँ पद 149 है।
हल
दिया है, d = 7 तथा n = 22
22 वाँ पद = 149
a22 = a + (22 – 1)d = 149
a + 21 × 7 = 149
a + 147 = 149
a = 2
तब, प्रथम 22 पदों का योग, S22 = \(\frac{n}{2}\) (a + a22)
= \(\frac{22}{2}\) (2 + 149)
= 11 × 151
= 1661
अत: दी गई A.P. के प्रथम 22 पदों का योग = 1661

Bihar Board Class 10 Maths Solution प्रश्न 8.
उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं।
हल
दिया है, A.P. का दूसरा पद (a2) = 14
तीसरा पद (a3) = 18
सार्वान्तर (d) = a3 – a2 = 18 – 14 = 4
अब पुनः दूसरा पद = 14
a + d = 14
a + 4 = 14 [∵ d = 4]
a = 14 – 4
a = 10
तब, सूत्र Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] से,
51 पदों का योग, S51 = \(\frac{51}{2}\) [2 × 10 + (51 – 1) 4] [∵ n = 51]
= \(\frac{51}{2}\) [20 + (50 × 4)]
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) × 220
= 51 x 110
= 5610
अत: दी गई A.P. के प्रथम 51 पदों का योग 5610 है।

Class 10 Bihar Board Math Solution प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, प्रथम 7 पदों का योग (S7) = 49
\(\frac{7}{2}\) [2a + (7 – 1) d] = 49
\(\frac{7}{2}\) [2a + 6d] = 49
7(a +3d) = 49
a + 3d = 7 ……..(1)
इसी प्रकार, प्रथम 17 पदों का योग = 289
\(\frac{17}{2}\) [2a + (17 – 1) d] = 289
\(\frac{17}{2}\) [2a + 16d] = 289
\(\frac{17}{2}\) × 2[a + 8d] = 289
a + 8d = 17 …….(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
a + 8d – (a + 3d) = 17 – 7
5d = 10
d = 2
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 3 × 2 = 7
a + 6 = 7
a = 1
a = 1, तथा d = 2
तब, प्रथम n पदों का योग, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\) [2 × 1 + (n – 1)2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + (n – 1)2]
= \(\frac{n}{2}\) [2 + 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) (2n)
= n2
अत: प्रथम n पदों का योग = n2

Bihar Board Math Solution Class 10 प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a1, a2,….., an,…..से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
(i) दिया है, किसी अनुक्रम का n वाँ पद (an) = 3 + 4n
n = 1 रखने पर, पहला पद (a1) = 3 + 4(1) = 7
n = 2 रखने पर, दूसरा पद (a2) = 3 + 4(2) = 11
n = 3 रखने पर, तीसरा पद (a3) = 3 + 4(3) = 15
अत: अभीष्ट अनुक्रम = 7, 11, 15, ……,(3 + 4n) है।
सार्वान्तर = दूसरा पद (a2) – पहला पद (a1) = 11 – 7 = 4
अथवा तीसरा पद (a3) – दूसरा पद (a2) = 15 – 11 = 4
सार्वान्तर नियत है; अत: अनुक्रम एक A.P. है।
तब, प्रथम 15 पदों का योगफल,

अत: अनुक्रम = 7, 11, 15, …… , (3 + 4n) A.P. है तथा योगफल = 525

(ii) दिया है, अनुक्रम का n वा पद (an) = 9 – 5n
n = 1 रखने पर, पहला पद (a1) = 9 – 5(1) = 4
n = 2 रखने पर, दूसरा पद (a2) = 9 – 5(2) = -1
n = 3 रखने पर, तीसरा पद (a3) = 9 – 5(3) = -6
अत: अनुक्रम 4, -1, -6,….., (9 – 5n) है।
पदों का सार्वान्तर (d) = दूसरा पद (a2) – पहला पद (a1) = -1 – (4) = -5
अथवा तीसरा पद (a3) – दूसरा पद (a2) = -6 – (-1) = -5
चूँकि सार्वान्तर नियत है; अत: अनुक्रम एक A.P. है।
तब, प्रथम 15 पदों का योगफल,

