Bihar Board Class 10th Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Solution

 

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
(ii) x2 – 2x = (-2)(3 – x)
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
(vi) x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
(vii) (x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
हल
(i) दिया गया समीकरण :
(x + 1)2 = 2(x – 3)
⇒ x2 + 2x + 1 = 2(x – 3) [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ x2 + 2x + 1 = 2x – 6 [दाएँ पक्ष को सरल करने पर ]
⇒ x2 + 2x + 1 – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 + 7 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(ii) दिया गया समीकरण :
x2 – 2x = (-2)(3 – x)
⇒ x2 – 2x = -6 + 2x [सरल करने पर]
⇒ x2 – 2x – 2x + 6 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – 4x + 6 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(iii) दिया गया समीकरण :
(x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x(x + 1) – 2(x + 1) = x(x + 3) – 1(x + 3) [सरल करने पर]
⇒ x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
⇒ x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
⇒ x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -3x + 1 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) दिया गया समीकरण :
(x – 3) (2x + 1) = x(x + 5)
⇒ x(2x + 1) – 3(2x + 1) = x(x + 5) [सरल करने पर]
⇒ 2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x [सरल करने पर]
⇒ 2x2 + x – 6x – 3 – x2 – 5x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – 10x – 3 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(v) दिया गया समीकरण :
(2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x(x – 3) – 1(x – 3) = x(x – 1) + 5(x – 1) [सरल करने पर]
⇒ 2x2 – 6x – 1x + 3 = x2 – 1x + 5x – 5 [सरल करने पर]
⇒ 2x2 – 7x + 3 = x2 +4x – 5
⇒ 2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – 11x + 8 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

(vi) दिया गया समीकरण :
x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
⇒ x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ x2 + 3x + 1 – x2 + 4x – 4 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3x + 1 + 4x – 4 = 0 [सरल करने पर]
⇒ 7x – 3 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) दिया गया समीकरण :
(x + 2)3 = 2x(x2 – 1)
⇒ x3 + (2)3 + 3 × x × 2(x + 2) = 2x(x2 – 1) [∵ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)]
⇒ x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x [सरल करने पर]
⇒ x3 + 8 + 6x2 + 12x – 2x3 + 2x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0 [सरल करने पर]
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 नहीं है।
अतः दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) दिया गया समीकरण :
x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 – 3 × x × 2(x – 2) [∵ (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)]
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x(x – 2) [सरल करने पर]
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x [सरल करने पर]
⇒ x3 – 4x2 – x + 1 – x3 + 8 + 6x2 – 12x = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 – 13x + 9 = 0
उक्त समीकरण में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अत: दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल
(i) माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है।
प्रश्नानुसार, भूखण्ड की लम्बाई, उसकी चौड़ाई के दोगुने से 1 मीटर अधिक है।
भूखण्ड की लम्बाई = (2 × चौड़ाई) + 1
= (2 × x) + 1
= (2x + 1) मीटर
आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
भूखण्ड का क्षेत्रफल = (2x + 1) × (x) वर्ग मीटर = (2x2 + x) वर्ग मीटर
परन्तु भूखण्ड का क्षेत्रफल = 528 वर्ग मीटर
2x2 + x = 528
⇒ 2x2 + x – 528 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : 2x2 + x – 528 = 0

(ii) माना पहला धन पूर्णांक =x तथा दूसरा क्रमागत धन पूर्णांक = (x + 1)
पूर्णांकों का गुणनफल = x(x + 1) = x2 + x
परन्तु पूर्णांकों का गुणनफल = 306
x2 + x = 306
⇒ x2 + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x2 + x – 306 = 0

(iii) माना रोहन की वर्तमान आयु = x वर्ष
उसकी माँ रोहन से 26 वर्ष बड़ी है।
रोहन की माँ की वर्तमान आयु = (x + 26) वर्ष
तीन वर्ष बाद, रोहन की आयु (x + 3) वर्ष तथा उसकी माँ की आयु (x + 26 + 3) या (x + 29) वर्ष हो जाएगी।
रोहन और उसकी माँ की आयु का गुणनफल = (x + 3) (x + 29)
= x(x + 29) + 3(x + 29)
= x2 + 29x + 3x + 87
= x2 + 32x + 87
प्रश्नानुसार, आयु का गुणनफल = 360
x2 + 32x + 87 = 360
⇒ x2 + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x2 + 32x – 273 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x2 + 32x – 273 = 0

