Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Subjective Questions

 

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल
बिन्दुओं (-3, -4) तथा (-8, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु

प्रश्न 2.
यदि A(2, 4), B(6, 4), C(3, 7) त्रिभुज के शीर्ष हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, ∆ABC के शीर्ष A = (2, 4), B = (6, 4) तथा C = (3, 7)
यहाँ, x1 = 2, y1 = 4, x2 = 6, y2 = 4, x3 = 3, y3 = 7
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [(2 × 4 + 6 × 7 + 3 × 4) – (4 × 6 + 4 × 3 +7 × 2)]
= 12 [(8 + 42 + 12) – (24 + 12 + 14)]
= 12 (62 – 50)
= 12 × 12
= 6 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
x का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (x, 3) तथा (4, 5) के बीच की दूरी √5 मात्रक है।
हल
बिन्दु (x, 3) तथा (4, 5) के बीच की दूरी = √5
(4−x)2+(5−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√=5–√
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(4 – x)2 + (2)2 = 5
⇒ (4 – x)2 = 5 – 4 = 1
⇒ 4 – x = ±1
जब 4 – x = 1 तो x = 4 – 1 = 3
जब 4 – x = -1 तो x = 4 + 1 = 5
अत: x = 3 या 5

प्रश्न 4.
p के किस मान हेतु बिन्दु (2, 1) तथा (p, -1) के बीच की दूरी 2 मात्रक है?
हल
दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी = [(x2−x1)2+(y2−y1)2]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
= [(p−2)2+(−1−1)2]−−−−−−−−−−−−−−−−−√
प्रश्नानुसार, दिए गए बिन्दुओं के बीच की दूरी = 2
(p−2)2+(−1−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=2
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
⇒ (p – 2)2 + 22 = 22
⇒ (p – 2)2 = 0
⇒ p = 2

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
हल
माना x-अक्ष पर बिन्दु (h, 0) है।
चूँकि बिन्दु (h, 0) बिन्दुओं (1, 3) और (-3, 5) से समदूरस्थ है।
(h, 0) की बिन्दु (1, 3) से दूरी = (h, 0) से बिन्दु (-3, 5) से दूरी
(h−1)2+(0−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√={h−(−3)}2+(0−5)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
h2 + 1 – 2h + 9 = h2 + 9 + 6h + 25
⇒ -2h – 6h = 25 – 1
⇒ -8h = 24
⇒ h = −248 = -3
अभीष्ट बिन्दु = (-3, 0)

प्रश्न 2.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2) और (-3, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 में अन्तःविभाजित करता है।
हल
रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (1, -2) व (-3, 4)
यहाँ x1 = 1, y1 = -2, x2 = -3, y2 = 4, m1 : m2 = 2 : 3
माना अन्त:विभाजक बिन्दु के निर्देशांक (x, y) हैं।

प्रश्न 3.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (3, 4), (2, -1) और (4, -6) हैं।
हल
त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (3, 4), (2, -1) व (4, -6)
यहाँ x1 = 3, y1 = 4, x2 = 2, y2 = -1, x3 = 4, y3 = -6
उक्त शीर्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 12 [x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
= 12 [3{-1 – (-6)} + 2(-6 – 4) + 4{4 – (-1)}]
= 12 [3{-1 + 6 } + 2 × (-10) + 4{4 + 1}]
= 12 [3 × {5} + 2 × (-10) + 4 × {5}]
= 12 [15 – 20 + 20]
= 12 [5]
= 152
= 7.5 वर्ग मात्रक
अतः दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 7.5 वर्ग मात्रक

प्रश्न 4.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(6, 4) और B(1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से अन्तः विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल
माना बिन्दुओं A(6, 4) और B (1, -7) को मिलाने वाला रेखाखण्ड X-अक्ष से बिन्दु (h, 0) पर m1 : m2 के अनुपात में अन्तः विभाजित होता है।
यहाँ x1 = 6, y1 = 4, x2 = 1, y2 = -7