अत: अनुक्रम = 4, -1, -6,……,(9 – 5n) A.P. है तथा योगफल = -465

Bihar Board Class 10 Math Solution प्रश्न 11.
यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, A.P. के प्रथम n पदों का योगफल, Sn = 4n – n2
n = 1 रखने पर, S1 = (4 × 1) – (1)2 = 3
प्रथम पद (a1) = 3
n = 2 रखने पर,
S2 = (4 × 2) – (2)2 = 8 – 4 = 4
प्रथम दो पदों का योगफल, S2 = 4
प्रथम पद (a1) = 3
दूसरा पद (a2) = S2 – S1 = 4 – 3 = 1
n = 3 रखने पर,
S3 = 4n – n2
= (4 × 3) – (3)2
= 12 – 9
= 3
तीसरा पद (a3) = S3 – S2 = 3 – 4 = -1
n = 9 रखने पर, S9 = 4n – n2 = 4 × 9 – 92 = 36 – 81 = -45
n = 10 रखने पर, S10 = 4n – n2 = 4 × 10 – 102 = 40 – 100 = -60
10 वाँ पद (a10) = S10 – S9 = -60 – (-45) = -60 + 45 = -15
Sn = 4n – n2 और Sn-1 = 4(n – 1) – (n – 1)2 [n के स्थान पर (n – 1) रखने पर]
= (n – 1) [4 – (n – 1)]
= (n – 1)[4 – n + 1]
= (n – 1) (5 – n)
= 5n – n2 – 5 + n
= 6n – n2 – 5
n वाँ पद (an) = Sn – Sn-1
= (4n – n2) – (6n – n2 – 5)
= 4n – n2 – 6n + n2 + 5
= 5 – 2n
अत: S1 = 3, प्रथम दो पदों का योग, S2 = 4, दूसरा पद, a2 = 1, तीसरा पद,(a3) = -1,
10 वाँ पद, a10 = -15 तथा n वाँ पद, an = 5 – 2n

Bihar Board Solution Class 10 Math प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हो।
हल
6 से विभाज्य धन पूर्णांक क्रमशः
6, 12, 18, 24, 30, …….., 40 पदों तक
पहला पद (a) = 6, सार्वान्तर (d) = 12 – 6 = 6, तथा n = 40
प्रथम n पदों का योगफल, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
प्रथम 40 पदों का योगफल, S40 = \(\frac{40}{2}\) [(2 × 6) + (40 – 1) 6]
= 20 [12 + 39 × 6]
= 20 [12 + 234]
= 20 × 246
= 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग = 4920

Bihar Board Class 10 Math Solution In Hindi प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
8 के प्रथम 15 गुणज क्रमश:
8, 16, 24, 32, ………., 15 पदों तक
S = 8 + 16 + 24 + 32 +…….+ 15 × 8
= 8[1 + 2 + 3 + 4 +……+ 15]
= 8[\(\frac{15}{2}\) (1 + 15] [∵ Sn = \(\frac{n}{2}\) [a + l]]
= 8[\(\frac{15}{2}\) × 16]
= 8 × 120
= 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का योगफल = 960

Class 10th Math Solution In Hindi Bihar Board प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल
0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ क्रमश:
1, 3, 5, 7, ……….., 49
यहाँ a = 1, d = 3 – 1 = 2, तथा an = 49
an = 49
a + (n – 1)d = 49
1 + (n – 1)2 = 49
(n – 1) 2 = 48
(n – 1) = 24
n = 25
A.P.: 1, 3, 5, 7, ………. का 25 पदों तक योगफल

अतः शून्य और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योगफल = 625

Bihar Board Class 10 Math Book Solution प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी
पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?
हल
यहाँ, पहले दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड = ₹ 200
दूसरे दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड = ₹ 250
तीसरे दिन के विलम्ब के लिए अर्थदण्ड = ₹ 300
………………………..
………………………..
a = 200, d = 250 – 200 = 50, तथा n = 30 दिन
30 दिन के विलम्ब के बाद अर्थदण्ड का योगफल,
S30 = \(\frac{30}{2}\) [(2 × 200) + (30 – 1) × 50]
[∵ सूत्र, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] से]
= 15[400 + 29 × 50]
= 15[400 + 1450]
= 15 × 1850
= 27750
अत: ठेकेदार को जुर्माने के रूप में ₹ 27750 देने होंगे।