(iv) माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है।
निर्धारित दूरी = 480 km
रेलगाड़ी को 460 km दूरी तय करने में लगने वाला समय = 480x घंटे

यदि रेलगाड़ी की चाल 8 km/h कम होती तब रेलगाड़ी की चाल = (x – 8) km/h
रेलगाड़ी को 480 km दूरी चलने में लगा समय = 480x−8 घंटे।

⇒ 3x2 – 24x = 3840 [वज्रगुणन से]
⇒ 3x2 – 24x – 3840 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 3(x2 – 8x – 1280) = 0 [3 सार्व लेने पर ]
⇒ x2 – 8x – 1280 = 0 [दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर]
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण : x2 – 8x – 1280 = 0

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x2 – 3x – 10 = 0
(ii) 2x2 + x – 6 = 0
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x2 – x + 18 = 0
(v) 100x2 – 20x + 1 = 0
हल
(i) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
x2 – 3x – 10 = 0
⇒ x2 – (5 – 2)x – 10 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0, तो x = 0 + 5 ⇒ x = 5
और यदि x + 2 = 0, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
अत: द्विघात समीकरण के मूल = 5, -2

(ii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x2 + x – 6 = 0
⇒ 2x2 + (4 – 3)x – 6 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
और यदि 2x – 3 = 0 हो, तो 2x = 0 + 3 ⇒ 2x = 3 या x = 32
अत: द्विघात समीकरण के मूल = -2, 32

(iii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
√2x2 + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x2 + (5 + 2)x + 5√2 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ √2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ (√2x2 + 5x) (2x + 5√2) = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
यदि √2x + 5 = 0 हो, तो √2x = 0 – 5 या x = −52√ और
यदि x + √2 = 0 हो, तो x = -√2
अतः द्विघात समीकरण के मूल = −52√, -√2

(iv) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x2 – x + 18 = 0
⇒ 16x2 – 8x + 1 = 0 [दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर]
⇒ (4x)2 – 2 × 4x × 1 + (1)2 = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (4x – 1)2 = 0 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 4x – 1 = 0 ⇒ x = 14
अतः द्विघात समीकरण के मूल = 14, 14

(v) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
100x2 – 20x + 1 = 0
⇒ 100x2 – (10 + 10)x + 1 = 0 [ मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 100x2 – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 10x – 1 = 0
⇒ x = 110
अतः द्विघात समीकरण के मूल = 110, 110

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को गणितीय रूपमें व्यक्त कीजिए :
(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरम्भ में उनके पास कितने कंचे थे?
(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य ₹55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।
हल
(i) माना आरम्भ में जॉन के पास x कंचे थे।
दोनों के पास कुल कंचों की संख्या = 45
जीवन्ती के पास प्रारम्भ में कंचों की संख्या = (45 – x)
जब जॉन 5 कंचे खो देता है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (x – 5)
इसी प्रकार, जब जीवन्ती 5 कंचे खो देती है, तो उसके पास शेष बचे कंचों की संख्या = (45 – x – 5) = (40 – x)
अब, कंचों की संख्या का गुणनफल = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= -x2 + 45x – 200
परन्तु प्रश्नानुसार कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है।
-x2 + 45x – 200 = 124
⇒ -x2 + 45x – 200 – 124 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ -x2 + 45x – 324 = 0
⇒ -(x2 – 45x + 324) = 0
⇒ x2 – 45x + 324 = 0
⇒ x2 – (36 + 9)x + 324 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x2 – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36) (x – 9) = 0
यदि x – 36 = 0, तो x = 36
और यदि x – 9 = 0, तो x = 9
अत: जॉन के पास कंचों की संख्या = 36 अथवा 9
तब स्पष्ट है कि यदि जॉन के पास 36 कंचे हैं, तो जीवन्ती के पास 9 कंचे होंगे।
और यदि जॉन के पास 9 कंचे हैं तो जीवन्ती के पास 36 कंचे होंगे।
अतः उनके पास कंचों की संख्या (9, 36) अथवा (36, 9).