प्रश्न 5.
k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु A (k, -1), B(6, 7) और C(8, 11) संरेखी है।
हल
दिए गए बिन्दु A = (k, -1), B = (5, 7) और C = (8, 11)
यहाँ x1 = k, y1 = -1, x2 = 5, y2 = 7, x3 = 8, y3 = 11
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 12 [{x1y2 + x2y3 + x3y1} – {y1x2 + y2x3 + y3x1}]
= 12 [{k × 7 + 5 × 11 + 8 × -1} – {(-1) × 5 + 7 × 8 + 11 × k}]
= 12 [7k + 55 – 8 – (-5 + 56 + 11k)]
= 12 [7k + 47 – 51 – 116]
= 12 [-4k – 4]
यदि बिन्दु A, B तथा C संरेखी हैं तो उनसे बने ∆ का क्षेत्रफल शून्य होगा।
12 (-4k – 4) = 0
⇒ -4k – 4 = 0
⇒ k = −44 = -1

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और (P, 3) एक समान्तर चतुर्भुज के क्रमश: शीर्ष हों तो P का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिए हुए बिन्दु A = (6, 1), B = (8, 2), C = (9, 4) और D = (P, 3)
उक्त बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD बनता है तो AC और BD उस समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण होंगे।
किसी समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
AC का समद्विभाजक BD होगा और BD का समद्विभाजक AC होगा, अर्थात् AC का मध्य-बिन्दु वही होगा जो BD का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, 0), (0, b) और (1,1) समरेखीय हैं, यदि 1a+1b=1
हल
दिए गए बिन्दुओं (a, 0), (0, b) और (1, 1) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 12 [{a × b + 0 × 1 + 1 × 0} – {0 × 0 + b × 1 + 1 × a}]
= 12 (ab – b – a)
बिन्दु समरेखीय हैं तो इससे बने Δ का क्षेत्रफल शून्य होगा।
⇒ 12 (ab – a – b) = 0
⇒ ab – a – b = 0
⇒ a + b = ab
ab से दोनों पक्षों को भाग करने पर,
⇒ aab+bab=abab
⇒ 1b+1a=1
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि बिन्दु (4, 3) एवं (5, 7) के बीच की दूरी √17 इकाई हो तो y का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बिन्दु (4, 3) एवं (5, 5) के बीच की दूरी = √17
(5−4)2+(y−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√=17−−√
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(1)2 + (y – 3)2 = 17
⇒ (y – 3)2 = 17 – 1 = 16
⇒ y – 3 = ±4
⇒ y – 3 = 4
⇒ y = 7
तथा y – 3 = -4
⇒ y = -4 + 3 = -1
∴ y = 7, -1

प्रश्न 9.
P के किस मान के लिए बिन्दु (2, 1), (P, 1) तथा (2P + 1, 2) संरेख होंगे?
हल
माना A = (2, 1), B = (P, 1), C = (2P + 1, 2)
बिन्दुओं A, B,C से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12 [(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x1)]
यहाँ, x1 = 2, y1 = 1, x2 = P, y2 = 1, x3 = 2P + 1, y3 = 2
क्षेत्रफल = 12 [2 × 1 + P × 2 + (2P + 1) × 1 – 1 × P + 1 × (2P + 1) + 2 × 2]
= 12 [2 + 2P + 2P + 1 – P – 2P – 1 – 4]
= 12[4P – 3P + 3 – 1 – 4]
= 12 [P – 2]
∵ बिन्दु संरेख हैं
∴ क्षेत्रफल = 0
12 (P – 2) = 0
या P – 2 = 2 × 0 = 0
या P = 2