Class 10th Math Bihar Board प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल
माना पहला पुरस्कार ₹ a है।
दूसरा पुरस्कार (a2) = (a – 20)
तीसरा पुरस्कार (a3) = ₹ (a – 20 – 20) = ₹ (a – 40)
चौथा पुरस्कार (a4) = ₹ (a – 40 – 20) = ₹ (a – 60)
पाँचवाँ पुरस्कार (a5) = ₹ (a – 60 – 20) = ₹ (a – 80)
छठा पुरस्कार (a6) = ₹ (a – 80 – 20) = ₹ (a – 100)
सातवा पुरस्कार (a7) = ₹ (a – 100 – 20) = ₹ (a – 120)
कुल पुरस्कारों की धनराशि = a + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
= a + (a – 20) + (a – 40) + (a – 60) + (a – 80) + (a – 100) + (a – 120)
= 7a – 420
प्रश्नानुसार, यह धनराशि ₹ 700 है।
7a – 420 = 700
7a = 700 + 420
7a = 1120
a = 160
पहला पुरस्कार = ₹ 160, शेष पुरस्कार क्रम से ₹ 20 – 20 कम है।
अतः पुरस्कार ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 हैं।

Math Class 10 Bihar Board प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल
प्रत्येक कक्षा में तीन अनुभाग हैं।
कक्षा I द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 1 = 3
कक्षा II द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा III द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 3 = 9
कक्षा IV द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = 3 × 4 = 12
………………………..
………………………..
तब, अनुक्रम A.P. : 3, 6, 9, 12, ………. बनता है।
a = 3, तथा d = 6 – 3 = 3
तब, कक्षा XII तक के कुल विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों का योगफल
सूत्र, Sn = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d] से,
S12 = \(\frac{12}{2}\) [(2 × 3) + (12 – 1) × 3]
= 6[6 + 33]
= 6 × 39
= 234
अत: स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए कुल पेड़ = 234

Bihar Board 10th Class Maths Book Solution In Hindi प्रश्न 18.
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ….. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है?(π = \(\frac{22}{7}\)) लीजिए। [संकेत : क्रमशः केन्द्रों A, B, A, B… वाले अर्धवृत्तों की लम्बाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं।

हल
पहले अर्द्धवृत्त की त्रिज्या, r1 = 0.5 cm
दूसरे अर्द्धवृत्त की त्रिज्या, r2 = 1.0 cm
तीसरे अर्द्धवृत्त की त्रिज्या, r3 = 1.5 cm
चौथे अर्द्धवृत्त की त्रिज्या, r4 = 2.0 cm
……………………………….
……………………………….
13 वें अर्द्धवृत्त की त्रिज्या, r13 = ?
r1 = a = 0.5 cm, d = 1.0 – 0.5 = 0.5 cm तथा n = 13
r13 = a + (n – 1) d = 0.5 + (13 – 1) × 0.5
= 0.5 + 12 × 0.5
= 0.5 + 6.0
= 6.5
अर्द्धवृत्तों की वृत्तीय परिधियाँ :
πr1, πr2, πr3, ………., πr13
13 क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने सर्पिल की लम्बाई

अत: सर्पिल की लम्बाई = 143 cm

Bihar Board 10th Math Book Solution प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लढे, उससे अगली पंक्ति में 19 लटे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे, इत्यादि जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। ये 200 लटे कितनी पंक्तियों में रखे हुए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?

हल
दिया है, सबसे निचली पंक्ति में 20 लटे हैं।
अर्थात् नीचे से प्रारम्भ कर प्रथम पंक्ति में = 20 लढे
दूसरी पंक्ति में = 19 लढे
तीसरी पंक्ति में = 18 लढे
चौथी पंक्ति में = 17 लढे ……… इत्यादि
तब, एक A.P. बनती है : 20, 19, 18, 17, …..
a = 20, तथा d = 19 – 20 = -1
माना पंक्तियों की संख्या n हैं।

यदि n = 25, तो an = a + (n – 1)d
= 20 + (25 – 1) × (-1)
= 20 – 24
= -4
अत: n = 25 स्वीकार्य नहीं है।
तब, n = 16 से,
an = a + (n – 1) d
= 20 + (16 – 1) × -1
= 20 + (15 × (-1))
= 20 – 15
= 5
अत: कुल पंक्तियाँ = 16 और सबसे ऊपर की पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 5