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
प्रश्नानुसार, प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
उस दिन निर्मित सभी x खिलौनों की लागत = ₹ x(55 – x) = ₹ (55x – x2)
परन्तु उस दिन की निर्माण लागत = ₹ 750
55x – x2 = 750
⇒ 55x – x2 – 750 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – 55x + 750 = 0
⇒ x2 – (25 + 30)x + 750 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x2 – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
यदि x – 25 = 0, तो x = 25
और यदि x – 30 = 0 तो x = 30
अतः निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या = 25 या 30

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल
माना एक संख्या x है।
दूसरी संख्या = (27 – x) होगी।
तब संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x2
परन्तु दो संख्याओं का गुणनफल = 182
182 = 27x – x2
⇒ x2 – 27x + 182 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x2 – (14 + 13)x + 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 – 14x – 13x + 182 = 0
⇒ x(x – 14) – 13(x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
यदि x – 14 = 0, तो x = 14
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
पहली संख्या = 14 अथवा 13
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अत: अभीष्ट संख्याएँ = (14, 13) अथवा (13, 14)

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल
माना दो क्रमागत धन पूर्णांक x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।
x2 + (x + 1)2 = 365
⇒ x2 + x2 + 2x + 1 = 365 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
⇒ 2x2 + 2x + 1 – 365 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 + 2x – 364 = 0
⇒ 2(x2 + x – 182) = 0
⇒ x2 + x – 182 = 0
⇒ x2 + (14 – 13)x – 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x2 + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14;
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 13 + 1 = 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x cm है
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 cm कम है।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7) cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब)2 + (आधार)2 = (कर्ण)2
⇒ (x – 7)2 + x2 = (13)2 [∵ दिया है, कर्ण = 13 cm]
⇒ x2 – 14x + 49 + x2 = 169 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
⇒ 2x2 – 14x + 49 – 169 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 – 14x – 120 = 0
⇒ 2(x2 – 7x – 60) = 0
⇒ x2 – 7x – 60 = 0
⇒ x2 – (12 – 5)x – 60 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से ]
⇒ x2 – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ (x2 – 12x) + (5x – 60) = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तो x = 12
और यदि (x + 5) = 0, तो x = -5
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब, ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 cm व 12 cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल
माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹x × (2x + 3) = ₹ (2x2 + 3x)
प्रश्नानुसार, उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
⇒ 2x2 + 3x = 90
⇒ 2x2 + 3x – 90 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x2 + (15 – 12)x – 90 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x2 + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
यदि x – 6 = 0, तो x = 6
और यदि 2x + 15 = 0 हो, तो x = −152
बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अत: x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब, प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6) + 3
= ₹(12 + 3)
= ₹15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.3

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो, तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
(i) 2x2 – 7x + 3 = 0
(ii) 2x2 + x – 4 = 0
(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
हल
(i) दिया गया द्विघात समीकरण :
2x2 – 7x + 3 = 0
⇒ x2−72x+32=0 [प्रत्येक पद में x2 के गुणांक 2 से भाग देने पर]

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi प्रश्न 2.
उपर्युक्त प्रश्न (1) में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
हल
(i) दिया गया द्विघात समीकरण :
2x2 – 7x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -7 तथा c = 3

अत: समीकरण के मूल = 3, 12

(ii) दिया गया द्विघात समीकरण :
2x2 + x – 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = -4

(iii) दिया गया द्विघात समीकरण :
4x2 + 4√3x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,

द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं और यहाँ b2 – 4ac = 0 है।
अत: दोनों मूल समान होंगे। तब समीकरण के मूल = −3√2,−3√2

(iv) दिया गया समीकरण :
2x2 + x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = 1 तथा c = 4

√-31 एक अधिकल्पित संख्या है।
x के मान अधिकल्पित होंगे।
अत: दिए गए समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है।

Bihar Board Class 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x – 1x = 3, x ≠ 0
(ii) 1x+4−1x−7=1130, x ≠ -4, 7
हल

Bihar Board Class 10 Math Solution प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 13 है। उसकी वर्तमान आयुज्ञात कीजिए।
हल
माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है।
3 वर्ष पूर्व उसकी आयु = (x – 3) वर्ष
3 वर्ष पूर्व उसकी आयु का व्युत्क्रम = 1x−3
5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु = (x + 5) वर्ष
5 वर्ष पश्चात् उसकी आयु का व्युत्क्रम = 1x+5
प्रश्नानुसार, दोनों व्युत्क्रमों का योग = 13
1x−3+1x+5=13

धनात्मक (+) चिह्न लेने पर, x = 2 + 5 = 7
ऋणात्मक (-) चिह्न लेने पर, x = 2 – 5 = -3
परन्तु आयु ऋणात्मक नहीं होती; अत: x का मान -3 स्वीकार्य नहीं है
∴ x = 7
अत: रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।

