Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Subjective Questions

 

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 90° है।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
तथा त्रिज्यखण्ड कोण, (θ) = 90°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 तथा r2 हैं, तब इनकी परिधियाँ क्रमश: 2πr1 तथा 2πr2 होंगी।
प्रश्नानुसार, परिधियों का अनुपात = 2 : 3
⇒ 2πr1 : 2πr2 = 2 : 3
⇒ r1 : r2 = 2 : 3
अत: त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है।

प्रश्न 3.
आकृति में, चाप AB की लम्बाई सेमी में ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, OA = OB = 28 cm तथा θ = 45°

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करता है। चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अत: चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 462 cm2

प्रश्न 2.
आकृति में, 35 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार बाग का केन्द्र O है। इसके छायांकित भाग में पत्थर बिछाने का व्ययर 75.0 प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए ∠AOB = 120° है।

हल
दिया है, r = 35 m तथा θ = 120°
त्रिज्यखण्ड (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल

अतः पत्थर बिछाने का व्यय = ₹ 96250

प्रश्न 3.
त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
दिया है, त्रिज्या (r) = 4 cm तथा त्रिज्याखण्ड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = θ360∘×πr2
= 60∘360∘ × 3.14 × 4 × 4
= 8.37 cm2
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OAPBO का क्षेत्रफल)
= πr2 – 8.37
= 3.14 × 4 × 4 – 8.37
= 50.24 – 8.37
= 41.87 cm2
अत: वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 8.37 cm2
तथा संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 41.87 cm2

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है।

हल
दिया है, वर्ग की भुजा = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (14 × 14) cm2 = 196 cm2

अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (196 – 154) cm2 = 42 cm2

प्रश्न 5.
आकृति में, PQ = 12 cm, RP = 9 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त PQORP का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
∠QPR = 90°
RQ2 = PQ2 + RP2 = (12)2 + (9)2 = 144 + 81 = 225
⇒ RQ = 15 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
वृत की त्रिज्या (OQ) = OR = 152 cm
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OQ)2
= 12×227×152×152
= 495056
= 88.4 cm2
समकोण ΔPQR का क्षेत्रफल = 12 × PQ × PR
= 12 × 12 × 9
= 54 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔPQR का क्षेत्रफल
= (88.4 – 54) cm2
= 34.4 cm2

प्रश्न 6.
आकृति में, AC = 8cm, BC = 6 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त CBOAC का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से, ∠ACB = 90°
AB2 = BC2 + CA2 = (6)2 + (8)2 = 36 + 64 = 100
⇒ AB = 10 cm
वृत्त की त्रिज्या, OA = OB = AB2=102 = 5 cm
अब, अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OA)
= 12 × 3.14 × 5 × 5
= 1.57 × 5 × 5
= 39.25 cm2
समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = 12 × 5 × 5 =12.5 cm2
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= (39.25 – 12.50) cm2
= 26.75 cm2

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 15 सेमी वाले दो सकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं, यदि ∠AOB = 60°, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 99 cm2 है।

प्रश्न 2.
दी गई आकृति से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ∠AOB = 120° और वृत्त की त्रिज्या OA = 21 cm

हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (R) = OA = 21 cm और θ = ∠AOB = 120°
त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल

∆OAB के क्षेत्रफल के लिए :

∆OAB में, OA = OB
अर्थात् ∆OAB समद्विबाहु त्रिभुज है
शीर्ष O से AB पर लम्ब OD खींचा जो AB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि AB वृत्त की जीवा भी है और लम्ब OD वृत्त के केन्द्र से जाता है।
तब, ∆OAD में, ∠AOD = 60° और ∠OAD = 30° तथा ∠ADO = 90°
समकोण ∆OAD में,

अब, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= (462 – 4414 √3) cm2
= (462 – 110.25 × √3) cm2
= (462 – 110.25 × 1.732) cm2
= (462 – 190.953) cm2
= 271.047 cm2
अत: लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 271.047 cm2

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और व्यास 7 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो छायांकित भाग के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, वृत्त का व्यास = 7 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 cm, OD = 2 cm
वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल

अत: चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = 778 cm2
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆OBD का क्षेत्रफल)

अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 498 cm2