Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Subjective Questions

 


अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 90° है।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
तथा त्रिज्यखण्ड कोण, (θ) = 90°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions VSAQ 1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 तथा r2 हैं, तब इनकी परिधियाँ क्रमश: 2πr1 तथा 2πr2 होंगी।
प्रश्नानुसार, परिधियों का अनुपात = 2 : 3
⇒ 2πr1 : 2πr2 = 2 : 3
⇒ r1 : r2 = 2 : 3
अत: त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है।

प्रश्न 3.
आकृति में, चाप AB की लम्बाई सेमी में ज्ञात कीजिए।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions VSAQ 3
हल
दिया है, OA = OB = 28 cm तथा θ = 45°
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions VSAQ 3.1

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करता है। चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 1
अत: चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 462 cm2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

प्रश्न 2.
आकृति में, 35 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार बाग का केन्द्र O है। इसके छायांकित भाग में पत्थर बिछाने का व्ययर 75.0 प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए ∠AOB = 120° है।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 2
हल
दिया है, r = 35 m तथा θ = 120°
त्रिज्यखण्ड (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 2.1
अतः पत्थर बिछाने का व्यय = ₹ 96250

प्रश्न 3.
त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 3
हल
दिया है, त्रिज्या (r) = 4 cm तथा त्रिज्याखण्ड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = θ360×πr2
60360 × 3.14 × 4 × 4
= 8.37 cm2
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OAPBO का क्षेत्रफल)
= πr2 – 8.37
= 3.14 × 4 × 4 – 8.37
= 50.24 – 8.37
= 41.87 cm2
अत: वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 8.37 cm2
तथा संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 41.87 cm2

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प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 4
हल
दिया है, वर्ग की भुजा = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (14 × 14) cm2 = 196 cm2
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 4.1
अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (196 – 154) cm2 = 42 cm2

प्रश्न 5.
आकृति में, PQ = 12 cm, RP = 9 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 5
हल
अर्द्धवृत्त PQORP का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
∠QPR = 90°
RQ2 = PQ2 + RP2 = (12)2 + (9)2 = 144 + 81 = 225
⇒ RQ = 15 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
वृत की त्रिज्या (OQ) = OR = 152 cm
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OQ)2
12×227×152×152
495056
= 88.4 cm2
समकोण ΔPQR का क्षेत्रफल = 12 × PQ × PR
12 × 12 × 9
= 54 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔPQR का क्षेत्रफल
= (88.4 – 54) cm2
= 34.4 cm2

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प्रश्न 6.
आकृति में, AC = 8cm, BC = 6 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions SAQ 6
हल
अर्द्धवृत्त CBOAC का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से, ∠ACB = 90°
AB2 = BC2 + CA2 = (6)2 + (8)2 = 36 + 64 = 100
⇒ AB = 10 cm
वृत्त की त्रिज्या, OA = OB = AB2=102 = 5 cm
अब, अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OA)
12 × 3.14 × 5 × 5
= 1.57 × 5 × 5
= 39.25 cm2
समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = 12 × 5 × 5 =12.5 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= (39.25 – 12.50) cm2
= 26.75 cm2

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 15 सेमी वाले दो सकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं, यदि ∠AOB = 60°, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 1
हल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 1.1
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 99 cm2 है।

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प्रश्न 2.
दी गई आकृति से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ∠AOB = 120° और वृत्त की त्रिज्या OA = 21 cm
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 2
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (R) = OA = 21 cm और θ = ∠AOB = 120°
त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 2.1
∆OAB के क्षेत्रफल के लिए :
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 2.2
∆OAB में, OA = OB
अर्थात् ∆OAB समद्विबाहु त्रिभुज है
शीर्ष O से AB पर लम्ब OD खींचा जो AB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि AB वृत्त की जीवा भी है और लम्ब OD वृत्त के केन्द्र से जाता है।
तब, ∆OAD में, ∠AOD = 60° और ∠OAD = 30° तथा ∠ADO = 90°
समकोण ∆OAD में,
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 2.3
अब, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= (462 – 4414 √3) cm2
= (462 – 110.25 × √3) cm2
= (462 – 110.25 × 1.732) cm2
= (462 – 190.953) cm2
= 271.047 cm2
अत: लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 271.047 cm2

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प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और व्यास 7 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो छायांकित भाग के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 3
हल
दिया है, वृत्त का व्यास = 7 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 cm, OD = 2 cm
वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 3.1
अत: चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = 778 cm2
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆OBD का क्षेत्रफल)
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions LAQ 3.2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 498 cm2

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