Bihar Board 10th Math Solution In Hindi प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल
माना शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए।
अंग्रेजी और गणित दोनों के प्राप्तांकों का योग = 30
अंग्रेजी में प्राप्तांक = (30 – x)
यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक मिलते अर्थात् गणित में (x + 2) अंक मिलते और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते अर्थात् अंग्रेजी में (30 – x – 3) या (27 – x) अंक मिलते, तो अंकों का गुणनफल (x + 2) (27 – x) होता अर्थात्
गुणनफल = (x + 2) (27 – x)
= 27x – x2 + 54 – 2x
= 25x – x2 + 54
प्रश्नानुसार, गुणनफल = 210
⇒ 25x – x2 + 54 = 210
⇒ x2 – 25x – 54 + 210 = 0 [पक्षान्तरण करने पर]
⇒ x2 – 25x + 156 = 0 [सरल करने पर]
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -25 तथा c = 156

तब, शेफाली ने गणित में या तो 12 अंक प्राप्त किए या फिर 13 अंक प्राप्त किए।
यदि शेफाली ने गणित में 12 अंक प्राप्त किए, तो अंग्रेजी में (30 – 12) = 18 अंक प्राप्त किए
और यदि शेफाली ने गणित में 13 अंक प्राप्त किए, तो अंग्रेजी में (30 – 13) = 17 अंक प्राप्त किए।
अतः शेफाली ने गणित व अंग्रेजी में क्रमश: 12 व 18 अंक अथवा 13 व 17 अंक प्राप्त किए।

Bihar Board Class 10 Maths Solution प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना आयताकार खेत की छोटी भुजा x मी है।
बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक है।
बड़ी भुजा = (x + 30) मी
तब खेत की लम्बाई = (x + 30) मी तथा चौड़ाई = x मी
प्रश्नानुसार, आयताकार खेत का विकर्ण, छोटी भुजा (चौड़ाई) से 60 मी अधिक है।
आयताकार खेत का विकर्ण = (x + 60) मी
परन्तु आयत के लिए,
लम्बाई2 + चौड़ाई2 = विकर्ण2
⇒ (x + 30)2 + x2 = (x + 60)2
⇒ x2 = (x + 60)2 – (x + 30)2
⇒ x2 = (x + 60 + x + 30) (x + 60 – x – 30) [∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
⇒ x2 = (2x + 90) (30)
⇒ x2 = 60x + 2700
⇒ x2 – 60x – 2700 = 0 [पक्षान्तरण करने पर]
⇒ x2 – (90 – 30)x – 2700 = 0 [मध्यपद का विखण्डन करने पर]
⇒ x2 – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
⇒ (x – 90)(x + 30) = 0
⇒ (x – 90)(x + 30) = 0
यदि x – 90 = 0 हो, तो x = 90
और यदि x + 30 = 0 हो, तो x = -30
परन्तु भुजा की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती; अत: x का मान -30 स्वीकार्य नहीं है।
∴ x = 90
दूसरी भुजा = (x + 30) मी = (90 + 30) = 120 मी
अत: आयताकार खेत की भुजाएँ 90 मी व 120 मी हैं।

Class 10th Math Solution In Hindi Bihar Board Pdf प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना छोटी संख्या x है।
छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का 8 गुना है।
बड़ी संख्या × 8 = छोटी संख्या का वर्ग
बड़ी संख्या × 8 = x2
बड़ी संख्या = x28
प्रश्नानुसार, वर्गों का अन्तर = 180
(बड़ी संख्या)2 – (छोटी संख्या)2 = 180
⇒ (x28)2−(x)2=180
⇒ x464 – (x)2 = 180
⇒ x4 – 64x2 = 11520
⇒ x4 – 64x2 – 11520 = 0
माना x2 = X, तब उक्त समीकरण :
X2 – 64X – 11520 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना मानक द्विघात समीकरण AX2 + BX + C = 0 से करने पर,
A = 1, B = -64 तथा C = -11520

धनात्मक (+) चिह्न लेने पर, x = 32 + 112 = 144
ऋणात्मक (-) चिह्न लेने पर, x = 32 + 112 = -80
X = x2
⇒ x2 = 144 या -80
⇒ x = ±12 या √-80 जो कि अधिकल्पित संख्या है।
तब, छोटी संख्या = 12 या -12
तब, बड़ी संख्या = x28=1448=18
अतः संख्याएँ = 12, 18 अथवा -12, 18