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु (x, y), (1, 2) तथा (7, 0) संरेखी हैं तो सिद्ध कीजिए x + 3y = 7.
हल
दिए गए बिन्दु (x, y), (1, 2), (7, 0)
यहाँ x1 = x, x2 = 1, x3 = 7, y1 = y, y2 = 2, y3 = 0
अत: इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
∆ = 12 [(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x1)]
= 12 [(x × 2 + 1 × 0 + 7 × y) – (y × 1 + 2 × 7 + 0 × x)]
= 12 [(2x + 7y) – (y + 14)]
= 12 [2x + 7y – y – 14]
= x + 3y – 7
यदि उक्त बिन्दु संरेखी हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 0
x + 3y – 7 = 0
⇒ x + 3y = 7
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
बिन्दुओं P(2, 3), Q(4, 0) और R (6, -3) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। शून्य वर्ग मात्रक क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का क्या आशय है?
हल
त्रिभुज के शीर्ष : P = (2, 3), Q = (4, 0) और R = (6, -3)
यहाँ x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6, y1 = 3, y2 = 0, y3 = -3
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12 [(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x1)]
= 12 [(2 × 0 + 4 × (-3) + 6 × (3)) – (3 × 4 + 0 × 6 + (-3) × 2)]
= 12 [(0 – 12 + 18) – (12 + 0 – 6)]
= 12 [6 – 6]
= 0
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 12.
बिन्दुओं P(-1.5, 3),Q(6, -2) और R(-3, 4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। उत्तर की विवेचना भी कीजिए।
हल
त्रिभुज के शीर्ष हैं :
P(-1.5, 3), Q(6, -2) और R(-3, 4)
यहाँ x1 = -1.5, x2 = 6, x3 = -3, y1 = 3, y2 = -2, y3 = 4
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12 [(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (y1x2 + y2x3 + y3x1)]
= 12 [{(-1.5) × (-2) + 6 × 4 + (-3) × 3} – {3 × 6 + (-2) × (-3) + 4 × (-1.5)}]
= 12 [(3 + 24 – 9) – (18 + 6 – 6)]
= 12 (18 – 18)
= 0
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य वर्ग मात्रक है। इसका आशय है कि तीनों बिन्दु संरेख हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दिखाइए कि बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल
दिए गए बिन्दु (12, 8), (-2, 6) और (6, 0)
माना A = (12, 8), B = (-2, 6) और C = (6, 0)
यहाँ x1 = 12, y1 = 8, x2 = -2, y2 = 6, x3 = 6, y3 = 0

स्पष्ट है कि भुजा AB सबसे बड़ी भुजा है।
तब, AB = √200 और BC = √100 व CA = √100
⇒ AB2 = 200 और BC2 = 100 व CA2 = 100
⇒ AB2 = BC2 + CA2
∴ A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण AB तथा ∠C समकोण है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दिए गए ग्राफ से ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिए गए ग्राफ से ∆ABC के शीर्ष क्रमश:
A = (x1, y1) = (3, 4), B = (x2, y2) = (-4, 0) तथा C = (x3, y3) = (7, 0) हैं।
यहाँ x1 = 3, y1 = 4, x2 = -4, y2 = 0, x3 = 7, y3 = 0
∆ABC का क्षेत्रफल = 12 [x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]
= 12 [3(0 – 0) + (-4) (0 – 4) + 7(4 – 0)]
= 12 [0 + 16 + 28]
= 12 × 44
= 22 वर्ग मात्रक

प्रश्न 3.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, ताकि 4AP = 3PB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो।
हल
प्रश्नानुसार, A = (x1, y1) = (-2, -2) तथा B = (x2, y2) = (2, -4)
यहाँ x1 = -2, x2 = 2, y1 = -2, y2 = -4
प्रश्नानुसार, बिन्दु P, रेखाखण्ड AB पर इस प्रकार स्थित है कि
4AP = 3PB
⇒ APPB=34
⇒ AP : PB = 3 : 4
अर्थात् बिन्दु P, AB को 3 : 4 में अन्त:विभाजित करता है।
m1 = 3 तथा m2 = 4
यदि P के निर्देशांक (x, y) हैं तो अन्त:विभाजन के सूत्र से,

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल
माना बिन्दुओं (-6, 10) और (3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (-4, 6) m1 : m2 में विभाजित करता है, तब

दोनों ही निर्देशाक्षों से, m1 : m2 = 2 : 7
अतः अभीष्ट अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष है।
हल
दिए गए बिन्दु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) हैं।
माना A = (3, 2), B = (-2, -3) और C = (2, 3)
यहाँ x1 = 3, y1 = 2, x2 = -2, y2 = -3, x3 = 2, y3 = 3

स्पष्ट है कि भुजा BC सबसे बड़ी भुजा है।
तब, BC = √52 और AB = √50 व CA = √2
⇒ BC2 = 52 और AB2 = 50 व CA2 = 2
⇒ BC2 = AB2 + CA2
A, B, C एक ऐसे समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं जिसमें कर्ण BC तथा CA समकोण है।
इति सिद्धम्