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
हल
पहले आलू की बाल्टी से दूरी = 5 m
दूसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (5 + 3) = 8 m
तीसरे आलू की बाल्टी से दूरी = (8 + 3) = 11 m
चौथे आलू की बाल्टी से दूरी = (11 + 3) = 14 m
इस प्रकार बाल्टी से आलुओं की दूरी A.P. में है जिसका
पहला पद (a) = 5 m तथा सार्वान्तर (d) = 3 m
एक बार बाल्टी से चलकर आलू को उठाना होता है और उसे फिर वापस बाल्टी में डालना पड़ता है।
आलू बाल्टी में डालने के लिए चली दूरियाँ :
= 2 × 5 m, 2 × 8 m, 2 × 11 m, 2 × 14 m, …….
= 10 m, 16 m, 22 m, 28 m, …………
यहाँ a = 10, d = 16 – 10 = 6, तथा n = 10
n आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने के लिए चली दूरी = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1)d]
10 आलुओं की रेस में चली दूरी = \(\frac{10}{2}\) [2 × 10 + (10 – 1) × 6]
= 5[20 + (9 × 6)]
= 5[20 + 54]
= 5[74]
= 370 m
अतः प्रतियोगी द्वारा चली दूरी = 370 m

Bihar Board Class 10 Maths समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P.: 121, 117, 113,…… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत : an < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]
हल
दी गई A.P.: 121, 117, 113, ………
प्रथम पद (a) = 121
तथा सार्वान्तर (d) = 117 – 121 = -4
मान लिया n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।
an < 0
⇒ a + (n – 1)d < 0
⇒ 121 + (n – 1) × (-4) < 0
⇒ -(n – 1) 4 < -121
⇒ n – 1 < \(\frac{121}{4}\)
⇒ n < \(\frac{121}{4}\) + 1
⇒ n < \(\frac{125}{4}\)
⇒ n < 31.25
n < 32 क्योंकि n = एक पूर्णांक है।
अत: 32 वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
माना दी गई A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
तीसरा पद (a3) = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद (a7) = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार, तीसरे + सातवें पद का योग = 6
⇒ a3 + a7 = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 ……(1)
पुनः प्रश्नानुसार,
a3 × a7 = 8
⇒ (a + 2d) × (a + 6d) = 8
⇒ a2 + 8ad + 12d2 = 8 ……..(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)2 – (a2 + 8ad + 12d2) = (3)2 – 8
⇒ a2 + 8ad + 16d2 – a2 – 8ad – 12d2 = 9 – 8
⇒ 4d2 = 1
⇒ d = \(\pm \frac{1}{2}\)
समीकरण (1) में d = \(\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × \(\frac{1}{2}\) = 3
⇒ a + 2 = 3
⇒ a = 1
समीकरण (1) में पुन: d = \(-\frac{1}{2}\) रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × (\(-\frac{1}{2}\)) = 3
⇒ a – 2 = 3
⇒ a = 5
पहली स्थिति में, a = 1, d = \(\frac{1}{2}\)

अतः प्रथम 16 पदों का योग = 20 अथवा 76

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा 25 cm सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 2\(\frac{1}{2}\) m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत : डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 है।]

हल
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की क्षैतिज दूरी
= 2\(\frac{1}{2}\) m
= \(\frac{5}{2}\) m
= \(\frac{5 \times 100}{2}\) cm
= 250 cm
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 cm
सीढ़ी में डण्डों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 11
प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 cm और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 cm
11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
= \(\frac{11}{2}\) [25 + 45] cm
= 5.5 × 70 cm
= 385 cm
= 3.85 m
अत: सीढ़ी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 cm या 3.85 m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत : Sx-1 = S49 – Sx है]
हल
दिया है, मकानों पर अंकित संख्याएँ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……., 47, 48, 49 हैं।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग = x – 1 से 49 तक की सभी संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वान्तर, d = 1
तब, 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\) m की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\) m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50\) m3 है।]

हल
दिया है, प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई 50m तथा चौड़ाई \(\frac{1}{2}\) m है।
सीढ़ियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का अनुक्रम है जो निम्नवत् है :


अत: चबूतरे में लगी कंक्रीट का आयतन = 750 m3