Bihar Board Solution Class 10 Math प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है।
सूत्र; समय =  दूरी  चाल  से
360 किमी दूरी तय करने में लगा समय = 360x घंटा
यदि रेलगाड़ी की चाल 5 km/h अधिक होती अर्थात् चाल (x + 5) km/h होती, तो
360 km दूरी तय करने में लगा समय = 360x+5 घंटा


रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का मान -45 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 40
अत: रेलगाड़ी की चाल = 40 km/h

Bihar Board 10th Math Solution प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को 938 घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल
माना कम व्यास वाला नल पानी के हौज को x घंटे में भरता है।
बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में 10 घंटे कम समय लेता है।
बड़े व्यास वाला नल हौज को (x – 10) घंटे में भरेगा।
पहले नल द्वारा हौज को भरने की प्रति घंटा दर = 1x भाग
इसी प्रकार, दूसरे नल द्वारा हौज को भरने की प्रति घंटा दर = 1x−10 भाग
यदि दोनों नल एक-साथ खुले हों, तो 1 घंटे में हौज का (1x+1x−10) भाग भर जाएगा। परन्तु दिया है कि 938 घंटे या 758 घंटे में पूरा हौज भर जाएगा


अत: छोटा नल हौज को 25 घंटे या 334 घंटे में भर सकता है।
जब दोनों नल हौज को भरते हैं, तब 9 घंटे से अधिक समय लगता है तब केवल एक नल उसे 334 घंटे में भर दे यह असम्भव एवं असंगत है।
अत: छोटा नल उसे 25 घंटे में भरता है, तब बड़ा नल उसे 25 – 10 = 15 घंटे में भर सकता है।
अत: कम व्यास वाला नल हौज को 25 घंटे में और अधिक व्यास वाला नल उसे 15 घंटे में भर सकता है।

Bihar Board Class 10 Math Solution In Hindi प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलौर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x km/h है।
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारीगाड़ी की अपेक्षा 11 km/h अधिक है।
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (x + 11) km/h.
तब, 132 km यात्रा में सवारी गाड़ी द्वारा लिया समय =  दूरी  चाल =132x घंटा
और उसी यात्रा में एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया समय = 132x+11 घंटा
प्रश्नानुसार, एक्सप्रेस रेलगाड़ी 1 घंटा कम समय लेती है।


रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का मान -44 स्वीकार्य नहीं है।
∴ x = 33
अत: सवारी गाड़ी की चाल 33 km/h तथा एक्सप्रेस गाड़ी की चाल (33 + 11) = 44 km/h है।

Bihar Board Class 10 Math Book Solution In Hindi Pdf Download प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m2 है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना एक वर्ग की भुजा x m है।
तब, उस वर्ग का परिमाप = 4x m
दोनों वर्गों के परिमापों में 24m का अन्तर है।
दूसरे वर्ग का परिमाप = (4x + 24) m
तब, दूसरे वर्ग की भुजा = (4x+244) m = 4(x+6)4 m = (x + 6) m
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x2 m2
तथा दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (x + 6)2 m2 = (x2 + 12x + 36) m2
प्रश्नानुसार, दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 m2
⇒ x2 + (x2 + 12x + 36) = 468
⇒ 2x2 + 12x + 36 – 468 = 0
⇒ 2x2 + 12x – 432 = 0
⇒ 2(x2 + 6x – 216) = 0
⇒ x2 + 6x – 216 = 0
⇒ x2 + 2 × x × 3 + (3)2 – 216 – (3)2 = 0 [32 जोड़ने व घटाने पर]
⇒ (x + 3)2 – 225 = 0
⇒ (x + 3)2 – (15)2 = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (x + 3 + 15) (x + 3 – 15) = 0 [∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
⇒ (x + 18) (x – 12) = 0
⇒ (x + 18) (x – 12) = 0
यदि x + 18 = 0 हो तो x = -18
या x – 12 = 0 हो, तो x = 12
वर्ग की भुजा x = -18 ऋणात्मक नहीं हो सकती; अत: x का मान -18 स्वीकार्य नहीं है।
छोटे वर्ग की भुजा = 12 m
तब, बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 m
अत: वर्गों की भुजाएँ क्रमश: 12 m व 18 m हैं।

Bihar Board Class 10 Maths द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए :
(i) 2x2 – 3x + 5 = 0
(ii) 3x2 – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण :
2x2 – 3x + 5 = 0
उपर्युक्त समीकरण, की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -3 तथा c = 5
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
=(-3)2 – 4 × 2 × 5
= 9 – 40
= -31 (ऋणात्मक)
∵ विविक्तकर D ऋणात्मक है।
∵ समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।
अतः समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं या मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) दिया गया समीकरण :
3x2 – 4√3x + 4 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 3, b = -4√3 तथा c = 4
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
=(-4√3)2 – 4 × 3 × 4
= 48 – 48
= शून्य
विविक्तकर D = 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

मूल दो हैं जो परस्पर समान हैं;
अत: समीकरण के मूल = 23√,23√

(iii) दिया गया समीकरण :
2x2 – 6x + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = -6 तथा c = 3
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
= (-6)2 – 4 × 2 × 3
= 36 – 24
= 12
विविक्तकर, D > 0; अत: समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
हल
(i) दिया गया समीकरण : 2x2 + kx + 3 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 2, b = k तथा c = 3
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
= k2 – 4 × 2 × 3
= k2 – 24
समीकरण के मूल समान हैं। तब, विविक्तकर, D = 0
k2 – 24 = 0
⇒ k2 = 24
⇒ k = ±√24 = ±2√6
अत: मूल बराबर होने के लिए k = ±2√6 होना चाहिए।

(ii) दिया गया समीकरण :
kx(x – 2) + 6 = 0
⇒ kx2 – 2kx + 6 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = k, b = -2k तथा c = 6
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
= (-2k)2 – 4 × k × 6
= 4k2 – 24k
= 4k(k – 6)
समीकरण के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर, D = 0
4k(k – 6) = 0
यदि 4k = 0 तो k = 0
और यदि (k – 6) = 0 तो k = 6
अत: समीकरण के मूल बराबर होने के लिए k = 6 होना चाहिए क्योंकि k = 0 प्रतिबन्धित होता है।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना आम की बगिया की चौड़ाई x m है।
लम्बाई, चौड़ाई की दुगुनी है।
लम्बाई = 2x m
बगिया का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 2x × x = 2x2 m2
परन्तु, दिया है कि बगिया का क्षेत्रफल = 800 m2
2x2 = 800
⇒ x2 = 400
⇒ x = ±√400 = ± 20 m
तब, बगिया की चौड़ाई = 20 m (∵ चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
बगिया की लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: आम की बगिया सम्भव है और उसकी लम्बाई 40 m व चौड़ाई 20 m होगी।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए :
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल
माना एक मित्र की आयु x वर्ष है।
दोनों का आयु का योग 20 वर्ष है।
दूसरे मित्र की आयु = (20 – x) वर्ष
4 वर्ष पूर्व पहले मित्र की आयु = (x – 4) वर्ष
तथा 4 वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = (20 – x – 4) = (16 – x) वर्ष
तब, 4 वर्ष पूर्व दोनों की आयु का गुणनफल = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x2 – 64 + 4x
= -x2 + 20x – 64
दिया है, गुणनफल = 48
48 = -x2 + 20x – 64
⇒ x2 – 20x + 64 + 48 = 0
⇒ x2 – 20x + 112 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -20 तथा c = 112
तब, विविक्तकर, D = b2 – 4ac
= (-20)2 – 4 × 1 × 112
= 400 – 448
= -48
विविक्तकर D ऋणात्मक है।
समीकरण के मूल अधिकल्पित हैं।
अत: ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल
माना पार्क की लम्बाई x m है।
दिया है, पार्क का परिमाप = 80 m
⇒ 2 (लम्बाई + चौड़ाई) = 80 m
⇒ 2(x + चौड़ाई) = 80
⇒ x + चौड़ाई = 40
⇒ चौड़ाई = (40 – x) m
तब, पार्क का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
= x(40 – x)
= (40x – x2) m2
परन्तु प्रश्नानुसार पार्क का क्षेत्रफल 400 m2 है।
400 = 40x – x2
⇒ x2 – 40x + 400 = 0
उपर्युक्त समीकरण की तुलना व्यापक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 से करने पर,
a = 1, b = -40 तथा c = 400
विविक्तकर, D = b2 – 4ac
= (-40)2 – 4 × 1 × 400
= 1600 – 1600
= 0
विविक्तकर, D = 0;
अत: समीकरण के मूल समान हैं।

प्रत्येक मूल 20 है।
अत: ऐसा पार्क सम्भव है और उसकी लम्बाई व चौड़ाई में से प्रत्येक 20 m होगी।